Liga Zadaniowa - edycja 2010 - 2011

Czekam na kompletne rozwiązania (pokazujące tok rozumowania prowadzący do rozwiązania) do 15 grudnia 2010 r.

Rozwiązanie podpiszcie imieniem, nazwiskiem i kodem, na który składa się symbol klasy i numer w dzienniku (przykładowo Jan Kowalski z klasy II H nr 45 - podpisuje pracę następująco: Jan Kowalski 2H45) i przynieście do gabinetu 112.

Zadanie 2 dla klas pierwszych:

Przedmiotem problemu bazylejskiego było znalezienie dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 r. stwierdził, że suma ta:
.

Korzystając z tego wzoru, oblicz sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb nieparzystych, czyli:
.

Zadanie 2 dla klas drugich:

Ciąg
określony jest następująco: dla każdej liczby naturalnej
wyraz
jest równy iloczynowi cyfr liczby
(np.
,
). Oblicz
, czyli sumę stu pierwszych wyrazów tego ciągu, tzn.
.

Zadanie 2 dla klas trzecich:

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
,
,
równanie
ma co najmniej jedno rozwiązanie. Kiedy to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Treści zadań i rozwiązania poprzednich zadań dostępne na chomikuj.pl.

---