I. Rozwiązywanie małych trójkątów sferycznych:
Powierzchnię kulistą - nazywamy miejsce geometryczne punktów równooddalonych od jednego punktu zwanego środkiem kuli. Przekrój powierzchni kulistej płaszczyzną jest KOŁEM. Jeżeli płaszczyzna tworząca przechodzi przez środek kuli to przekrój nazywamy KOŁEM WIELKIM; w innym przypadku przekrój jest KOŁEM MAŁYM.
Odcinek łuku koła wielkiego przechodzącego przez dwa punkty nazywamy SFERYCZNĄ (kulistą) ODLEGŁOŚCIĄ tych dwóch punktów. Jest to odległość najkrótsza po powierzchni kuli między dwoma punktami
Trójkąt sferyczny - jeżeli trzy dane punkty leżące na sferze (powierzchni kulistej) połączymy łukami kół wielkich t część sfery ograniczoną tymi łukami nazywamy trójkątem sferycznym. Elementami trójkąta sferycznego są jego boki i kąty. Jeżeli dane są trzy elementy trójkąta sferycznego to pozostałe jego elementy możemy znaleźć, czyli możemy rozwiązać trójkąt sferyczny, przez zastosowanie odpowiednich wzorów ścisłych. Jednak rozwiązywanie metodami ścisłymi trójkątów sferycznych sprawiło by sporo kłopotów rachunkowych. Więc jeżeli ma się do czynienia z trójkątami o małych bokach to przez wprowadzenie pewnych uproszczeń zadanie sprowadza się do rozwiązania trójkąta na płaszczyźnie.
Rozwiązać trójkąt sferyczny tzn znaleźć 3 kąty i 3 boki
Do tego celu służą: Metoda Legendre'a oraz metody additamentów.
Metoda Legendre'a:
1. zakładamy że będziemy rozpatrywać trójkąt sferyczny o kątach A, B, C i bokach a, b, c , które są małe w stosunku do promienia kuli R.
Twierdzenie Legendre'a mówi, że każdy z kątów trójkąta sferycznego jest o 1/3 ekscesu większy od odpowiedniego kąta trójkąta płaskiego o tych samych długościach boków.
A - A' = 1/3 E ; A, B, C - trójkąt sferyczny; B - B' = 1/3 E ; A', B', C' - trójkąt płaski ; C - C' = 1/3 E
W trójkącie płaskim suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°. Tej zależności nie spełniają kąty trójkąta sferycznego których suma jest zawsze większa od 180°. Nadwyżkę sumy kątów trójkąta sferycznego ponad 180° nazywamy NADMIAREM SFERYCZNYM lub EKSCESEM SFERYCZNYM i oznaczamy grecką literą E
E = A + B + C - 180° ; E = , gdzie P = pole trójkąta sferycznego
W metodzie Legendre'a zamiast trójkąta sferycznego rozwiązuje się trójkąt plaski o bokach tej samej długości jak boki trójkąta sferycznego a którego wszystkie kąty są równe odpowiednim kątom sferycznym zmniejszonym 1/3 ekscesu. Metodą Legendre'a możemy stosować w przypadku gdy boki trójkąta sferycznego są mniejsze od 30km.
Dane: A', B', C' ; a ; R = 6371km
1) S = A' + B' + C' , 2) 180° - S = E + w , 3) E = p - pole trójkąta sferycznego , 4) w = 180° - S - E , 5) A = A' - 1/3w, B = B' - 1/3w, C = C' - 1/3w , 6) Ap = A - 1/3E, Bp = A - 1/3E, Cp = A - 1/3E , 7) n = a / sinAp , 8)b = n* sinBp, c = n * sinCp
Metoda additamentów (Soldnera) - zamiana trójkąta sferycznego na trójkąt płaski w tej metodzie polega na pozostawieniu kątów sferycznych niezmienionych, zaś boki trójkąta płaskiego uzyskuje poprzez dodanie do boków trójkąta sferycznego ADDITAMENTÓW LINIOWYCH.
