Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw III Wielomiany i funkcje wymierne

Zadanie 1.
Akwizytor otrzymał dwie oferty zatrudnienia, w firmach A i B. Firma A oferuje stałą miesięczną
pensję 2500 zł i prowizję stanowiącą 8% kwoty miesięcznej sprzedaży. Natomiast firma B oferuje
stałą miesięczną pensję 2000 zł i prowizję stanowiącą 10% kwoty miesięcznej sprzedaży. Przy ja-
kiej kwocie sprzedaży akwizytor zarabiałby więcej w firmie B niż w firmie A?

Zadanie 2.
Zbadaj dla jakich wartości parametrów m, n układ równań:







=

−

=

−

+

3

2

3

)

1

(

5

y

x

n

y

m

x

ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma rozwiązań. Znajdź to jedno rozwiązanie.

Zadanie 3.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f .
Znajdź:

a)

największą wartość funkcji f w zbiorze liczb
rzeczywistych R,

b)

najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

1

;

3

−

.

Zadanie 4.
Mając dane funkcje:

( )

8

2

2

−

−

=

x

x

x

f

oraz

( )

3

2

−

=

x

x

g

, rozwiąż graficznie nierówność

( ) ( )

x

f

x

g

≥

.

Zadanie 5.
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, liczba:

n

n

n

6

3

3

2

3

−

+

jest podzielna przez 6.

Zadanie 6.
Wiadomo, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu:

( )

2

3

3

2

3

4

+

−

−

+

=

x

x

x

x

x

W

.

a)

Zbadaj, czy ten wielomian ma jeszcze inne pierwiastki rzeczywiste.

b)

Rozwiąż nierówność

( )

0

≥

x

W

.

Zadanie 7.
Uzasadnij, że jeśli do licznika ułamka

3

2

dodamy dowolną liczbę naturalną parzystą, a do mianow-

nika liczbę stanowiącą 150% liczby dodanej do licznika, to otrzymamy ułamek równy

3

2

.

Zadanie 8.

Rozwiąż graficznie równanie:

x

x

x

−

=

+

−

4

2

1

2

.

Zadanie 9.

Zbadaj, dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji:

( )

(

)

a

x

a

x

x

x

f

3

3

5

2

4

−

−

+

−

=

jest zbiór

wszystkich liczb rzeczywistych.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadanie 10.

Uzasadnij, że po rozwinięciu potęgi

(

)

7

3

3x

x

−

otrzymamy wielomian, w którym zmienna x wystę-

puje tylko w potęgach o wykładnikach nieparzystych i którego wszystkie współczynniki są niepa-
rzyste.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.

k > 25000

2.

Dla

9

−

=

m

,

R

n

∈

−

układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:












+

−

=

+

−

+

=

9

15

3

9

3

6

3

m

n

y

m

n

m

x

Gdy

9

−

=

m

i

5

≠

n

−

układ nie ma rozwiązań.

3.

a)

( )

8

25

4

3

max

=

−

f

b)

( )

7

3

−

=

−

f

4.

5

,

1

−

∈

x

5.

Wskazówka: Najpierw wykaż, że

)

1

)(

2

(

3

6

3

3

2

3

−

+

=

−

+

n

n

n

n

n

n

, a następnie zauważ, że n

i n – 1 to kolejne liczby naturalne.

6.

a) Ma jeszcze dwa pierwiastki:

2

,

1

3

2

−

=

−

=

x

x

b)

)

(

∞

+

−

∪

−

∞

−

∈

≥

,

1

2

,

dla

,

0

)

(

x

x

W

7.

3

2

3

3

2

2

=

+

+

n

n

8.

3

,

3

2

1

=

−

=

x

x

9.

Dla a < 0

10.

Po rozwinięciu wielomian ma składniki postaci:

( )

( )

( )

7

2

7

7

3

3

7

3

7

+

−

−













=













k

k

k

k

x

k

x

x

k

. Stąd wynika

teza.