Metoda Rungego-Kutty, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła


Wydział MT

Kierunek MiBM

Grupa 4

Ćwiczenie F

Temat : Całkowanie dynamicznych równań ruchu metodą Rungego - Kutty ; drgania układu o jednym stopniu swobody

Sekcja 10

  1. Górski Rafał

  1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z numerycznym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych na przykładzie dynamicznych równań ruchu oraz zapoznanie się z zastosowaniem metody Newmarka do rozwiązywania różniczkowych równań ruchu na przykładzie drgań układu o jednym stopniu swobody.

  1. Podstawy teoretyczne

II.1 Metody Rungego - Kutty

Metody Rungego - Kutty są zasadniczym reprezentantem metod jednokrokowych. Metody jednokrokowe charakteryzują się tym, że w celu wykonania jednego kroku obliczeń wykorzystujemy to przybliżenie, które zostało obliczone w bezpośrednio poprzedzającym kroku. Tak więc na podstawie samego warunku początkowego yo obliczamy y1, na podstawie y1 obliczamy y2 i tak dalej. Konstrukcja metod Rungego - Kutty oparta jest na zależności całkowej : y(x) = y(xn) + ∫f(x,y(x)) dx ; x > xn .

Ideą metody jest sposób przybliżenia całki za pomocą sumy, w której każdy składnik tej sumy jest wyrażony poprzez y(xi). W ten sposób metoda Rungego - Kutty polega na takim doborze współczynników a1, a2, b1, b2, ... , oraz liczb A1, A2, ... , aby

yi+1 = yi + h∑mjAj

Wykonanie jednego kroku obliczeń za pomocą metody Rungego - Kutty następuje w bardzo prosty sposób; jeżeli dla xi obliczono już yi(yi≈ yi(xi)), to w celu wykonania następnego kroku obliczeń zakładamy pewną długość kroku całkowania h, obliczmy kolejno k1, k2 , ... ,km, a następnie yi+1 będące przybliżeniem y(xi+1) dla xi+1 = xi + h. Należy podkreślić, że oszacowanie błędu całkowitego i błędu aproksymacji jest trudne. Dlatego ocena dokładności obliczeń na podstawie tych oszacowań byłaby całkowicie niepraktyczna. Bardzo popularnym sposobem oszacowania błędu i rozstrzygania o dokładności obliczeń jest ekstrapolacja. Idea tego sposobu polega na porównaniu wyniku uzyskanego w pojedynczym kroku obliczeń z długością kroku h z wynikiem uzyskanym po dwóch kolejnych krokach obliczeń wykonanych z długością kroku h/2.

II.2 Drgania układu o jednym stopniu swobody.

II.2.1 Metoda Newmarka

Metoda Newmarka jest jedną z metod numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych. Zakładamy, że znane są przemieszczenie, prędkość i przemieszczenie w chwili t1. Przyjmujemy oznaczenia

x(ti) = xi ,

x(ti + Δt) = xi+1 ,

gdzie Δt - krok czasowy

Prędkość w chwili ti +h jest równa

x(ti + h) = x(ti) + ∫ x(ti + τ)dτ, 0≤τ≤h≤∆t.

Żeby wyznaczyć prędkość i przemieszczenie należy znać przebieg przyspieszenia w czasie od ti do ti+1. W metodzie Newmarka zakłada się charakter zmiany przyspieszenia. Równania metody mają postać :

xi+1 = Δt[(1- γ)∙ xi + γ∙ xi+1)],

xi+1 = xi + Δt∙ xi + Δt2 [(½ - β)∙ xi + β∙ xi+1].

Założonemu przebiegowi przyspieszenia odpowiadają określone wartości parametrów β i γ. Przyjmuje się γ = ½, gdyż taka wartość parametru zapewnia przynajmniej drugi rząd dokładności metody.

Układ powyższych równań oraz równanie drgań ułożone dla następującego kroku czasowego

m∙ xi+1 + c∙ xi+1 + k∙ xi+1 = 0

pozwalają wyznaczyć nieznane wartości przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.

Żeby rozpocząć obliczenia, należy podać przemieszczenie i prędkość w chwili początkowej. Rozwiązanie numeryczne otrzymane metodą Newmarka ma okres drgań Tn , różniący się od dokładnego.

Warianty metody Newmarka, dla których β < ¼, charakteryzują się gwałtownym skróceniem okresu drgań po przekroczeniu pewnej wartości kroku czasowego. Zjawisku temu towarzyszy utrata stabilności rozwiązania. Całkując równanie drgań przy parametrze β = ¼ (metoda stałego przyspieszenia), otrzymuje się rozwiązanie stabilne niezależnie od przyjętego kroku całkowania.

