AUTOMATYKA- KUROWSKA

AUTOMATYKA-jest zbiorem teorii matematycznych i techniką rozumowania dotyczącą podejmowania i wykonania decyzji. Technikę tę można dostosować do jakiegokolwiek zbioru powiązanych elementów (system).

MODEL MATEMATYCZNY SYSTEMU: zespół zależności matematycznych będących reprezentacją interesujących nas właściwości systemu i umożliwiających przewidywanie zachowania się systemu na drodze określonych rozwiązań.

ZADANIEM AUTOMATYKI: jest podjęcie decyzji na podstawie posiadanych o systemie informacji uwzględniając warunki zewnętrzne.

RYSUNEK UKŁAD OTWARTY (1)

RYSUNEK UKŁAD ZAMKNIĘTY (2)

Wytrącenie układu z równowagi to: --zmiana wartości zadanej „u”, --zakłócenia ↓↓↓ (w szczeg na obiekt).

sygnału y lub częsci do sygnału x nazywa się SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM- połączenia wyjścia układu wejściem. Może to być sprzężenie dodatnie lub ujemne. W układzie regulacji musi to być sprzężenie ujemne.

WĘZEŁ ZACZEPOWY- do węzła dochodzi jeden sygnał a wychodzić może ich wiele i to są te same sygnały RYS (3)

WĘZEŁ SUMACYJNY: algebraicznie sygnały się sumują. RYS (4)

UKŁAD REGULACJI SPROW DO JEDNEGO BLOKU:

RYS (5)

Trzeba znać model matem obiektu, trzeba znaleźć rozwiązanie, zależność między sygnałem wyjściowym a wejściowym.

UKŁADY RZECZYWISTE: zakładamy, że układy te są stacjonarne bierzemy pod uwagę okres pracy jaki nas interesuje), przez cały czas działania zasada tego działania i samo działanie nie ulega zmianie.

MODELE MATEMATYCZNE OBIEKTÓW (opisy układów) są liniowe:

WE → œ → WY,

IDENTYFIKACJA OBIEKTU: to proces określania jego właściwości dynamicznych czyli proces znajdowania modelu matematycznego obiektu. Trzeba badać y w odpowiedzi na x. Metoda identyfikacyjna to podanie skoku jednostkowego.

TRANSMITACJA OPERATOROWA: równanie różniczkowe.

Przekształcenie La Place'a.

Całka musi być zależna tzn.

TRANSMITACJA OPERATOROWA UKŁADU: stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy założeniu zerowych warunków początkowych.

T- jeden z modeli matematycznych opisujących dynamikę układu.

RYSUNEK (6)

RÓWNANIE CHARAKTERYSTYCZNE UKŁADU: to mianownika transmitacji zastępczej tego układu przyrównany do zera. Od tego równania zależy stabilność układu.

OPIS MATEMATYCZNY UKŁADU: po to odnajdujemy go, aby poznać jego dynamikę, aby móc dobierać taki regulator, który będzie działał w ten sposób aby kształtować sygnał wyjściowy tak jak chcemy. DYNAMIKA OBIEKTU: zespół danych do rozwiązania równania.

REGULATOR: komputer, który rozwiązuje równanie matematyczne.

Opis układu przy pomocy TRANSMITACJI WIDMOWEJ (częstotliwościowej) układ. Zastępujemy tu w transmitacji operatorowej s=jw.

j- jednostka urojona. G(jw.)=G(s), j²=-1, j=(-1)^1/2 , w-pulsacja, w=2pif

TRANSMITACJA WIDMOWA: wykres w płaszczyźnie zespolonej nazywa się CHARAKTERYSTYKĄ AMPLITUDOWO-FAZOWĄ.

Na wejściu obiektu podaje się sygnał sinusoidalny. RYS (7)

RYS (8)

1) SYGNAŁ SKOKU JEDNOSTKOWEGO: rys (9)

h(t) --odpowiedź skokowa układu, --na jej podstawie wyciągamy wnioski o transmitacji układu. t- czas narastania pomijalnie mały do stałych czasowych obiektu- mamy tu sygnał skoku jednostkowego.

2) SYGNAŁ: IMPULS (funkcja) Dirac'a. , nie jesteśmy w stanie go wygenerować.

RYS (10)

Transmitacja układu to odpowiedź układu na impuls dirac'a, opis służy do wyznaczania sygnału wyjściowego.