1) δa = a^3 / 6R^2 , a' = a - δa , 2) b' = a'sinBp / sinAp , c' = a'sinCp / sinAp , 3) δb = (b')^3 / 6R^2 ⇒ b = b' + δb , δc = (c')^3 / 6R^2 ⇒ c = c' + δc
II. Współrzędne geodezyjne:
1) powierzchnia odniesienia: płaszczyzna; ukł współrzędnych: współrzędne prostokątne X,Y,H; metody rozwiązywania zadań geodezyjnych: trygonometria płaska
2) pow odnieś.: sfera (kula); ukł wsp: współrzędne geograficzne ϕ - szerokość, λ - długość, h - wysokość sferyczna; met rozw: trygonometria sferyczna
3) pow odnieś: elipsoida obrotowa; ukł wsp: współrzędne geodezyjne B - szerokość, L - długość, h - wysokość elipsoidalna; met rozw: metody przybliżone
4) pow odnieś: geoida; ukł wsp: współrzędne astronomiczne ϕa - szerokość, λa - długość, H - wysokość nad geoidą
Południki - koła wielkie zawierające oba bieguny kuli ziemskiej
Równoleżniki - koła które powstają przez przecięcie sfery płaszczyznami prostopadłymi do płaszczyzn południków
Równik - koło wielkie które powstaje przez przecięcie sfery płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzn południków i zawierającą środek kuli (sfery)
Szerokość i długość punktu P:
B - szerokość geodezyjna jest to kąt zawarty między normalną do elipsoidy w punkcie P a płaszczyzną równika
L - długość geodezyjna jest to dwuścienny zawarty między płaszczyzną południka początkowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez punkt P
Równanie południka punktu P: + = 1
III. Elipsoida obrotowa:
1) równanie powierzchni elipsoidy: + + = 1
2) parametry:
a) spłaszczenie: α =
b) mimośród I : e^2 =
c) mimośród II : e'^2 =
X = u cosL ; Y = u sinL ; Z =
r = N * cosB
u = r - promień równoleżnika
u =
N - promień przekroju normalnego
N =
M - promień przekroju południka (promień krzywizny łuku południka)
M =
Q - średni promień krzywizny
Q =
X = N cosB cosL ; Y = N cosB cosL ; Z = N(1 - e^2)sinB
Przez punkt P leżący na danej regularnej powierzchni można poprowadzić tylko jedną prostopadłą do tej powierzchni. Jest to normalna n. Wszystkie płaszczyzny zawierające normalną n przecinają daną powierzchnię wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi.
Długość łuku południka: S = Mśr * ( B2 - B1)
Długość łuku równoleżnika: ΔS = r * ΔL = N cosB * ΔL = N * cosB(L2 - L1)
Równoleżnik jest kołem o promieniu r = N * cosB
Twierdzenie Clairauta - dane są dwa punkty na powierzchni elipsoidy obrotowej. Ich najkrótszym połączeniem jest linia geodezyjna. W każdym punkcie linii geodezyjnej iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest stały: r1 * sinA1 = r2 * sinA2 = … = C
IV. Metody obliczania współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej:
1) metody bezpośrednie - polegają one na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami: początkowym i końcowym linii geodezyjnej a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy. ( P1, P2, B)
2) metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre'a - polegają one na rozwinięciu w szereg Maclarina różnic ΔB, ΔL, ΔA względem parametru naturalnego czyli długości linii geodezyjnej S
B2 - B1= S + 1/2 *S^2 + …
L2 -L1 = S + 1/2 *S^2 + …
A2 - A1 = S + 1/2 *S^2 + …
Metoda średniej szerokości Gaussa polega na wprowadzeniu do szeregów potęgowych Legendre'a punktu o szerokości Bm odpowiadającej punktowi znajdującemu się w połowie długości linii geodezyjnej S między punktami P1 i P2.
