Klasa 3c

Wielomiany i funkcja wymierna 2

Powtórzenie

 
1. Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli wiesz, że jej miejscem zerowym jest –2, a wykresem jest linia

prosta nachylona do osi OX pod kątem rozwartym

α takim, że

3

sin

5

α

= .

2. Rozwiąż graficznie nierówność

2

1

2

1

x

x

x

− <

− − .

3. Wyznacz współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego

2

y

ax

bx

c

=

+

+ wiedząc, że iloczyn miejsc

zerowych tego trójmianu jest równy ich sumie, współczynnik a jest równy kwadratowi współczynnika b,
a najmniejszą wartością tego trójmianu jest –4.

4. Dany jest wielomian

( )

3

2

9

W x

x

mx

nx

=

+

+

− . Wyznacz współczynniki m i n jeśli wiadomo, że

( )

( )

2

76

2

W

W

−

=

− oraz że jednym z miejsc zerowych wielomianu jest liczba 1. Dla

6,

2

m

n

=

=

wyznacz wszystkie pierwiastki tego wielomianu.

5. Wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których funkcja

( )

2

2

3

f x

mx

mx

=

+

− przyjmuje tylko

wartości ujemne.

6. Rozwiąż równanie

2

4

6

9

6

4

x

x

x

x

−

+

+ +

=

−

.

7. Wiedząc, że ,

x y

∈ N wyznacz wszystkie pary

(

)

,

x y spełniające równanie

(

)

(

)

2

1

10

x

x

y

+

− =

.

8. Dany jest wielomian

( )

(

)

(

)(

)

2

4

1

2

P x

x

m

x

m

x

m

=

−

+

−

+

. Podaj pierwiastki tego wielomianu.

Wyznacz wartość parametru m tak, aby suma tych pierwiastków była najmniejsza i wyznacz tę sumę.

9. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

2

4

4

7

y

x

y

x

⎧ =

−

⎨

=

−

⎩

.

10. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(

)

2

1

1

4

0

4

4

mx

m

x

m

−

+

+

+ = ma dwa

różne pierwiastki rzeczywiste takie, że iloraz ich sumy i iloczynu jest liczbą mniejszą niż 2.

11. Narysuj wykres funkcji

( )

2

f x

x

= . Przesuń wykres funkcji f o wektor

[

]

2, 3

u

= −

G

i napisz wzór funkcji g,

której wykresem jest przesunięty wykres funkcji f. Narysuj wykres funkcji

( )

( )

( )

h x

f x

f x

=

+

.

12. Rozwiązaniem nierówności

3

2

8

12 0

x

x

x

−

−

+

≥ jest przedział A, rozwiązaniem nierówności 2

1 7

x

− <

jest przedział B. Wyznacz A B

− .

13. Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania

3

2

2

10

0

x

x

x

m

+

−

+ = , gdzie m jest liczbą całkowitą, jest

liczba

( )

1, 2

a

∈

. Wyznacz liczbę m. Znajdź inne pierwiastki tego wielomianu.

14. Sprawdź czy dziedziny funkcji

( )

2

3

4

x

f x

x

−

=

+

i

( )

(

)(

)

2

3

4

g x

x

x

=

−

+

są równe. Wyznacz

dopełnienie dziedziny funkcji g w zbiorze liczb rzeczywistych.

15. Grupa 12 przyjaciół podzieliła się na dwie grupy, by każdy mógł kupić pozostałym osobom ze swojej

grupy upominek na mikołajki. Po ile osób znalazło się w każdej grupie, jeśli liczba upominków była
najmniejsza? Ile było w sumie tych upominków?

16. Rozwiąż nierówność

2

2 2

x

x

x

+ >

+ .

17. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których reszta z dzielenia wielomianu

( )

3

2

2

3

W x

x

x

x

m

=

−

+

+ przez wielomian

( )

G x

x

m

= − wynosi 8. Dla

2

m

= wyznacz zbiór wartości

funkcji

( )

( )

3

f x

W x

x

=

− .

18. Dany jest wielomian

( ) (

)(

)(

)

2

5

6

20

P x

x

x

m

x

m

=

−

− −

−

−

. Podaj pierwiastki tego wielomianu.

Wyznacz parametr m tak, aby wielomian miał dokładnie dwa pierwiastki.

19. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań

2

2

2

4

0

x

y

x

y

y

x

m

⎧ +

−

−

=

⎨

= +

⎩

ma

dokładnie jedno rozwiązanie.

Klasa 3c

Wielomiany i funkcja wymierna 2

Powtórzenie

 
20. Dane jest równanie

(

)

2

2

1 0

x

m

x

m

−

−

+ + = . Narysuj wykres funkcji

( )

2

2

1

2

f m

x

x

=

+ , gdzie

1

2

,

x x są

różnymi pierwiastkami danego równania.

21. Dany jest wielomian

( )

4

2

4

W x

x

x

kx

m

=

−

+

+ . Wyznacz parametry k i m tak, aby reszta z dzielenia

wielomianu W przez dwumian

2

x

+ wynosiła –3, a reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian

1

x

− wynosiła 6. Dla

0

0

k

m

= ∧

= rozwiąż nierówność

( )

0

W x

< .

22. Dany jest wielomian

( ) (

)

(

)

2

7

10

W x

x

k

x

x

=

−

−

+

. Wyznacz wartość parametru k tak, aby pierwiastki

tego wielomianu tworzyły ciąg arytmetyczny.

23. Dany jest wielomian

( )

3

2

4

2

4

1

W x

x

x

x

=

+

−

+ . Wypisz wszystkie liczby wymierne, które mogłyby być

pierwiastkami tego wielomianu. Sprawdź, że liczba

1
2

jest pierwiastkiem wielomianu W. Rozwiąż

nierówność

( )

2

4

1

W x

x

x

≤

−

+ .

24. Dziedziną funkcji

( )

2

3

4

2

x

f x

x

−

=

−

−

jest przedział

f

D , zaś dziedziną funkcji

( )

2

5

g x

x

=

−

jest

przedział

g

D . Wyznacz

f

g

D

D

∩

.

25. Punkt P należy do prostej l o równaniu

3

1

y

x

=

− . Wyznacz współrzędne punktu P tak, aby suma

kwadratów jego odległości od punktów

(

)

2, 5

A

= −

i

(

)

1, 4

B

=

−

była najmniejsza.

26. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu

( )

6

5

4

3

2

1

W x

x

x

x

x

x

x

=

+

+

+

+

+ + przez wielomian

( )

3

P x

x

x

=

− .

27. Wykaż, że wielomian

( )

4

3

2

2

2

6

9

W x

x

x

x

x

=

−

+

−

+ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

28. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(

) (

)

2

2

1

4

1

0

x

m

x

mx

m

⎡

⎤

+

+

−

+ + =

⎣

⎦

ma trzy różne pierwiastki ujemne.

29. Rozwiąż równanie

3
2

x

x

x

x

x

x

x

+

−

−

=

+

.

30. Wyznacz liczbę rozwiązań równania

2

3

p

x

+ = z niewiadomą x w zależności od parametru p.