funkcjA górnej granicy całkowania

Niech f będzie funkcją całkowalną w przedziale
,zaś α dowolnie ustaloną liczbą w tym przedziale.

Def:

Funkcję

nazywamy funkcją górnej granicy całkowania całki.

Tw:

Jeśli f jest funkcją całkowalną w
i
, to funkcja

jest ciągła w przedziale
oraz ma pochodną
w każdym punkcie x, w którym funkcja podcałkowa f jest ciągła przy czym zachodzi równość
.

Wniosek

Tw:

Jeśli funkcja f jest ciągła w
, to funkcja

jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym

Niech funkcja f będzie

1. określona w przedziale <a, ∞)

2. całkowalna w każdym przedziale <a, B> gdzie
   

Def.

Całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale <a, ∞) definiujemy wzorem

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Wówczas mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f w przedziale <a, ∞)

jest zbieżna.

Analogicznie określamy:

całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale (-∞, b>

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na każdym domkniętym przedziale to całkę niewłaściwą funkcji f w przedziale (-∞,∞) definiujemy wzorem

o ile obie całki po prawej stronie są zbieżne.