Własności relacji:

1. zwrotność: dla każdego acA (a,a)cę

2. symetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę(b,a)cę

3. przechodność: dla każdego a,b,ccA (a,b)cę i (b,c)cę(a,c)cę

4. asymetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę~(b,a)cę

5. przeciwzwrotność: dla każdego acA~(a,a)cę

6. spójność: dla każdego a,bcA (a,b)cę lub (b,a)cę lub a=b

7. słaba asymetryczność: dla każdego a,b cA (a,b)cę i (b,a)cęa=b

Jeżeli zachodzi 1,2,3 relacja równoważnościowa

Relacja jest funkcją, gdy:

1. dla każdego xcX istnieje taki ycY (x,y)cf

2. dla każdego xcX i dla każdego y1y2cY (x,y1)cf i(xy2)cfy1=y2

Funkcja jest `na' jeżeli f(x)=y

Jest równowartościowa: dla każdego x1x2cX f(x1)=f(x2)x1=x2

Y=cosx d=<0;pi> d'=<-1;1>

Y=arccosx dziedziny odwrote

Y=sinx d=<-pi/2;pi/2> d'=<-1;1>

Y=tgx d=(-pi/2;pi/2) d'=R

Y=ctgx d=(o;pi) d'=R

Przestrzeń metryczna:

1. dla każdego x,ycX d(x,y)=0x=y

2. dla każdego x,ycX d(x,y)=d(y,x)

3. dla każdego x,y,zcX d(x,y) +d(y,z) >/ d(x,z)

Kula otwarta

K(x0;r)={xcX:d(x,x0)<r}

Złożenia

g f istnieje, gdy D'f c Dg

f g istnieje, gdy D'g cDf

Własności relacji:

8. zwrotność: dla każdego acA (a,a)cę

9. symetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę(b,a)cę

10. przechodność: dla każdego a,b,ccA (a,b)cę i (b,c)cę(a,c)cę

11. asymetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę~(b,a)cę

12. przeciwzwrotność: dla każdego acA~(a,a)cę

13. spójność: dla każdego a,bcA (a,b)cę lub (b,a)cę lub a=b

14. słaba asymetryczność: dla każdego a,b cA (a,b)cę i (b,a)cęa=b

Jeżeli zachodzi 1,2,3 relacja równoważnościowa

Relacja jest funkcją, gdy:

3. dla każdego xcX istnieje taki ycY (x,y)cf

4. dla każdego xcX i dla każdego y1y2cY (x,y1)cf i(xy2)cfy1=y2

Funkcja jest `na' jeżeli f(x)=y

Jest równowartościowa: dla każdego x1x2cX f(x1)=f(x2)x1=x2

Y=cosx d=<0;pi> d'=<-1;1>

Y=arccosx dziedziny odwrote

Y=sinx d=<-pi/2;pi/2> d'=<-1;1>

Y=tgx d=(-pi/2;pi/2) d'=R

Y=ctgx d=(o;pi) d'=R

Przestrzeń metryczna:

4. dla każdego x,ycX d(x,y)=0x=y

5. dla każdego x,ycX d(x,y)=d(y,x)

6. dla każdego x,y,zcX d(x,y) +d(y,z) >/ d(x,z)

Kula otwarta

K(x0;r)={xcX:d(x,x0)<r}

Złożenia

g f istnieje, gdy D'f c Dg

f g istnieje, gdy D'g cDf

Własności relacji:

15. zwrotność: dla każdego acA (a,a)cę

16. symetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę(b,a)cę

17. przechodność: dla każdego a,b,ccA (a,b)cę i (b,c)cę(a,c)cę

18. asymetryczność: dla każdego a,bcA (a,b)cę~(b,a)cę

19. przeciwzwrotność: dla każdego acA~(a,a)cę

20. spójność: dla każdego a,bcA (a,b)cę lub (b,a)cę lub a=b

21. słaba asymetryczność: dla każdego a,b cA (a,b)cę i (b,a)cęa=b

Jeżeli zachodzi 1,2,3 relacja równoważnościowa

Relacja jest funkcją, gdy:

5. dla każdego xcX istnieje taki ycY (x,y)cf

6. dla każdego xcX i dla każdego y1y2cY (x,y1)cf i(xy2)cfy1=y2

Funkcja jest `na' jeżeli f(x)=y

Jest równowartościowa: dla każdego x1x2cX f(x1)=f(x2)x1=x2

Y=cosx d=<0;pi> d'=<-1;1>

Y=arccosx dziedziny odwrote

Y=sinx d=<-pi/2;pi/2> d'=<-1;1>

Y=tgx d=(-pi/2;pi/2) d'=R

Y=ctgx d=(o;pi) d'=R

Przestrzeń metryczna:

7. dla każdego x,ycX d(x,y)=0x=y

8. dla każdego x,ycX d(x,y)=d(y,x)

9. dla każdego x,y,zcX d(x,y) +d(y,z) >/ d(x,z)

Kula otwarta

K(x0;r)={xcX:d(x,x0)<r}

Złożenia

g f istnieje, gdy D'f c Dg

f g istnieje, gdy D'g cDf

---