Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Wprowadzenie do matematyki

Materiały do zajęć (5):

Funkcje elementarne.



Wielomiany.



Funkcja wymierna.



Funkcja homograficzna.



Funkcja potęgowa.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

46

5. Wielomiany.

Dziedziną funkcji wielomianowej jest zbiór R.
Stałe

n

a

a

a

...,

,

,

1

0

nazywamy współczynnikami wielomianu,

0

a jest wyrazem wolnym.

Liczbę

N



n

nazywamy stopniem wielomianu W.

Dwa niezerowe wielomiany W oraz Q są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

)

(

)

(

x

Q

x

W



dla każdego



x R. Oznacza to, że wielomiany W oraz Q są tego samego stopnia

i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Przykład.
Podzielić wielomian

1

5

12

5

)

(

2

3

4











x

x

x

x

x

W

przez dwumian

1

)

(





x

x

P

oraz

rozwiązać nierówność

0

1

5

12

5

2

3

4











x

x

x

x

.

Definicja.
Wielomianem stopnia

N



n

nazywamy funkcję określoną wzorem:

0

1

1

1

.....

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n















, gdzie



n

a

a

a

...,

,

,

1

0

R,

0



n

a

,



x R.

Definicja.
Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy liczbę

0

x , dla której

0

)

(

0



x

W

.

Twierdzenie Bézout.
Liczba

0

x jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest

podzielny przez dwumian

)

(

0

x

x



.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

47

Przykład.

Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie

9

7

4

3

8

)

(









x

x

x

x

.

Rozwiązanie:

Wzory skróconego mnożenia:



2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a









,



2

2

2

2

)

(

b

ab

a

b

a









,



)

)(

(

2

2

b

a

b

a

b

a









,



3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a











,



3

2

2

3

3

3

3

)

(

b

ab

b

a

a

b

a











,



)

)(

(

2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a











,



)

)(

(

2

2

3

3

b

ab

a

b

a

b

a











.

Działania na potęgach:



dla

0



x

i



n N:

n

n

x

x

1





,



dla

0



x

oraz



n N i

1



n

:

n

n

x

x



1

,



dla

0



x

,



m Z oraz



n N i

1



n

:

n

m

n

m

x

x



,



dla dowolnych liczb

0

,



y

x

oraz



n

m,

R (lub

0

,



y

x

i



n

m,

Z) prawdziwe są

zależności:

a)

n

m

n

m

x

x

x







,

b)

n

m

n

m

x

x

x





,

c)

 

n

m

n

m

x

x





,

d)

n

n

n

y

x

y

x

)

(







,

e)

n

n

n

y

x

y

x















.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

48

6. Funkcja wymierna.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych takich, że

0

)

(



x

P

,

}

0

)

(

:

{







x

P

x

D

f

R

.

Przykład.

Wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji

4

3

2

)

(

2

4

2

3













x

x

x

x

x

x

f

.

Przykład.

Rozwiązać:

0

4

3

2

2

4

2

3













x

x

x

x

x

.

Definicja.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:

)

(

)

(

)

(

x

P

x

W

x

f



, gdzie W oraz P są wielomianami i

0

)

(



x

P

.

Wartości funkcji wymiernej

)

(

)

(

)

(

x

P

x

W

x

f



dla

0

)

(



x

P

:



f przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

(

)

(





x

P

x

W

;



f przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

(

)

(





x

P

x

W

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

49

7. Funkcja homograficzna.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór













c

d

\

R

, zbiorem wartości













c

a

\

R

.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola o asymptotach

c

d

x





(asymptota

pionowa),

c

a

y



(asymptota pozioma). Hiperbola jest symetryczna względem punktu













c

a

c

d

,

.

Przykład.

Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości i asymptoty wykresu funkcji

2

5

3

)

(









x

x

x

f

.

Definicja.
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:

d

cx

b

ax

x

f







)

(

,

0





bc

ad

i

0



c

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

50

Położenie hiperboli w układzie współrzędnych zależy od znaku liczby

0



s

. Dla

0



s

wykres funkcji

x

s

x

g



)

(

znajduje się w I i III ćwiartce układu współrzędnych, dla

0



s

w ćwiartce II i IV.

Przykład.

Narysować wykres funkcji

2

5

3

)

(









x

x

x

f

.

Przedziały monotoniczności funkcji homograficznej

0

,

)

(









s

q

p

x

s

x

f

zależą od

znaku współczynnika s:












8. Funkcja potęgowa.

Własności funkcji potęgowej zależą od wykładnika potęgi

R



a

.

Wzór każdej funkcji homograficznej można zapisać w postaci:

0

,

)

(









s

q

p

x

s

x

f

.

