ROZWIĄZANIA ETAPU 4:

Zadanie 4 dla klas pierwszych:

Odp. 1 : ( 2 : 3 : 4) : (5 : 6 : 7) : 8 : ( 9 : 10) = 7.

Zadanie 4 dla klas drugich:

Niech
- szukana liczba.

Liczba
,

jest podzielna przez 7.

Szukana liczba
przy dzieleniu przez 2, 3, 4, 5, 6 daje resztę 1. Zatem
przy dzieleniu przez najmniejszą wspólną wielokrotność 2, 3, 4, 5, 6, czyli
też daje resztę 1. Stąd
. (gdzie
)

.

Lewa strona równania dzieli się przez 7, zatem prawa również dzieli się przez 7. Stąd

(gdzie
)

Lewa strona równania dzieli się przez 4, zatem prawa również dzieli się przez 4. Stąd

. (gdzie
)

Lewa strona równania dzieli się przez 3, zatem prawa również dzieli się przez 3. Stąd

(gdzie
). Zatem

Szukana liczba jest postaci:
.

Najmniejszą liczbą naturalną tej postaci jest
.

Odp. 301.

Zadanie 4 dla klas trzecich:

Niech
będzie dowolną liczbą rzeczywistą większą od
.

=
=
=

=
=
.

Zapiszmy trójmian
w postaci iloczynowej. Poszukajmy pierwiastków trójmianu:
, stąd
oraz
. Zatem:

=
. Stąd
.

Dla
:
oraz
oraz
oraz
.

Iloczyn liczb dodatnich jest dodatni.

Zatem dla argumentów większych od
wielomian
przyjmuje dodatnie wartości.

Co należało udowodnić.