Siła. Siła jako wektor. Analityczne przedstawienie siły.

Siłą nazywamy miarę mechanicznego oddziaływania ciał materialnych, określającą intensywność i kierunek tego oddziaływania, tzn., że dwa ciała mogą oddziaływać na siebie nie stykając się ze sobą, jeżeli tylko znajdą się w polu siłowym np. grawitacja ziemska.

Siły, które oddziałują między dwoma danymi siłami to s. wew., natomiast działające na nasze ciało z otoczenia to siły zew.

Wektorem nazywamy odcinek prostej łączący dwa punkty np. A i B, w którym wyróżniony jest kierunek, a także jeden z końców odcinka jest początkiem a drugi końcem wektora. Oznaczamy go AB.

Analityczne przedstawienie wektora siły P wymaga przyjęcia odpowiedniego układu współrzędnych np. płaskiego Oxy. Wektor P przedstawiany jest jednoznaczno, jeżeli mamy dane:

- współrzędne początku wektora[współrzędne zawiązania punktu wektora] A(x_A,y_A).

- moduł-wartość wektora P=|OA|

- kąty α, β jakie wektor P tworzy odpowiednio z osiami x,y układu współrzędnych, lub cosinusy tych kątów to cos , cos .

Wektor siły P zaczepiony

w początku ukł.Współrz. przedstawić możemy za pomocą współrz. Wektora, równych co do wartości rzutom wektora na osie ukl. Wspłrz.

P=(Px,Py) => P=| √ Px²+Py² |

Cos α=^Px/_P cos β =^Py/_P

Rzuty Px, Py siły na osie układu wspłrz. Z uwagi na to, że β =90^o- α są równe:

Px= Pcosα Py=P cosβ=Psin α

W szczególnych przypadkach, gdy :

-wektor siły jest równoległy do osi (np. OX) i ma zwrot zgodnie ze zwrotem osi Px=P

- wektor siły równoległy do osi ma zwrot przeciwny do osi to Px=-P

- wektor siły jest prostopadły do osi.

Ciało sztywne: ciało materialne, o wymiarach, których nie można pominąć i które nie ulegną odkształceniu pod działaniem dowolnie dużych sił. Inaczej to sztywny układ punktów materialnych, w którym odległości poszczególnych punktów układu pozostają niezmienne.

Punkt materialny: ciało, które przy badaniu jego ruchu traktować można jako ciało o wymiarach tak małych, że można uważać je za punkt geometryczny, któremu nadano właściwości mechaniczne-masę czy zdolność oddziaływania na inne ciała materialne.

Układ punktów materialnych: zbiór punktów materialnych, których położenie, ruch są ze sobą wzajemnie powiązane.

Prawo superpozycji: pole lub siła pochodzące od kilku źródeł, jest wektorową sumą pól lub sił, jakie wytwarza każde z tych źródeł. Stosuje się je, aby z prostych rozwiązań równania zbudować rozwiązanie złożone, spełniające określone warunki.

Twierdzenie o trzech siłach: (tworzących układ zerorównoważny) Płaski układ trzech sił nierównoległych, jest w równowadze tylko wtedy, gdy linie działania przecinają się w jednym punkcie, a trójkąt sił na nich zbudowany jest zamknięty.

Momentem siły P względem punktu O: leżącego na tej płaszczyźnie nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r=OA (r wodzącego z pkt. O początek A wektora siły) i wektora siły P: M_o(P)= r *P. Wektor M_o (P) jest zaczepiony w punkcie 0, prostopadły do płaszczyzny π, ma wartość równą iloczynowi modułu siły P i ramienia siły d. M₀(P)= Pd₀ i zwrot taki, że patrząc od str. grotu wektora M₀(P) widzimy zwrot siły przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. Tw. Moment siły wzgl. Pkt. Leżącego na prostej działania siły jest równy 0.

Momentem pary sił(P): nazywamy wektor swobodny [jeżeli para sił działa na ciało sztywne] prostopadły do płaszczyzny pi wyznaczonej przez tę parę sił, o zwrocie takim, że patrząc od str. grotu wektora momentu pary (P), widzimy zwroty sił pary, przeciwne do kierunku ruchu wskazówek zegara i module równym iloczynowi modułu jednej z sił pary i ramienia pary d, tzn. odległości prostych działania sił pary: M(P)=P*d.

Z uwagi na to, że moment pary sił jest wektorem swobodnym, można sformułować następujące stwierdzenia:

1. Para sił otrzymana przez przemieszczenie się danej pary w dowolne położenie na płaszczyźnie jej działania π lub na płaszczyźnie równoległej do π jest równoważna danej parze sił. Pary sił, których momenty, co do wartości i znaku są jednakowe są równoważne.

