1

Wielomiany. R´

ownania i nier´

owno´

sci wymierne.

Przygotowa la Izabela Wardach

1

WIELOMIANY.

Wielomianem stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcj¸

e:

W (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

1

x + a

0

(1)

gdzie n ∈ N∪ {0}, a

0

, a

1

,..., a

n

,∈ R, oraz a

n

6= 0.

Liczby a

0

, a

1

,..., a

n

nazywamy wsp´

o lczynnikami wielomianu ponadto a

0

nazywamy wyrazem

wolnym.

Jednomiany a

n

x

n

, a

n−1

x

n−1

,...,+a

1

x i a

0

s¸

a wyrazami wielomianu.

Funkcj¸

e

W (x) ≡ 0 nazywamy wielomianem zerowym, kt´

ory to nie ma okre´

slonego stopnia.

Pierwiastkiem wielomianu W (x) nazywamy ka˙zd¸

a liczb¸

e a tak¸

a, ˙ze W (a) = 0. Wielomiany

A(x) i B(x) s¸

a r´

owne, gdy dla ka˙zdej liczby a ∈ R mamy A(a) = B(a) ⇔ A(a) ≡ B(a).

Uwaga: dwa wielomiany s¸

a r´

owne ⇔, gdy s¸

a zerowe lub, gdy s¸

a tego samego stopnia i maj¸

a

jednakowe wsp´

o lczynniki przy jednakowych pot¸

egach zmiennej.

Twierdzenie o rozk ladzie wielomianu
Je˙zeli W (x) i P (x) 6= 0 s¸

a wielomianami, to istniej¸

a takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), ˙ze:

W (x) = Q(x)P (x) + R(x)

(2)

przy czym R(x) - to reszta dzielenia W (x) przez P (x) i R(x) ≡ 0 albo stopie´

n R(x) jest

mniejszy ni˙z stopie´

n P (x). Q(x) - to iloraz zupe lny, je´

sli R(x) 6= 0.

Twierdzenie B´

ezout

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) ⇔, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez
dwumian x − a.

Twierdzenie o rozk ladzie wielomianu na czynniki
Ka˙zdy wielomian W (x) 6= 0 jest iloczynem czynnik´

ow stopnia co najwy˙zej drugiego.

R´

ownania algebraiczne:

Niech W (x) oznacza wielomianu stopnia n ≥ 0 zmiennej x. R´

ownanie:

W (x) = 0

(3)

nazywamy r´

ownaniem algebraicznym stopnia n lub kr´

otko r´

ownaniem n-tego stponia.

Pierwiastki wielomianu W (x) s¸

a jednoczecznie pierwiastkami r´

ownania.

Twierdzenie o liczbie pierwiastk´

ow

R´

ownanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwy˙zej n r´

o˙znych piewiastk´

ow.

1

na podstawie:

1. W.Leksi´

nski, B.Macukow, W. ˙

Zakowski Matematyka dla maturzyst´

ow - definicje, twierdzenia, wzory,

przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. ˙

Zakowski Matematyka dla kandydat´

ow na wy˙zsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,

Warszawa 1994.

1

Twierdzenie o postaci iloczynowej wielomianu
Je˙zeli wielomian n-tego stopnia W (x) ma n pierwiastk´

ow: x

1

, x

2

,..., x

n

, to

W (x) = a

n

(x − x

1

) (x − x

2

) ... (x − x

n

)

(4)

gdzie a

x

jest wsp´

o lczynnikem przy x

n

.

Liczb¸

e a nazywamy nazywamy (pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W (x), je˙zeli ten wielo-

mian jest podzielny przez (x − a)

k

i nie jest podzielny przez (x − a)

k+1

. Liczb¸

e k nazywamy

krotno´

sci¸

a pierwiastka a.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Je˙zeli liczba wymierna r´

o˙zna od zera p/q (u lamek nieskracalny) jest pierwiastkiem r´

ownania:

a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ ... + a

1

x + a

0

= 0

(5)

o wsp´

o lczynnikach ca lkowitych, przy czym a

0

a

n

6= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego

a

0

, a q podzielnikiem wsp´

o lczynnika a

n

.

Nie´

ownano´

sci algebraiczne:

W (x) > 0,

W (x) ≥ 0,

W (x) < 0,

W (x) ≤ 0

(6)

nazywanynier´

owno´

sciami algebraicznymi stopnia n.

Funkcja wymierna:

Funkcj¸

e postaci:

y =

W (x)

V (x)

x ∈ R − P

(7)

gdzie W (x), V (x) oznaczaj¸

a wielomiany (V (x) 6= 0) zmiennej rzeczywistej, P za´

s zbi´

or pier-

wiastk´

ow wielomianu V (x), nazywamy funkcj¸

a wymiern¸

a.

Wykres funkcji:

f (x) =

s

x

(8)

gdzie s, x 6= 0 jest hiperbola, przy czym je´

sli s > 0, to wykres znajduje si¸

e w I i III ´

cwiartce

uk ladu wsp´

o lrz¸

ednych, a je´

sli s < 0, to wykres znajduje si¸

e w II i IV ´

cwiartce uk ladu

wsp´

o lrz¸

ednych.

Wykresem funkcji

f (x) =

s

x − p

+ q

(9)

gdzie s 6= 0 i x 6= p, jest hiperbola, kt´

or¸

a otrzymamy przesuwaj¸

ac wykres funkcji g(x) =

s

x

o

wektor ~

u = [p, q].

Funkcj¸e postaci

f (x) =

ax + b

cx + d

(10)

gdzie ad − bc 6= 0 ∧ c 6= 0, nazywamy funkcj¸

a homograficzn¸

a. Ka˙zd¸

a tak¸

a funkcj¸

e mo˙zna

zapisa´

c w postaci f (x) =

s

x−p

+ q, gdzie s 6= 0.

2

Rozk lad funkcji wymiernej na u lamki proste:

ulamek prosty: mianownik jest pot¸eg¸

a wielomianu nierozk ladalnego, licznik jest stopnia niszego

niz mianownik

W (x)

(x−x

1

)

k

(x

2

+px+q)

l

=

A

1

x−x

1

+

A

2

(x−x

1

)

2

+ ... +

A

k

(x−x

1

)

k

+

B

1

x+C

1

x

2

+px+q

+

B

2

x+C

2

(x

2

+px+q)

2

+ ... +

B

l

x+C

l

(x

2

+px+q)

l

3