3) metody wykorzystujące punkt pomocniczy - prowadząc przekrój normalny przez punkt P2 prostopadły do południka punktu P1 otrzymamy mały prostokątny trójkąt który rozwiązujemy na sferze o promieniu Q1 = - METODA CLARKE'A
4) metoda obliczania współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy (metoda Mołodeńskiego)
V. Zadanie wprost - dotyczy obliczania współrzędnych geodezyjnych B2, L2 punktu P2 i azymutu A21 (odwrotnego) linii geodezyjnej gdy znane są współrzędne geodezyjne B1 i L1 punktu P1, długość linii geodezyjnej S12 oraz azymut A12 (wprost) pod jakim linia geodezyjna wychodzi z punktu P1
VI. Zadanie odwrotne - dotyczy obliczania długości linii geodezyjnej S12 łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz obliczenia azymutów linii geodezyjnej - wprost A12 i dwrotnego A21
VII. Obliczanie współrzędnych geodezyjnych metodą Clarke'a:
1) zadanie wprost:
metoda Clarke'a - trójkąt sferyczny, niewielkie odległości (do 30km). Dysponując współrzędnymi punktu P1 obliczamy średni promień krzywizny elipsoidy w tym punkcie (Q1). Na kuli o takim promieniu rozwiązujemy mały prostokątny trójkąt sferyczny P1, P2', P2 , który powstał przez poprowadzenie przekroju normalnego w punkcie P2 prostopadłego do południka punktu P1
a) wyznaczamy nadmiar sferyczny w tym trójkącie E =
b) obliczamy przyprostokątne u i v; u = S12*cos(A12 - 2/3E) , v = S12*sin(A12 - 1/3E)
c) wyznaczamy szerokość B'2 punktu P'2; B'2 = B1 + , gdzie Ms - średni promień krzywizny łuku południka P1P'2
Ms = M(Bs)= , gdzie Bs = B1 + a M1 = MB1
d) obliczamy szerokość punktu P2: B2 = B'2 - * tanB'2 ; M'2 = M(B'2); N'2 = N(B'2)
e) obliczamy długość L2: L2 = L1 + * sec(B2 + 1/3 E1), gdzie E1 = B'2 - B2
f) obliczamy azymut A21; A21 = A12 ± 180° - γ - E, gdzie γ - kąt zbieżności południków = (L2 - L1)sin(B2 + 2/3E1)
VIII. Metoda średniej szerokości Guassa. Zadanie odwrotne - Gauss zaproponował w 1846r metodę obliczenia współrzędnych polegających na wykorzystaniu szeregów potęgowych Legendre'a w postaci gdzie pochodne względem parametru naturalnego S odnosi się do pewnego pomocniczego punktu Pm, usytuowanego w połowie linii geodezyjnej.