PODSTAWOWE ELEMENTY AUTOMATYKI.

1) ELEMENT PROPORCJONALNY- równanie dynamiki ma postać y=k*x, k-wsp wzmocnienia, obiekt jest statyczny, nie ma pochodnych. CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA y=k*x.

RYSUNEK (11).

CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA: stosunek sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego w stanie ustalonym.

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA: x(t)=1(t), y(t)=4*1(t),

Dostajemy wartość skoku jednostkowego. RYS (12)

CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA: RYS (13)

Wyznaczyć równanie ruchu i transmitacjię operatywną dźwigni dwuramienną jeżeli wielkością wejściową jest przesunięcie x a wielkością wyjściową przesunięcie y. Dźwignia jest elementem proporcjonalnym RYS (14)

2) ELEMENT INERCYJNY PIERWSZEGO RZĘDU (STOPNIA): jeżeli układ b można opisać równaniem T dy^(t)/dt + y(t)=kx(t)

TRANSMITACJA: TY(s)*s+ Y(s) =kx(s), G(s)= Y(s)/ X(s)= k/TS+1

CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA: y=kx, y(t)=k(1-e^-t/T), kształt transmitacji: G(s)= k/1=sT. RYS (15)

CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA (transmitacja widmowa). RYS (16)

3ELEMENT INERCYJNY WYŻSZEGO RZEDU (przykład elementu statycznego). G(s)= (k/1+St) *e^-ST RYS (17)

STABILNOŚĆ UKŁADU:

RYS (18)

UKŁAD JEST STABILNY: Układ jest stabilny gdy powraca do stanu równowagi po ustaniu działania czynnika wytrącającego go z tego stanu równowagi. Zamknięty układ liniowy uważać będziemy za stabilny jeżeli po wytrąceniu z równowagi powraca on do stanu równowagi poprzedniej po ustaniu działania sygnału który go z tej równowagi wytrącił. Granicą stabilności są oscylacje stałe- nie rosnące.

Warunek stabilności- części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne: R_eSk< 0. jeśli tak nie jest to stosujemy korektor. M(s)=a_nSⁿ + a_n-1 S^n-1+…+a₀=0.

Mianownika transmitacji zastępczej układ- czyli wielomian charakterystyczny układu.

WARUNEK STABILNOŚCI; części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne: R_eSk <0, jeśli tak nie jest to stosujemy korektor . RYS (19)

KRYTERIA STABILNOŚCI:

1) KRYTERIUM HURWITZA: M(S)=a_nSⁿ + a_n-1 S^n-1+…+a₁S+a₀=0.

a) a_n>0, a_n-1>0, … a₀>0. wszystkie współczynniki równania charakterystycznego dodatnie (tego samego znaku).

ELEMENTY SKŁADAJĄCE SIĘ NA DOBÓR REGULATORA:

Wzmocnienie „K”,

element całkujący,

element różniczkujący.

2) KRYTERIUM NYQUISTA: sprawdzanie stabilności układu zamkniętego poprzez sprawdzenie charakterystyki amplitudowo- falowej: A) Badamy charakterystykę częstotliwościową układu otwartego.

RYS (20)

Układ zamknięty jest stabilny jeżeli charakterystyka amplitudowo fazowa układu otwartego przy poruszaniu się w kierunku rosnących częstotliwości zostawia punkt (-1, j0) po swojej lewej stronie (na zewnątrz).

RYS (21)

ΔM- zapas stabilności modułu- odległość punktu przecięcia się charakterystyki układu otwartego z osią rzeczywistą do pkt -1

Δϕ- zapas stabilności fazy- kąt pomiędzy ujemną osią R_e a promieniem łączącym pkt przecięcia się charakterystyki z okręgiem ze środka układu. Zalecane: ΔM=>0.5, Δϕ: 30-45⁰

Kiedy układ zamknięty jest niestabilny to zmieniamy nastawy regulatora lub dodajemy sprężenie zerujące do obiektu.

KRYTERIA JAKOŚCI REGULACJI:

STANDARDOWE SYGNAŁY ODNIESIENIA: RYS (22)

CZAS REGULACJI: czas po jakim wartość regulowana osiąga wartość zadaną z założoną dokładnością.

