Wydział MT
Kierunek MiBM
Grupa 4
Ćwiczenie F
Temat : Całkowanie dynamicznych równań ruchu metodą Rungego - Kutty ; drgania układu o jednym stopniu swobody
Sekcja 10
|
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z numerycznym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych na przykładzie dynamicznych równań ruchu oraz zapoznanie się z zastosowaniem metody Newmarka do rozwiązywania różniczkowych równań ruchu na przykładzie drgań układu o jednym stopniu swobody.
Podstawy teoretyczne
II.1 Metody Rungego - Kutty
Metody Rungego - Kutty są zasadniczym reprezentantem metod jednokrokowych. Metody jednokrokowe charakteryzują się tym, że w celu wykonania jednego kroku obliczeń wykorzystujemy to przybliżenie, które zostało obliczone w bezpośrednio poprzedzającym kroku. Tak więc na podstawie samego warunku początkowego yo obliczamy y1, na podstawie y1 obliczamy y2 i tak dalej. Konstrukcja metod Rungego - Kutty oparta jest na zależności całkowej : y(x) = y(xn) + ∫f(x,y(x)) dx ; x > xn .
Ideą metody jest sposób przybliżenia całki za pomocą sumy, w której każdy składnik tej sumy jest wyrażony poprzez y(xi). W ten sposób metoda Rungego - Kutty polega na takim doborze współczynników a1, a2, b1, b2, ... , oraz liczb A1, A2, ... , aby
yi+1 = yi + h∑mjAj
Wykonanie jednego kroku obliczeń za pomocą metody Rungego - Kutty następuje w bardzo prosty sposób; jeżeli dla xi obliczono już yi(yi≈ yi(xi)), to w celu wykonania następnego kroku obliczeń zakładamy pewną długość kroku całkowania h, obliczmy kolejno k1, k2 , ... ,km, a następnie yi+1 będące przybliżeniem y(xi+1) dla xi+1 = xi + h. Należy podkreślić, że oszacowanie błędu całkowitego i błędu aproksymacji jest trudne. Dlatego ocena dokładności obliczeń na podstawie tych oszacowań byłaby całkowicie niepraktyczna. Bardzo popularnym sposobem oszacowania błędu i rozstrzygania o dokładności obliczeń jest ekstrapolacja. Idea tego sposobu polega na porównaniu wyniku uzyskanego w pojedynczym kroku obliczeń z długością kroku h z wynikiem uzyskanym po dwóch kolejnych krokach obliczeń wykonanych z długością kroku h/2.
II.2 Drgania układu o jednym stopniu swobody.
II.2.1 Metoda Newmarka
Metoda Newmarka jest jedną z metod numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych. Zakładamy, że znane są przemieszczenie, prędkość i przemieszczenie w chwili t1. Przyjmujemy oznaczenia
x(ti) = xi ,
x(ti + Δt) = xi+1 ,
gdzie Δt - krok czasowy
Prędkość w chwili ti +h jest równa
x(ti + h) = x(ti) + ∫ x(ti + τ)dτ, 0≤τ≤h≤∆t.
Żeby wyznaczyć prędkość i przemieszczenie należy znać przebieg przyspieszenia w czasie od ti do ti+1. W metodzie Newmarka zakłada się charakter zmiany przyspieszenia. Równania metody mają postać :
xi+1 = Δt[(1- γ)∙ xi + γ∙ xi+1)],
xi+1 = xi + Δt∙ xi + Δt2 [(½ - β)∙ xi + β∙ xi+1].
Założonemu przebiegowi przyspieszenia odpowiadają określone wartości parametrów β i γ. Przyjmuje się γ = ½, gdyż taka wartość parametru zapewnia przynajmniej drugi rząd dokładności metody.
Układ powyższych równań oraz równanie drgań ułożone dla następującego kroku czasowego
m∙ xi+1 + c∙ xi+1 + k∙ xi+1 = 0
pozwalają wyznaczyć nieznane wartości przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
Żeby rozpocząć obliczenia, należy podać przemieszczenie i prędkość w chwili początkowej. Rozwiązanie numeryczne otrzymane metodą Newmarka ma okres drgań Tn , różniący się od dokładnego.