Spłaszczenie elipsoidy sprawia że współrzędne punktu Pm i azymut linii w tym punkcie są na ogół różne od wartości średnich. Zasadniczy problem polega na wyznaczeniu wartości pochodnych w punkcie Pm którego współrzędnych nie znamy. Dlatego Gauss zaproponował zastąpienie pochodnych w punkcie Pm rozwinięciem w szereg Taylora w otoczeniu punktu P . Ten sposób można stosować dla s dochodzącego do 200 km uzyskując dokładność obliczeń 0,0001” w szerokości i długości oraz 0,001” w azymucie. Ta metoda była stosowana do rozwiązania zadania odwrotnego geodezji wyższej. (rysunek)
= ; = ; =
IX. Współrzędne w odwzorowaniu Gaussa-Krugera . Układ „1942”
Odwzorowanie Gaussa - Krugera: a) odwzorowanie: równokątne, poprzeczne, walcowe; b) odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznicę walca; c) obrazem południka środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych południków są linie krzywe rozłożone symetrycznie względem obrazu południka środkowego; d) południk środkowy odwzorowuje się bez zniekształceń. Układ współrzędnych: Elipsoida obrotowa Krasowskiego: a) oś OX pokrywa z obrazem południka środkowego; b) oś OY pokrywa się z obrazem równika; c) pasy trzystopniowe; d) pasy sześciostopniowe: λ0 = 15° i λ0 = 21°
X. Odwzorowania:
1) azymutalne, walcowe, stożkowe; 2) normalne, ukośne, poprzeczne; 3) wiernokątne, wiernoodległościowe, wiernopolowe; 4) styczne, sieczne
XI. Odwzorowanie quasistereograficzne:
a) odwzorowanie: równokątne, normalne, azymutalne; b) odwzorowanie kuli na płaszczyznę. Płaszczyzna nie jest [Author ID1: at Wed Jun 30 16:26:00 1999
]styczna do kuli tylko sieczne; c) występuje niewielkie zniekształcenie w pobliżu punktu głównego odwzorowania; d) odwzorowanie to jest szczególnie przydatne do przedstawienia obszarów których granice zbliżone są do okręgów; e) punkt główny - P0(B0, L0) powinien znajdować się w pobliżu środka odwzorowanego obszaru; f) południk przechodzący przez punkt główny to południk środkowy; g) południk środkowy odwzorowuje się jako odcinek linii prostej
XII. Układ 1965
a) początek układu znajduje się w obrazie punktu głównego; b) oś OX skierowana na północ pokrywa się z obrazem południka środkowego; c) oś OY jest prostopadła do niej i tworzy z osią OX układ prostokątny
układ 1965 - składa się z 5 stref odwzorowawczych. W 4 zastosowano odwzorowanie quasistereograficzne (I - IV), natomiast w jednej odwzorowanie Gaussa - Krugera (V). W każdej strefie obliczone są współrzędne prostokątne płaskie. Linie siatki współrzędnych (ΔX=40km;ΔY=64km) dzielą każdą układu na tzw sekcje podziałowe (1:100 000). Sekcje znajdujące się w jednym pionie to słupy numerowane z zach na wsch. Natomiast sekcje znajdujące się na jednym poziomie to pasy numerowane z północy na południe. Każdą sekcję oznacza się liczbą 3 cyfrową: 352 godło sekcji podziałowej (1: 100 000) gdzie (3) - numer strefy, (5) - numer pasa, (2) - numer słupa
XII. Pasy trzystopniowe w odwzorowaniu Gaussa - Krugera:
(rysunek) Pasy nachodzą się na siebie. Jest to tzw zakładka 20km (podwójne współrzędne). Pierwszą elipsoidą odniesienia była elipsoida Bessela z punktem przyłożenia w Borowej Górze. Zastąpiono ją elipsoidą Krasowskiego z punktem przyłożenia w Pułkowie.
