Funkcje której każdej parze liczb naturalnych (i,j) gdzie 1<=i<=m 1<=j<=n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę aij nazywamy macierzą prostokątna o wymiarze mxn (m wierszy n kolumn). Macierz w której liczba kolumn jest równa licznie wierszy tzn. gdy m=n nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Dwie macierze A i B są równe wtedy i tylko wtedy gdy m=m', n=n' oraz aij=bij. Suma macierzy A i B nazywamy macierz C = cij=aij+bij. Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach.. Iloczynem macierzy A przez liczbę D nazywamy macierz B = DA = Daij. Różnica macierzy A i B nazywamy macierz C = A+(-B). Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C gdzie cij = ai1b1j +ai2b2j + +aipbpj Mnożenie jest wykonalne gdy ilość kolumn w pierwszej macierzy jest równa ilości wierzy w drugiej macierzy. Macierz C= AB ma tyle wierszy ile wierszy ma A i kolumn ile kolumn ma B. Mnożenie na ogół nie jest przemienne. Macierzą transponowaną do macierzy A = aij nazywamy macierz At = aji. Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową E stopnia n o elementach aij =o dla i=/j i 1 dla i=j. Macierz diagonalna macierz kwadratowa której wszystkie elementy leża poza główną przekątną i są zerami. Macierzą kwadratowa A stopnia n nazywamy symetryczną gdy A=at.
Minorem Mij stopnia n-1 macierzy kwadratowej A postaci odpowiadającemu elementowi aij nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1 która powstała z macierzy A w której usunięto wierz o numerze i oraz kolumnę o numerze j.
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza przez ich dopełnienie algebraiczne przy dowolnie ustalonym i ponadto przy dowolnie ustalonym j. Macierz A nazywamy osobliwa nieosobliwa jeżeli jej wyznacznik jest nie jest równy zero. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz A-1 spełniają cą warunek AA-1=A-1A=E. Macierz osobliwa A ma macierz odwrotna A -1 określoną wzorem A-1=1/detACt gdzie C jest macierzą która powstała z macierzy A przez zastąpienie każdego elementu dopełnieniem algebraicznym Aij
Funkcja F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X jeżeli dla każdego x należącego do X F'(x)=f(x). Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X to funkcję G(x) = F(x) +c gdzie c jest dowolną stałą jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X
Dla każdego x należącego do X G'(x) = [F(x) +c]' = F'(x) + 0 = f(x) dla każdego x należącego do XG'(x) = f(x)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) na przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) na tym przedziale i oznaczamy
∫f(x)dx = F(x) + c
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne na pewnym przedziale to f(x) +g(x) oraz αf(x) α∈R są też całkowalne na tym przedziale.
Twierdzenie o całkowanie przez funkcję jeżeli funkcję f(x) i g(x) mają na pewnym przedziale X ciągłe pochodne f'(x) i g'(X) to całka ∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx na rozważanym przedziale
∫f'(x)g(x)dx + ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)
∫[f'(x)g(x) +f(x)g'(x)]dx = f(x)g(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie jeżeli funkcja t=h(x) ma ciągła pochodną h'(x) na przedziale X i przekształca go na przedział T na którym określona jest funkcja g(t) to całka ∫g[h(x)]h'(x)dx = ∫g(t)dt przy czym ∫g(t)dt po obliczeniu obowiązuje podstawienie t=h(x)
Jeżeli funkcja jest ciągła i różniczkowalna i posiada w danym punkcie ekstremum to pochodna = 0 Jeżeli funkcja jest ciągła i różniczkowalna to posiada w tym punkcie ekstremum i pochodna może nie istnieć.