Definicja.
Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci

R





a

x

x

f

a

,

)

(

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

51

Przykład.
Określić dziedzinę funkcji:

a)

3

)

(

x

x

f



,



f

D

…………………………………………………………………………………………………………………

b)

2

2

1

)

(

x

x

x

f







,



f

D

………………………………………………………………………………………………………

c)

x

x

x

f





2

1

)

(

,



f

D

……………………………………………………………………………………………………….

d)

7

5

7

5

)

(

x

x

x

f





,



f

D

………………………………………………………………………………………………………

e)

8

3

8

3

)

(

x

x

x

f





,



f

D

……………………………………………………………………………………………………..

f)

5

3

5

3

1

)

(

x

x

x

f







,



f

D

……………………………………………………………………………………………………

g)

4

4

1

1

)

(

x

x

x

f







,



f

D

……………………………………………………………………………………………………..

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

52

Zadania

Wielomiany

zad. 1) Obliczyć:

a)

 





0

3

2

5

,

1

1

1500

27

9

5

,

1

9













,

b)

 







7

3

7

3

7

7

5

5

7

5

4

,

1

5

,

1

5

,

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5

5































,

c)

   

3

3

2

1

2

1

2

2

3

























a

ab

b

a

dla

2

2



a

i

3

2

1



b

.

zad. 2) Dany jest wielomian

8

)

(

2

3

4









nx

mx

x

x

W

, wartość tego wielomianu dla

2



x

jest taka sama jak dla

2





x

. Natomiast

82

)

3

(



W

. Wyznaczyć wartość liczb

m i

n .

zad. 3) Wiedząc, że wielomian

10

9

)

(

2

3









x

bx

ax

x

W

jest podzielny przez dwumian





2



x

i przez dwumian





1



x

znaleźć współczynniki a i

b

.

zad. 4) Rozłożyć wielomiany na czynniki i podać ich pierwiastki:

a)

6

9

2

3

)

(

2

3









x

x

x

x

W

,

b)

7

9

2

)

(

2

4







x

x

x

P

,

c)





2

4

2

)

(







x

x

x

Q

,

d)

6

4

)

(

2

3









x

x

x

x

S

.

zad. 5) Dany jest wielomian

2

4

10

2

4

)

(

2

3









x

x

x

x

W

.

a) Obliczyć

)

2

(

W

,

b) Ile różnych pierwiastków ma wielomian W ?
c) Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian

2

)

(





x

x

P

.

zad. 6) Dla jakich wartości parametru k równanie









0

1

2

1

2

3

5











x

k

x

k

x

ma

dokładnie trzy pierwiastki?

zad. 7) Rozwiązać nierówności:

a)







0

3

1

3

2







x

x

x

,

b)







0

7

4

2

2







x

x

,

c)

0

16

4





x

,

d)





1

1

2

2

2







x

x

,

e)

0

15

3

5

2

3









x

x

x

,

f)

x

x

x

3

3





,

g)

0

2

7

2

3











x

x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

53

Funkcja wymierna

zad. 8) Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

x

x

x

x

x

x

f

3

7

2

)

(

2

3

2











,

b)

2

3

2

1

)

(

2

2









x

x

x

x

f

,

c)

2

16

2

7

)

(

x

x

x

f







.

zad. 9) Rozwiązać równania:

a)

2

1

7

2







x

x

,

b)

4

4

2

2

2







x

x

x

,

c)

x

x

x











2

2

1

1

,

d)

0

1

2

4

2

2











x

x

x

.

zad. 10) Rozwiązać nierówności:

a)

2

1

3

1

5











x

x

x

x

,

b)





0

4

3

4

2

2











x

x

,

c)

0

1

1

2

2









x

x

x

x

,

d)

1

1

2

2







x

x

.

zad. 11) Dana jest funkcja

8

2

3

6

)

(







x

x

x

f

a) zapisać wzór funkcji

f w postaci kanonicznej,

b) wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji

f ,

c) wyznaczyć miejsca zerowe funkcji

f ,

d) wyznaczyć asymptoty funkcji f ,
e) wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji

f ,

f) narysować wykres funkcji

f .

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

54

Zadania do samodzielnego rozwiązania

zad. 1) Obliczyć:

a)





2

3

1

3

75

,

0

125

,

0

3

2

1

:

625

81











































,

b)

2

4

1

3

3

81

16

3

9

375

,

0























,

c)



 





 



2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2





































a

x

a

x

a

x

a

x

dla

2

1

2

2

2

















mn

n

m

a

x

,

0

,

0







m

n

a

.

Odpowiedź:

a) 4,

b)

2

1

10 ,

c)

2

2

n

m

.

zad. 2) Wykonać dzielenie wielomianu W przez wielomian P:

a)

4

2

2

3

)

(

2

3

4











x

x

x

x

x

W

,

1

)

(





x

x

P

,

b)

10

7

4

2

)

(

2

3









x

x

x

x

W

,

2

)

(





x

x

P

.