Jedno z kryteriów to min. czasu regulacji. Jeśli minimaliz. ten czas to nastawiamy takie nastawy regulatora aby ten czas był minmalny.

Inne kryterium to kryterium określonego lub minim przeregulowania.

PRZEREGULOWANIE; chodzi by ograniczyć amplitudę pierwszego zamknięcia. RYS (23)

Trzecie kryterium z grupy kryteriów odcinkowych to ΔM i Δϕ

CZAS REGULACJI- RYS (24)

W stanie ustalonym jest błąd statyczny (ustalony). RYS (25)

KRYTERIA CAŁKOWE:

RYS (26)

KRYTERIUM całki z kwadratu błędu: tak dobier nastawy regulatora aby całka była minmalna.

UKŁADY LOGICZNE:

HYBRYDA: połączenie dwu lub więcej elementów zupełnie ze sobą nie związanych. UKŁAD HYBRYDOWY: połączenie układu cyfrowego z układem analogowym. SYGNAŁ ANALOGOWY: sygnał ciągły. SYGNAŁ LOGICZNY: zero-jedynkowy (binarny). UKŁAD LOGICZNY: działający w oparciu o sygnały logiczne czyli zero-jedynkowe. UKŁADY ANALOGOWY: działa w oparciu o sygnały ciągłe. SYGNAŁ CYFROWY: mają skończoną liczbę wartości np. logiczny (o/1- binarny).

ALGEBRA BOOL'A (ALGEBRA LOGIKI):-- dziedzina matematyki, w której określony został zbiór dwuelementowy B={0,1} oraz określone (zdefiniowane) zostały trzy operacje. A) NEGACJE: jednoargumentowa, B) SUMA LOGICZNA: zwana alternatywą, wieloargumentowa (2 lub więcej). C) ILOCZYN LOGICZNY: koniunkcja, wieloelementowa operacja, której wynikiem jest 1 gdy wszystkie elementy są jedynkami lub żaden element nie jest zerem. a+1=1, a+0=0 lub 1=a, a*0=0, a*1=1lub 0 =a, a*a =0, a*a*a...=0lub 1=a,

PRAWA: przemienność, łączność

PRAWA de MORGANA:

AUTOMATYKA- KUROWSKA

AUTOMATYKA-jest zbiorem teorii matematycznych i techniką rozumowania dotyczącą podejmowania i wykonania decyzji. Technikę tę można dostosować do jakiegokolwiek zbioru powiązanych elementów (system).

MODEL MATEMATYCZNY SYSTEMU: zespół zależności matematycznych będących reprezentacją interesujących nas właściwości systemu i umożliwiających przewidywanie zachowania się systemu na drodze określonych rozwiązań.

ZADANIEM AUTOMATYKI: jest podjęcie decyzji na podstawie posiadanych o systemie informacji uwzględniając warunki zewnętrzne.

RYSUNEK UKŁAD OTWARTY (1)

RYSUNEK UKŁAD ZAMKNIĘTY (2)

Wytrącenie układu z równowagi to: --zmiana wartości zadanej „u”, --zakłócenia ↓↓↓ (w szczeg na obiekt).

sygnału y lub częsci do sygnału x nazywa się SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM- połączenia wyjścia układu wejściem. Może to być sprzężenie dodatnie lub ujemne. W układzie regulacji musi to być sprzężenie ujemne.

WĘZEŁ ZACZEPOWY- do węzła dochodzi jeden sygnał a wychodzić może ich wiele i to są te same sygnały RYS (3)

WĘZEŁ SUMACYJNY: algebraicznie sygnały się sumują. RYS (4)

UKŁAD REGULACJI SPROW DO JEDNEGO BLOKU:

RYS (5)

Trzeba znać model matem obiektu, trzeba znaleźć rozwiązanie, zależność między sygnałem wyjściowym a wejściowym.

UKŁADY RZECZYWISTE: zakładamy, że układy te są stacjonarne bierzemy pod uwagę okres pracy jaki nas interesuje), przez cały czas działania zasada tego działania i samo działanie nie ulega zmianie.

MODELE MATEMATYCZNE OBIEKTÓW (opisy układów) są liniowe:

WE → œ → WY,

IDENTYFIKACJA OBIEKTU: to proces określania jego właściwości dynamicznych czyli proces znajdowania modelu matematycznego obiektu. Trzeba badać y w odpowiedzi na x. Metoda identyfikacyjna to podanie skoku jednostkowego.