2. Momenty pary sił równoważ. Układowi par sił w płaszczyźnie π jest równy algebraicznej sumie moment. Par składowych [wektory moment. Par skład. Są, bowiem do siebie ||] M=M₁+M₂+…+∑ⁿ_i=l M_i

Momentem siły P wzgl. OX: M_x(P) nazywamy wektor przesuwny, leżący na OX równy momentowi rzutu siły P na płaszczyznę π prostopadłą do osi X(Pπ) wzgl. Pkt. 0 przebicia płaszczyzny π przez oś x. Mx(P)=M₀(Pπ)=Pπ*d₀. W dwóch przypadkach moment siły wzgl. Osi jest równy zeru:

- gdy wektor siły P jest || do obu osi X [wtedy Px=0]

- gdy prosta l działania siły P przecina się z osią x ( wtedy d₀=0).

Twierdzenie o równoległym przesuwaniu siły: Aby przesunąć siłę P zaczepiona w pkt. A aż do zaczepienia jej w pkt. B należy dodać moment, jakim siła ta działa w pierwotnym położeniu na nowy punkt redukcji [pkt. B]

Współczynnik tarcia- współczynnik proporcjonalności μ₀. Geometrycznie interpret. Się go jako tangens kąta tarcia ρ₀[kąta odchylenia reakcji R płaszczyzny B od kierunku normalnej N] dla stanu T_{0 max}=-P_max

Prawa tarcia posuwistego/poślizgowego:

1. Siła tarcia spoczynkowego rozwiniętego[a także poślizgowego] nie zależy od wielkości geometrycznej powierzchni styku i jest proporcjonalna do reakcji normalnej N[do docisku powierzchni styku] zgodnie z zależnościami T_{0 max}=μ₀N i μ₀=tg ρ₀

2. Współczynniki tarcia μ₀ i μ zależą jedynie od rodz. Powierzchni stykających się [ rodz. Materiału i stan pow-chropowatość, smarowność].

3. Siła tarcia spoczynkowego rozwiniętego jest większa od siły tarcia poślizgowego[posuwistego], między współczynnikami istnieje zależność: μ₀> μ

4. Siły tarcia poślizgowego zależą od wzgl. Prędkości ślizgania się ciał.

5. siła tarcia ma zawsze kierunek przeciwny do przesunięcia[ również możliwego lub zamierzonego, jeśli ruch w danym kierunku się nie rozpoczął].

Tarcie graniczne: występuje wtedy, gdy powierzchnie trące są pokryte środkami smarnymi zawierającymi substancje powierzchniowo czynne, które tworzą na powierzchniach elementów warstwy graniczne wyjątkowo odporne na duże naciski i trwale z nimi połączone. Zapobiega to powstawaniu tarcia suchego nawet przy nieciągłym dopływie środka smarnego.

Wzór Eulera na tarcie: cięgien o powierzchnie cylindryczne: Niech napięcie liny wynosi S₀. Napięcie zamierzona na drugim końcu liny S₁>S₀. Różnica pomiędzy S₁ i S₀ wywołana jest siłami tarcia posuwistego elementów cięgna na odcinku jego styku z powierzchnią cylindryczną tzn. S₁-S₀= T Wartość S₁ opisuję za pomocą wzoru Eulera: S₁=S₀e^μα, gdzie e- podtawa log. Naturalnego, μ - współczynnik tarcia poślizgowego cięgna o pow. cylindry., α- kąt opasania [rad]; czyli T=S₁-S₀=S₀(1-e^μα)

Moment statyczny przekroju płaskiego : wzgl. Osi. Moment statyczny punktu materialnego równy jest iloczynowi masy punktu przez odległość od interesującego nas elementu układu współrz. Sx=m_ir_ix=m_i √y_i²+z_i² Sy= m_ir_iy=m_i√x_i²+z_i² Sz=m_ir_iz=m_i√x_i²+y_i² [kg*m]. Jeżeli punkt materialny leży na płaszczyźnie układu Oxy to położenie masy pkt. [mi] na płaszczyźnie chartka. Następujące momenty stat.:

- pkt. Mat. Wzgl. Osi układu Sx=m_iy_i, Sy=m_ix_i

- pkt. Mat. Wzgl. Początku układu O S₀= m_iρ_i= m_i√x_i²+y_i²

powierzchniowe momenty stat.- to momenty przekrojów figur płaskich, w których elementarny moment stat. Jest równy iloczynowi elem. Pola wyróżnionego na przekroju i jego odległ. Od odpowiedniej osi. Miano moment to m³

Moment bezwładności : układu u pkt. Mat. Obliczamy jako sumy moment. Bezwład. Wszystkich pkt. Układu. Dla układu pkt-ów leżących na jednej płaszczyźnie mamy: Ix=∑_i=1ⁿm_iy_i²

Iy=∑ⁿ_i=1m_ix_i² Ixy=∑ⁿ_i=1m_ix_iy_i

I₀=∑ⁿ_i=1m_iρ_i²=∑ⁿ_i=1m_i(x_i²+y_i²)= Ix+Iy

Prawo Steinera: Momenty bezwładności wzgl. Osi środkowych, tzn. osi przechodzących przez środek ciężkości, są najmniejsze ze wszystkich momentów względem osi równoległych do danych osi środkowych. Momenty względem osi nie będących środkowymi są większe od momentu względem osi środkowych o iloczyn masy ciała (masy układu) i kwadratu tych odległości od osi środkowej.