Jeżli funkcja jest różniczkowalna ciągła i posiada punkt przegięcia to f''(x) = 0
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, ciągła i posiada punkt przegięcia to f''(x) nie istnieje. Wypukła ku górze dowolne otoczenie wykresu leży pod styczną f''(x) < 0 Wypukła ku dołowi kiedy dane otoczenie f''(x) wykresu leży nad styczną f''(x) > 0
Jeżeli funkcja y=f(x) ma pochodną f''(x) w przedziale (a,b) to dla każdego x należącego do a do b otwarty f jest wypukła w górę w dół w przedziale (a)
Punkt x0 nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja ta jest ciągła w pewnym otoczeniu punktu x0 i przy przejściu przez ten punkt zmienia swój charakter wypukłości.
Konieczny Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w pewny otoczeniu U punktu x0 i ma pochodna f''(x) w tym otoczeniu lub sąsiedztwie to punkt x0 może być punktem przegięcia funkcji f f''(x0) = 0 lub f''(x0) nie istnieje
Wystarczający Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w otoczeniu U o promieni gamma punktu x0 i w pewnym sąsiedztwie S o promieni gamma1<= gamma tego punktu istnieje f''(x) która z jednej strony jest dodatnia a z drugiej strony tego punktu ujemna to punkt x0 jest punktem przegięcia funkcji f
Mówimy że funkcja f(x) ciągła w (a,b) jest wypukła w górę w dół w tym przedziale jeżeli w każdym punkcie tego przedziału jest ona wypukła w górę w dół
Pionowa - może istnieć w punktach nieciągłości lub na końcach dziedziny jeżeli dziedzinę może być przedział
Ukośna - lewostronna przy x→-∞ prawostronna przy x→∞ lim[f(x) -mx]
Pozioma - gdy współczynnik = 0
DeHospitala jeżeli f(x)/g(x) jest w punkcie x0 symbolem nieoznaczonym f i g są określone i różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 i g'(x) różne 0 dla x należącegoi S istnieje granic właściwa lim x-xo f'(x)g'(x) to istniejr lim x-xo f(x)/g(x) i zachodzi limx-x0 f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)
Funkcje której każdej parze liczb naturalnych (i,j) gdzie 1<=i<=m 1<=j<=n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę aij nazywamy macierzą prostokątna o wymiarze mxn (m wierszy n kolumn). Macierz w której liczba kolumn jest równa licznie wierszy tzn. gdy m=n nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Dwie macierze A i B są równe wtedy i tylko wtedy gdy m=m', n=n' oraz aij=bij. Suma macierzy A i B nazywamy macierz C = cij=aij+bij. Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach.. Iloczynem macierzy A przez liczbę D nazywamy macierz B = DA = Daij. Różnica macierzy A i B nazywamy macierz C = A+(-B). Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz C gdzie cij = ai1b1j +ai2b2j + +aipbpj Mnożenie jest wykonalne gdy ilość kolumn w pierwszej macierzy jest równa ilości wierzy w drugiej macierzy. Macierz C= AB ma tyle wierszy ile wierszy ma A i kolumn ile kolumn ma B. Mnożenie na ogół nie jest przemienne. Macierzą transponowaną do macierzy A = aij nazywamy macierz At = aji. Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową E stopnia n o elementach aij =o dla i=/j i 1 dla i=j. Macierz diagonalna macierz kwadratowa której wszystkie elementy leża poza główną przekątną i są zerami. Macierzą kwadratowa A stopnia n nazywamy symetryczną gdy A=at.
Minorem Mij stopnia n-1 macierzy kwadratowej A postaci odpowiadającemu elementowi aij nazywamy wyznacznik macierzy stopnia n-1 która powstała z macierzy A w której usunięto wierz o numerze i oraz kolumnę o numerze j.