TRANSMITACJA OPERATOROWA: równanie różniczkowe.

Przekształcenie La Place'a.

Całka musi być zależna tzn.

TRANSMITACJA OPERATOROWA UKŁADU: stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy założeniu zerowych warunków początkowych.

T- jeden z modeli matematycznych opisujących dynamikę układu.

RYSUNEK (6)

RÓWNANIE CHARAKTERYSTYCZNE UKŁADU: to mianownika transmitacji zastępczej tego układu przyrównany do zera. Od tego równania zależy stabilność układu.

OPIS MATEMATYCZNY UKŁADU: po to odnajdujemy go, aby poznać jego dynamikę, aby móc dobierać taki regulator, który będzie działał w ten sposób aby kształtować sygnał wyjściowy tak jak chcemy. DYNAMIKA OBIEKTU: zespół danych do rozwiązania równania.

REGULATOR: komputer, który rozwiązuje równanie matematyczne.

Opis układu przy pomocy TRANSMITACJI WIDMOWEJ (częstotliwościowej) układ. Zastępujemy tu w transmitacji operatorowej s=jw.

j- jednostka urojona. G(jw.)=G(s), j²=-1, j=(-1)^1/2 , w-pulsacja, w=2pif

TRANSMITACJA WIDMOWA: wykres w płaszczyźnie zespolonej nazywa się CHARAKTERYSTYKĄ AMPLITUDOWO-FAZOWĄ.

Na wejściu obiektu podaje się sygnał sinusoidalny. RYS (7)

RYS (8)

1) SYGNAŁ SKOKU JEDNOSTKOWEGO: rys (9)

h(t) --odpowiedź skokowa układu, --na jej podstawie wyciągamy wnioski o transmitacji układu. t- czas narastania pomijalnie mały do stałych czasowych obiektu- mamy tu sygnał skoku jednostkowego.

2) SYGNAŁ: IMPULS (funkcja) Dirac'a. , nie jesteśmy w stanie go wygenerować.

RYS (10)

Transmitacja układu to odpowiedź układu na impuls dirac'a, opis służy do wyznaczania sygnału wyjściowego.

PODSTAWOWE ELEMENTY AUTOMATYKI.

1) ELEMENT PROPORCJONALNY- równanie dynamiki ma postać y=k*x, k-wsp wzmocnienia, obiekt jest statyczny, nie ma pochodnych. CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA y=k*x.

RYSUNEK (11).

CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA: stosunek sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego w stanie ustalonym.

CHARAKTERYSTYKA SKOKOWA: x(t)=1(t), y(t)=4*1(t),

Dostajemy wartość skoku jednostkowego. RYS (12)

CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA: RYS (13)

Wyznaczyć równanie ruchu i transmitacjię operatywną dźwigni dwuramienną jeżeli wielkością wejściową jest przesunięcie x a wielkością wyjściową przesunięcie y. Dźwignia jest elementem proporcjonalnym RYS (14)

2) ELEMENT INERCYJNY PIERWSZEGO RZĘDU (STOPNIA): jeżeli układ b można opisać równaniem T dy^(t)/dt + y(t)=kx(t)

TRANSMITACJA: TY(s)*s+ Y(s) =kx(s), G(s)= Y(s)/ X(s)= k/TS+1

CHARAKTERYSTYKA STATYCZNA: y=kx, y(t)=k(1-e^-t/T), kształt transmitacji: G(s)= k/1=sT. RYS (15)

CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA (transmitacja widmowa). RYS (16)

3ELEMENT INERCYJNY WYŻSZEGO RZEDU (przykład elementu statycznego). G(s)= (k/1+St) *e^-ST RYS (17)

STABILNOŚĆ UKŁADU:

RYS (18)

UKŁAD JEST STABILNY: Układ jest stabilny gdy powraca do stanu równowagi po ustaniu działania czynnika wytrącającego go z tego stanu równowagi. Zamknięty układ liniowy uważać będziemy za stabilny jeżeli po wytrąceniu z równowagi powraca on do stanu równowagi poprzedniej po ustaniu działania sygnału który go z tej równowagi wytrącił. Granicą stabilności są oscylacje stałe- nie rosnące.

Warunek stabilności- części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne: R_eSk< 0. jeśli tak nie jest to stosujemy korektor. M(s)=a_nSⁿ + a_n-1 S^n-1+…+a₀=0.