Warianty metody Newmarka, dla których β < ¼, charakteryzują się gwałtownym skróceniem okresu drgań po przekroczeniu pewnej wartości kroku czasowego. Zjawisku temu towarzyszy utrata stabilności rozwiązania. Całkując równanie drgań przy parametrze β = ¼ (metoda stałego przyspieszenia), otrzymuje się rozwiązanie stabilne niezależnie od przyjętego kroku całkowania.
Wyniki pomiarów.
III.1. Rzut ukośny
prędkość początkowa : vo = 500 [m/s]
krok całkowania : 1/10
opór powietrza c = 0
kąt α [˚] |
30 |
45 |
60 |
max. zasięg [m] |
22500 |
22500 |
22500 |
max. wysokość [m] |
3200 |
6000 |
9500 |
opór powietrza c = 0,01
kąt α [˚] |
30 |
45 |
60 |
max. zasięg [m] |
340 |
290 |
220 |
max. wysokość [m] |
100 |
160 |
230 |
wykres
III.2. Metoda Newmarka
wyznaczenie wartości współczynnika c
dane : m = 10 [kg]
k = 1 [N/m]
z wykresu : T1 = 20 [s]
(xmax)i = 0,75
(xmax)i+1 = 0,55
(xmax)i
δ = ln = h∙T1 = 0,310154 => h= 0,0155
(xmax)i+1
h = c/2m => c = h∙2m
c = 0,320
współczynnik tłumienia krytyczny występuje dla ω = h, więc
ckr = 2m√ k/m = 6,324
dane początkowe
masa m [kg] |
10 |
10 |
|
wsp. sztywności k [N/m] |
1 |
1 |
|
wsp. tłumienia c [Ns/m] |
0,32 |
6,32 |
|
amplituda siły |
0 |
0 |
|
okres T |
20 |
20 |
|
war. początkowa |
xo |
0,1 |
0,1 |
|
yo |
0 |
0 |
par. metody |
β |
0,25 |
0,25 |
|
γ |
0,5 |
0,5 |
krok całkowania |
0,1 |
0,1 |
|
liczba kroków |
800 |
800 |
Wnioski
IV.1. rzut ukośny
Dla c = 0,01 największy zasięg wystąpił dla rzutu pod kątem 30˚.Jest to spowodowane tym, że cosinus kąta nachylenia jest dla tego kąta największy, przez co jednocześnie zasięg jest największy. Analogicznie, jeżeli chodzi o max. wysokość to jest ona największa dla kąta rzutu 60˚, ponieważ wysokość zależy od sinusa kąta nachylenia. Jeżeli chodzi o rzut ukośny z współczynnikiem c = 0 , to zasięg dla wszystkich badanych kątów rzutu był taki sam. Jest tak dlatego, że opór powietrza dla składowej "iksowej " prędkości nie występuje, przez co rzucenie ciała pod dowolnym kątem daje nam taki sam zasięg. Nie jest tak jeżeli chodzi o maksymalną wysokość. Tutaj bowiem działa na składową "igrekową" siła grawitacji i wyniki są zbliżone do tych ,które są z współczynnikiem c = 0,01 ;czyli wysokość jest proporcjonalnie większa, lecz tak samo zależy od sinusa kąta wyrzutu ciała.
IV.2. Drgania układu o jednym stopniu swobody
Dla współczynnika c = 0,32 wystąpiło tłumienie podkrytyczne. Wystąpiły oscylacje, a przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie były identyczne jak na załączonym wykresie.
Dla współczynnika c = 6,32 wystąpiło tłumienie krytyczne. Ruch w tym przypadku nie miał charakteru drgań. Wychylenie x z położenia równowagi szybko malało z upływem czasu i zdążało asymptotycznie do zera.
Na podstawie tych pomiarów można zauważyć, jakie znaczenie ma współczynnik c na ruch ciała sprężystego. Jednak charakterystyczne dla ciała sprężystego jest również to, czy względny współczynnik tłumienia (h) i częstość drgań własnych układu bez tłumienia (ω) są sobie równe, lub czy jeden z nich jest większy od drugiego. Od tego bowiem zależy, czy ciało będzie drgało, czy też wystąpi tłumienie krytyczne lub nadkrytyczne dla którego układ nie drga. Podsumowując : układ drga tylko wtedy, gdy wartość współczynnika c jest mniejsza od wartości krytycznej.