  1. Wyniki pomiarów.

III.1. Rzut ukośny

prędkość początkowa : vo = 500 [m/s]

krok całkowania : 1/10

  1. opór powietrza c = 0

kąt α [˚]

30

45

60

max. zasięg [m]

22500

22500

22500

max. wysokość [m]

3200

6000

9500

  1. opór powietrza c = 0,01

kąt α [˚]

30

45

60

max. zasięg [m]

340

290

220

max. wysokość [m]

100

160

230

  1. wykres

III.2. Metoda Newmarka

  1. wyznaczenie wartości współczynnika c

dane : m = 10 [kg]

k = 1 [N/m]

z wykresu : T1 = 20 [s]

(xmax)i = 0,75

(xmax)i+1 = 0,55

(xmax)i

0x08 graphic
δ = ln = h∙T1 = 0,310154 => h= 0,0155

(xmax)i+1

h = c/2m => c = h∙2m

c = 0,320

współczynnik tłumienia krytyczny występuje dla ω = h, więc

ckr = 2m√ k/m = 6,324

  1. dane początkowe

masa m [kg]

10

10

wsp. sztywności k [N/m]

1

1

wsp. tłumienia c [Ns/m]

0,32

6,32

amplituda siły

0

0

okres T

20

20

war. początkowa

xo

0,1

0,1

yo

0

0

par. metody

β

0,25

0,25

γ

0,5

0,5

krok całkowania

0,1

0,1

liczba kroków

800

800

  1. Wnioski

IV.1. rzut ukośny

Dla c = 0,01 największy zasięg wystąpił dla rzutu pod kątem 30˚.Jest to spowodowane tym, że cosinus kąta nachylenia jest dla tego kąta największy, przez co jednocześnie zasięg jest największy. Analogicznie, jeżeli chodzi o max. wysokość to jest ona największa dla kąta rzutu 60˚, ponieważ wysokość zależy od sinusa kąta nachylenia. Jeżeli chodzi o rzut ukośny z współczynnikiem c = 0 , to zasięg dla wszystkich badanych kątów rzutu był taki sam. Jest tak dlatego, że opór powietrza dla składowej "iksowej " prędkości nie występuje, przez co rzucenie ciała pod dowolnym kątem daje nam taki sam zasięg. Nie jest tak jeżeli chodzi o maksymalną wysokość. Tutaj bowiem działa na składową "igrekową" siła grawitacji i wyniki są zbliżone do tych ,które są z współczynnikiem c = 0,01 ;czyli wysokość jest proporcjonalnie większa, lecz tak samo zależy od sinusa kąta wyrzutu ciała.

IV.2. Drgania układu o jednym stopniu swobody

Dla współczynnika c = 0,32 wystąpiło tłumienie podkrytyczne. Wystąpiły oscylacje, a przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie były identyczne jak na załączonym wykresie.

Dla współczynnika c = 6,32 wystąpiło tłumienie krytyczne. Ruch w tym przypadku nie miał charakteru drgań. Wychylenie x z położenia równowagi szybko malało z upływem czasu i zdążało asymptotycznie do zera.

Na podstawie tych pomiarów można zauważyć, jakie znaczenie ma współczynnik c na ruch ciała sprężystego. Jednak charakterystyczne dla ciała sprężystego jest również to, czy względny współczynnik tłumienia (h) i częstość drgań własnych układu bez tłumienia (ω) są sobie równe, lub czy jeden z nich jest większy od drugiego. Od tego bowiem zależy, czy ciało będzie drgało, czy też wystąpi tłumienie krytyczne lub nadkrytyczne dla którego układ nie drga. Podsumowując : układ drga tylko wtedy, gdy wartość współczynnika c jest mniejsza od wartości krytycznej.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Analiza ruchu prostolinioweg1, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Pomiar bezwladnosci ciala sztywnego za pomoca wahadla skretn, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadc
Plan laboratoriow, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Proto analiza ruchu, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Protokol pomiarowy, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
tarcie w naszym wykonaniu, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Ilustracja zasady zachowania pedu, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Protokol pomiarowy 1, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Sprawozdanie A-do wydruku, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Wyznaczanie polozenia srodka masy i masowego momentu bezwlad, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadc
Protokol pomiarowy1, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Wyznaczanie wspolczynnika tarcia kinetycznego i statycznego , Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadc
Doswiadczalne wyznaczanie sil w pretach kratownicy plaskiej , Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadc
Wyznaczanie przyspieszenia Atwood, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Pierwsza strona do wydruku, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Prety kratownicy plaskiej, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Mechanika - egzamin ustny, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła
Wyniki pomiarow i obliczen, Księgozbiór, Studia, Mechnika Doświadczalna, Zwykła

więcej podobnych podstron