Mianownika transmitacji zastępczej układ- czyli wielomian charakterystyczny układu.

WARUNEK STABILNOŚCI; części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne: R_eSk <0, jeśli tak nie jest to stosujemy korektor . RYS (19)

KRYTERIA STABILNOŚCI:

1) KRYTERIUM HURWITZA: M(S)=a_nSⁿ + a_n-1 S^n-1+…+a₁S+a₀=0.

a) a_n>0, a_n-1>0, … a₀>0. wszystkie współczynniki równania charakterystycznego dodatnie (tego samego znaku).

ELEMENTY SKŁADAJĄCE SIĘ NA DOBÓR REGULATORA:

Wzmocnienie „K”,

element całkujący,

element różniczkujący.

2) KRYTERIUM NYQUISTA: sprawdzanie stabilności układu zamkniętego poprzez sprawdzenie charakterystyki amplitudowo- falowej: A) Badamy charakterystykę częstotliwościową układu otwartego.

RYS (20)

Układ zamknięty jest stabilny jeżeli charakterystyka amplitudowo fazowa układu otwartego przy poruszaniu się w kierunku rosnących częstotliwości zostawia punkt (-1, j0) po swojej lewej stronie (na zewnątrz).

RYS (21)

ΔM- zapas stabilności modułu- odległość punktu przecięcia się charakterystyki układu otwartego z osią rzeczywistą do pkt -1

Δϕ- zapas stabilności fazy- kąt pomiędzy ujemną osią R_e a promieniem łączącym pkt przecięcia się charakterystyki z okręgiem ze środka układu. Zalecane: ΔM=>0.5, Δϕ: 30-45⁰

Kiedy układ zamknięty jest niestabilny to zmieniamy nastawy regulatora lub dodajemy sprężenie zerujące do obiektu.

KRYTERIA JAKOŚCI REGULACJI:

STANDARDOWE SYGNAŁY ODNIESIENIA: RYS (22)

CZAS REGULACJI: czas po jakim wartość regulowana osiąga wartość zadaną z założoną dokładnością.

Jedno z kryteriów to min. czasu regulacji. Jeśli minimaliz. ten czas to nastawiamy takie nastawy regulatora aby ten czas był minmalny.

Inne kryterium to kryterium określonego lub minim przeregulowania.

PRZEREGULOWANIE; chodzi by ograniczyć amplitudę pierwszego zamknięcia. RYS (23)

Trzecie kryterium z grupy kryteriów odcinkowych to ΔM i Δϕ

CZAS REGULACJI- RYS (24)

W stanie ustalonym jest błąd statyczny (ustalony). RYS (25)

KRYTERIA CAŁKOWE:

RYS (26)

KRYTERIUM całki z kwadratu błędu: tak dobier nastawy regulatora aby całka była minmalna.

UKŁADY LOGICZNE:

HYBRYDA: połączenie dwu lub więcej elementów zupełnie ze sobą nie związanych. UKŁAD HYBRYDOWY: połączenie układu cyfrowego z układem analogowym. SYGNAŁ ANALOGOWY: sygnał ciągły. SYGNAŁ LOGICZNY: zero-jedynkowy (binarny). UKŁAD LOGICZNY: działający w oparciu o sygnały logiczne czyli zero-jedynkowe. UKŁADY ANALOGOWY: działa w oparciu o sygnały ciągłe. SYGNAŁ CYFROWY: mają skończoną liczbę wartości np. logiczny (o/1- binarny).

ALGEBRA BOOL'A (ALGEBRA LOGIKI):-- dziedzina matematyki, w której określony został zbiór dwuelementowy B={0,1} oraz określone (zdefiniowane) zostały trzy operacje. A) NEGACJE: jednoargumentowa, B) SUMA LOGICZNA: zwana alternatywą, wieloargumentowa (2 lub więcej). C) ILOCZYN LOGICZNY: koniunkcja, wieloelementowa operacja, której wynikiem jest 1 gdy wszystkie elementy są jedynkami lub żaden element nie jest zerem. a+1=1, a+0=0 lub 1=a, a*0=0, a*1=1lub 0 =a, a*a =0, a*a*a...=0lub 1=a,

PRAWA: przemienność, łączność

PRAWA de MORGANA:

---