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza przez ich dopełnienie algebraiczne przy dowolnie ustalonym i ponadto przy dowolnie ustalonym j. Macierz A nazywamy osobliwa nieosobliwa jeżeli jej wyznacznik jest nie jest równy zero. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz A-1 spełniają cą warunek AA-1=A-1A=E. Macierz osobliwa A ma macierz odwrotna A -1 określoną wzorem A-1=1/detACt gdzie C jest macierzą która powstała z macierzy A przez zastąpienie każdego elementu dopełnieniem algebraicznym Aij
Funkcja F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X jeżeli dla każdego x należącego do X F'(x)=f(x). Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X to funkcję G(x) = F(x) +c gdzie c jest dowolną stałą jest także funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X
Dla każdego x należącego do X G'(x) = [F(x) +c]' = F'(x) + 0 = f(x) dla każdego x należącego do XG'(x) = f(x)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) na przedziale X nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) na tym przedziale i oznaczamy
∫f(x)dx = F(x) + c
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne na pewnym przedziale to f(x) +g(x) oraz αf(x) α∈R są też całkowalne na tym przedziale.
Twierdzenie o całkowanie przez funkcję jeżeli funkcję f(x) i g(x) mają na pewnym przedziale X ciągłe pochodne f'(x) i g'(X) to całka ∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx na rozważanym przedziale
∫f'(x)g(x)dx + ∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)
∫[f'(x)g(x) +f(x)g'(x)]dx = f(x)g(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie jeżeli funkcja t=h(x) ma ciągła pochodną h'(x) na przedziale X i przekształca go na przedział T na którym określona jest funkcja g(t) to całka ∫g[h(x)]h'(x)dx = ∫g(t)dt przy czym ∫g(t)dt po obliczeniu obowiązuje podstawienie t=h(x)
Jeżeli funkcja jest ciągła i różniczkowalna i posiada w danym punkcie ekstremum to pochodna = 0 Jeżeli funkcja jest ciągła i różniczkowalna to posiada w tym punkcie ekstremum i pochodna może nie istnieć.
Jeżli funkcja jest różniczkowalna ciągła i posiada punkt przegięcia to f''(x) = 0
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, ciągła i posiada punkt przegięcia to f''(x) nie istnieje. Wypukła ku górze dowolne otoczenie wykresu leży pod styczną f''(x) < 0 Wypukła ku dołowi kiedy dane otoczenie f''(x) wykresu leży nad styczną f''(x) > 0
Jeżeli funkcja y=f(x) ma pochodną f''(x) w przedziale (a,b) to dla każdego x należącego do a do b otwarty f jest wypukła w górę w dół w przedziale (a)
Punkt x0 nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja ta jest ciągła w pewnym otoczeniu punktu x0 i przy przejściu przez ten punkt zmienia swój charakter wypukłości.
Konieczny Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w pewny otoczeniu U punktu x0 i ma pochodna f''(x) w tym otoczeniu lub sąsiedztwie to punkt x0 może być punktem przegięcia funkcji f f''(x0) = 0 lub f''(x0) nie istnieje
Wystarczający Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła w otoczeniu U o promieni gamma punktu x0 i w pewnym sąsiedztwie S o promieni gamma1<= gamma tego punktu istnieje f''(x) która z jednej strony jest dodatnia a z drugiej strony tego punktu ujemna to punkt x0 jest punktem przegięcia funkcji f
Mówimy że funkcja f(x) ciągła w (a,b) jest wypukła w górę w dół w tym przedziale jeżeli w każdym punkcie tego przedziału jest ona wypukła w górę w dół
Pionowa - może istnieć w punktach nieciągłości lub na końcach dziedziny jeżeli dziedzinę może być przedział
Ukośna - lewostronna przy x→-∞ prawostronna przy x→∞ lim[f(x) -mx]
Pozioma - gdy współczynnik = 0
DeHospitala jeżeli f(x)/g(x) jest w punkcie x0 symbolem nieoznaczonym f i g są określone i różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 i g'(x) różne 0 dla x należącegoi S istnieje granic właściwa lim x-xo f'(x)g'(x) to istniejr lim x-xo f(x)/g(x) i zachodzi limx-x0 f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x)