XIV. Pasy sześciostopniowe w odwzorowaniu Gaussa - Krugera - do opracowań map topograficznych w skalach od 1:10 000 do 1:500 000 przyjęto odwzorowanie Gaussa - Krugera w pasach sześciostopniowych. Obszar Polski mieści się na dwóch pasach południkowych. Pas o południku osiowym λ0 = 15° ma numer 3, a pas o południku osiowym λ0 = 21° ma numer 4. Pasy te pokrywają się odpowiednio z sześciostopniowymi pasami południkowymi nr 33 i 34 Międzynarodowej Mapy Świata w skali 1:1 000 000
XV. Współrzędne cechowane:
X=x; Y = n*1 000 000 + 500 000 + y, gdzie n - cecha danego pasa n=; PASY: a) szczeciński Y=5500 000,00 , b) bydgoski Y=6500 000,00 , c) warszawski Y=7500 000,00 , d) białostocki Y=8500 000,00
XVI. Systemy wysokości:
a) wysokość normalna - odległość punktu A od quasigeoidy; b) wysokość ortometryczna - odległość punktu A od geoidy; c) wysokość elipsoidalna - odległość punktu A od elipsoidy; d) anomalia wysokości - odległość geoidy od elipsoidy
System wysokości normalnych - powierzchnią odniesienia jest quasigeoida zawierająca w sobie poziom Morza Bałtyckiego
System wysokości ortometrycznych - powierzchnią odniesienia jest geoida (powierzchnia ekwipotencjalna zawierająca w sobie swobodny poziom mórz i oceanów)
XVII. Przyśpieszenie ciężkości (siły ciężkości) g - na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się nad Ziemią lub na jej powierzchni działa siła przyciągania Ziemi, oraz siła odśrodkowa, skierowana prostopadle do osi obrotu. (jeżeli masa punktu jest jednostkowa m=1 to pojęcie siła i przyśpieszenie siły są sobie równoważne) Wypadkową tych sił nazywamy siłę ciężkości g = F + Q; gdzie: g - przyśpieszenie siły ciężkości; F - siła przyciągania Ziemi działająca na punkt o masie 1; Q - siła odśrodkowa w tym punkcie
Jednostki: 1cm/s^2 = 1 gal (gl) ; 10-3 cm/s^2 = 1 miligal (mgl) ; 10-6cm/s^2 = 1mikrogal (μgl)
F = ; gdzie G - stała grawitacji wyznaczona doświadczalnie ; M - masa ; r - promień
Q = w^2 * ρ; gdzie w - prędkość kątowa Ziemi ; ρ - odległość od osi obrotu
XVIII. Wysokość ortometryczna i poprawka ortometryczna - wysokość ortometryczna H punktu A jest to odległość tego punktu od geoidy jako powierzchni morza mierzona wzdłuż linii siły ciężkości: H= ;gdzie: W0 - potencjał na geoidzie ; WA - potencjał w punkcie A ; g- średnia wartość przyśpieszenia na odcinku H
Poprawka ortometryczna:
P0 = * H+ * H- (Hi,i-1*Δgi)
H = HA = HB = 1 - ; gdzie: δ - gęstość w okolicy ciągu; δm - średnia gęstość skorupy Ziemi = 5,52 g/cm^3 ; HA i HB - wysokość z niwelacji (bez poprawek); R - średni promień ziemi 6370 000m ; Hi,i-1 = ½(Hi + Hi-1) ; Δgi = gi - gi-1 ; g - średnia wartość przyśpieszenia g=; m=4/3*ΠR^2*δm
XIX. Wysokość normalna i poprawka normalna - wysokość normalną H liczymy wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu H= ; gdzie W0 - potencjał na quasigeoidzie; WA - potencjał w punkcie A; γ- przyśpieszenie normalne w środkowym punkcie na linii pionowej między quasigeoidą a punktem A
Poprawka normalna:
Pn = (γ- γ)*Hśr + (g0 - γ0) Δhi ; gdzie: γ - przyśpieszenie normalne; γ0(B)=978,038 (1+ 0,005302 (sinB)^2-0,000007 (sinB)^2 ; γśr = γ0(Bśr) - 0,1543Hśr ; Hśr = 1/2 (HA + HB) ; (g0 - γ0)śr= ; Δhi = hi - hi-1 ; g0=g + Sgf gdzie: Sgf = 0,308*Hśr
XX. Wysokość dynamiczna i poprawka dynamiczna - jeżeli we wzorze na wysokość normalną w miejsce przyśpieszenia normalnego w środkowym punkcie na linii pionowej między quasigeoidą a punktem A (γ) przyjmiemy wartość przyśpieszenia normalnego na elipsoidzie dla B=45° (γ) to otrzymamy wysokość dynamiczną punktu A
Wysokość dynamiczna - H= ; poprawka dynamiczna: Pd = *Δhi ; γ= γo(45°) ; Δhi= hi - hi-1 ; gi,i-1 = 1/2 (gi + gi+1)