Płytka axb o m, moment bezwład. Wzgl Ox. dm=ρ_i dF=ρ_iady lub dm/dF=m/f dm/ady=m/db skąd dm=m/b Dy

dIx= y²dm=m/b*y²dy

Ix=∫_my²dm=∫^b₀m/b*y²dy=my³/3b|^b₀=mb²/3

Ruch punktu na płaszczyźnie najczęściej opisany jest za pomoca współrzędnych prostokątnego układu współrz. Oxyz, w przypadku przestrzennego ruchu punktu zmieniających się w czasie t: x₁=f₁(t)=x(t)

y₁₌f₁(t)=y(t)

Ruch punktu na płaszczyźnie wygodnie jest w pewnych przypadkach opisywać za pomocą współrzędnych biegunowych. Równania ruchu w tym układzie mają postać: r=f₁(t) φ=f₂(t)

Równaniami ruchu można opisać np. ruch pkt po okręgu. Mamy wtedy r=const i φ(t). Między tymi współrzędnymi a współrz. Pkt. W prostokąt. Układ. Współrz. Oxy poprowadzonym przez biegun O mamy proste związki: x=rcosφ y=rsinφ, oraz r= |√x²+y²|; sinφ=y/|√x²+y²|

Przyspieszenie normalne: (a_n)wpływa na zmianę kierunku wektora prędkości, a więc na zakrzywienie toru punktu. Moduł tego przyspieszenia jest równy: a_n=v²/ρ.

Gdzie ρ=MC-promień krzywizny toru w najbliższym otoczeniu punktu m.

Przyspieszenie styczne: (a_t)wpływa na wartość prędkości. Jeżeli jest skierowane zgodnie z wektorem prędkości (v), to powoduje przyspieszenie ruchu, a jeżeli jest przeciwne do v-opóźnienie ruchu. Moduł tego przysp. Jest równy drugiej pochodnej współrzędnej łukowej względem czasu lub pierwszej pochod. Modułu v pkt.

a_t=|d²s/dt²|=|dv/dt|

Przyspieszenie Coriolisa- Tw. W przypadku niepostępowego ruchu unoszenia przyspieszenie bezwzględne punktu (a_b) jest równe sumie przyspieszenia unoszenia (a_u), przyspieszenia względnego (a_w) i przyspieszenia Coriolisa (a_c).

a_b=a_u+a_w+a_c

Nazywamy składową przyspieszenia bezwzględnego punktu w ruchu złożonym, równą podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej unoszenia i prędkości względnej punktu :

a_c= 2(ω_u*v_w)

Prędkość kątowa: Prędkośc kątowa ciała (ω)w ruchu obrotowym jest wektorem przesuwnym, leżącym na osi obrotu z, o zwrocie pokrywającym się ze zwrotem osi z, w przypadku powiększenia się dodatniego kąta obrotu i module równym pochodnej kąta obrotu względem czasu:

ω=|dφ/dt|=|φ| [rad/s]=[1/s]

Przełożenie przekładni złożonej równoległej: Przełożenie przekładni równoległej z n kołami walcowymi jest równe iloczynowi promieni {średnic, liczby zębów) kół biernych pojedynczych przekładni składowych do promieni (średnic, liczby zębów) kół biernych przekładni składowych.

Zasady dynamiki:

I Zasada bezwładności:

W przestrzeni istnieją układy odniesienia zwane inercjalnymi, mające następującą własność: ruch każdego punktu materialnego, na który nie działają żadne siły, lub działają zrównoważone układy sił, przebiega w układach inercjalnych niezmiennie, tzn. jest on ruchem jednostajnym prostoliniowym lub spoczynkiem

II Zasada zmienności ruchu:

Jeżeli na punkt materialny, znajdujący się w układzie inercjalnym, działa siła, to stan kinematyczny ciała(stan ruchu mechanicznego) punktu ulegnie zmianie, wyznaczonej przyspieszeniem punktu. Przyspieszenie punktu materialnego jest wprostproporcjonalne do siły przyłożonej ciała i ma ten sam, co siła kierunek.

M=P/a m=G/g

III Zasada akcji-reakcji

Układ materialny na który nie działają żadne siły zewnętrzne, nazywamy układem odosobnionym. Pęd układu odosobnionego jest wielkością stałą.Siły wzajemnego oddziaływani dwóch punktów materialnych mają jednakowe moduły, leżą na prostej łaczocej oba punkty i mają podobne zwroty. P-R=0

IV. Zasada superpozycji: kilka sił jednocześnie działających na punkt materialny nadaje temu punktowi takie przyspieszenie, jakie wywołałaby jedna siła równa sumie wektorowej sił działających na punkt.

Zasada zachowania pędu p.m. Jeżeli na punkt materialny nie działa żadna siła lub działa układ sił zrównoważony, to pęd punktu pozostaje bez zmian.

Zasada d'Alamberta: Wektorowa suma sił czynnych, reakcji więzów i sił bezwładności działających na punkt materialny jest równa zeru: P+R+B=0

---