Odpowiedź:

a)

4

3

5

3

2

3







x

x

x

,

b)

2

4

7

2

2







x

x

.

zad. 3) Wielomian W przy dzieleniu przez

)

5

(



x

daje resztę 1, a przy dzieleniu przez

)

3

(



x

daje resztę

)

7

(



. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian

15

2

)

(

2







x

x

x

P

.

Odpowiedź:

4

)

(





x

x

R

.

zad. 4) Dla jakich wartości parametru

R



m

reszta z dzielenia wielomianu

m

x

x

m

x

W

5

8

)

(

3

6

2







przez dwumian

)

1

(



x

jest równa 2?

Odpowiedź:

}

2

,

3

{







m

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

55

zad. 5) Rozłożyć na czynniki wielomiany i podać ich pierwiastki:

a)





1

)

(

4

2







x

x

x

W

,

b)

6

13

2

)

(

2

4







x

x

x

W

,

c)





x

x

x

x

W

36

7

)

(

2

2

3







,

d)

2

3

2

3

)

(

4

5









x

x

x

x

W

.

Odpowiedź:

a)













1

2

1

)

(

2

3

4

2

2

5

1

2

5

1





















x

x

x

x

x

x

x

x

W

,





2

5

1

2

5

1

,











x

,

b)













6

6

2

)

(

2

2

2

2











x

x

x

x

x

W

,





6

,

,

,

6

2

2

2

2







x

,

c)

)

3

)(

3

)(

2

)(

2

)(

1

)(

1

(

)

(















x

x

x

x

x

x

x

x

W

,

}

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

{









x

,

d)

)

2

3

)(

1

(

)

(

4







x

x

x

W

,

 

3

2



x

.

zad. 6) Rozwiązać nierówności:

a)

0

)

2

(

)

3

)(

5

(

2

3









x

x

x

,

b)

0

12

8

2

3

4







x

x

x

,

c)

0

3

7

4

3







x

x

,

d)

0

4

3





x

x

,

e)

0

2

4

2

2

3









x

x

,

f)

x

x

x

x

4

4

3

3







.

Odpowiedź:

a)

)

,

3

[

}

2

{

]

5

,

(















x

,

b)



 

 





















,

0

0

,

2

6

,

x

,

c)



































1

,

2

1

2

3

,

x

,

d)

)

,

2

(

)

2

,

(













x

,

e)

]

6

,

2

[





x

,

f)

)

2

,

0

(

)

2

,

(









x

.

zad. 7) Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji:

a)

9

6

4

)

(

2









x

x

x

x

f

,

b)

x

x

x

x

x

x

f

6

5

6

2

)

(

2

3

2











.

Odpowiedź:

a)

}

3

{

\





R

f

D

, miejsce zerowe

4





x

,

b)

}

3

,

2

,

0

{

\

R



f

D

, funkcja nie ma miejsc zerowych.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

56

zad. 8) Rozwiązać równania:

a)

x

x

x







5

2

5

5

,

b)

1

1

2

2

1









x

x

,

c)

2

3

1

2







x

x

x

.

Odpowiedź:

a)





2

5

5

,

2

5

5











x

,

b)



x



,

c)

}

2

,

1

{



x

.

zad. 9) Rozwiązać równania:

a)

1

3

2

3





x

,

b)

2

1

1

3







x

.

Odpowiedź:

a)

 

3

,

0



x

,

b)















2

7

,

2

3

x

.

zad. 10) Rozwiązać nierówności:

a)

0

9

6

5

2

2









x

x

x

,

b)

2

3





x

,

c)

x

x

1

9



,

d)

2

2

3

4

5







x

x

.

Odpowiedź:

a)

)

,

3

(

)

3

,

2

[

)

3

,

(















x

,

b)

)

,

0

(

]

5

,

1

;

(













x

,

c)



































3

1

,

0

3

1

,

x

,

d)















3

2

,

0

x

.

Materiały pomocnicze dla studentów

Wprowadzenie do matematyki

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

57

zad. 11) Wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości, asymptoty oraz określić przedziały

monotoniczności funkcji:

a)

1

2

3

)

(







x

x

f

,

b)

1

3

2

)

(







x

x

x

f

,

c)

3

4

3

)

(







x

x

x

f

.

Odpowiedź:

a)

}

2

{

\

R



f

D

,

}

1

{

\

1







R

f

D

, asymptoty:

1

,

2







y

x

, funkcja jest malejąca

w przedziałach:

)

,

2

(

),

2

,

(







,

b)

}

1

{

\





R

f

D

,

}

2

{

\

1

R





f

D

, asymptoty:

2

,

1







y

x

, funkcja jest rosnąca

w przedziałach:

)

,

1

(

),

1

,

(











,

c)

}

3

{

\





R

f

D

,

}

3

{

\

1

R





f

D

, asymptoty:

3

,

3







y

x

, funkcja jest rosnąca

w przedziałach:

)

,

3

(

),

3

,

(











.