CIĄGI: Ciągiem skończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f:{1,2,3,...K}→x;
Ciągiem nieskończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f: N→x;
Gr.Ciągów: lim an = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d( an,g )< ∑ gdzie an ∈ R
n ∑ >0 N n > N
lim an = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d Ian - gI < ∑
n ∑ >0 N n > N
Gr.Ciąg.Niewłaściwa: lim an = + ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ an > M
n M > 0 N n > N
lim an = - ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ an < M
n M < 0 N n > N
Ciąg zbieżny: Jeżeli ciąg an jest zbieżny do liczby g, to każdy podciąg cigu an jest też zbieżny do g.
Jeżeli istnieją w ciągu an dwa podciągi zbieżne do różnych granic (właściwa lub niewłaś.)
to ciąg an nie ma granic.
Tw.o 3 ciągach: Jeżeli lim an = lim bn = g i ∀ an ≤ cn ≤ bn ,to lim cn = g
n n n ∈ N n
GR.FUNKCJI: Punkt a nazwiemy punktem skupienia zbioru A ⇔ gdy dowolnie blisko punktu A
znajduje się inny punkt zb. A;
lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ (x-a) < δ ⇒ I f(x)-g I < ∑ gdzie f: x ⇒ R
x→a ∑ > 0 δ > 0 x ≠ a
x ∈ X
lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a - δ < x < a ⇒ I f(x)-g I < ∑
x→a- ∑ > 0 δ > 0 x ∈ X
lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a < x < a + δ ⇒ I f(x)-g I < ∑
x→a+ ∑ > 0 δ > 0 x ∈ X
Jeżeli funkcja f ma granice w punkcie a, to w punkcie tym istnieją i są równe obie
granicy jednostronnej;
Jeżeli te granice są różne lub jedna z nich nie istnieje to funkcja f nie ma granic;
Def.Hainego: lim f(x)= g ⇔ ∀ lim xn = a ⇒ lim f(xn) = g
x→a xn ∈ x, xn ≠ a
lim f(x)= g ⇔ ∀ lim xn = a ⇒ lim f(xn) = g
x→a+ xn ∈ x, xn > a
CiągłośćFunk.: Jeżeli lim f(x)=f(x0), to mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0
x → x0
lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 prawostronnie
x → x0+
lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 lewostronnie;
x → x0-
Mówimy, że funk. Jest ciągła w zbiorze A ⇔ gdy jest ciągła w każdym punk. w zb. A ;
Jeżeli funkcja jestciągła w całej swojej dziedzinie to jest to funkcja ciągła;
Włas.Funk.Ciągłych: ⇓
Tw.Bolzano-Cauchy'ego: Jeżeli funk.jest ciągła w przedziale <a,b> i f(a)⋅f(b)<0 to istnieje taki punkt
c∈(a,b),że f(c)=0;
Tw.o.zachowaniu.znaków: Jeżeli funk. f jest ciągła w punk. x0 i f(x0)≠0,to istnieje takie otoczenie
p x0, że f przyjmuje wartość tego samego znaku jak f(x0);
Asymtoty:Prost x=a jest asym. pion. lewostr. wykresu funk. y=f(x) ⇔ limf(x)=+ - ∝;
x → a-
Prost x=a jest asym. Pion. prawostr. wykresu funk. f(x)=y⇔ limf(x)=+ - ∝;
x → a+
Prost x=a jest asym. Pion. lewo. i prwostr. wykresu funk. y=f(x) nazywaną asymp. Obustronną;
Pr. y=b jest asymp. Poziomą prwostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;
x → + ∝
Pr. y=b jest asymp. Poziomą lewostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;
x → - ∝
Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną prwostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim f (x)/x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]
x → + ∝ x → + ∝
Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną lewostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim f (x)/x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]
x → --- ∝ x → -- ∝
POCHODNA: Granicę taką o ile istnieje i jest właściwa nazywmy poch. funk. f w punkcie x0 i nazyw. f '(x0);
lim Δy/Δx = lim f(x0+h) - f(x0)/h
Δx→0
Jeżeli istnieje f `(x0) to funkcja f jest rózniczkowalna w punkcie x0;
Jeżeli funk. f jest różniczkowalna w punkcie x0 to jest w tym punkcie ciągła
lim f(x)=f(x0) ; lim (f(x)-f(x0))=0;
x → x0 x → x0
RÓŻNICZKA : dy= f `(x) ⋅ Δx= dy/dx ⋅ dx;
Tw.Fermata:Jeżeli funk. f określona w przedz. <a,b> osiąga swój kres górny M=f( c) {lub dowolny m=f( c)}
w punk. c ∈ (a,b) i jest w tym punk. różniczkowalna, to f `(c)=0
Dowód: f(c)=M ∀ f(x)<f(c)=M;
x ∈ (a,b)
Tw.Rolle'a: Jeżeli funk. okreslona i ciagła w <a,b>,różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to istnieje taki punkt
c∈(a,b),że f `(c)=0
Dowód: f jest ciągła w <a,b>, czyli osiąga swoje kresy górny M i dolny m ; M≥m
1′ M=m ⇒ f(x) = const ⇒ 0 ⇒ f `(x)=0
2′ M>m - wewnątrz przedziału (a,b) osiąga funkcja przynajmiej jeden kres górny lub
dolny.Skoro funk. przyjmuje kres wewnątrz przedziału to z Tw.Fermata
pochodna w tym punkcie w którym jest kres musi być =0;
Tw.Lagrange'a: Jeżeli f jest określona i ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) ,to istnieje taki punkt
c∈(a,b),że f `(c)= f(b) - f(a)/b - a
Dowód: F(x)=f(x)- f(a) - f(b) - f(a)/b - a ⋅ (x-a) ;
Tw.Cauchy'ego: Jeżeli f i g są ciągłe w <a,b>,f i g są różniczkowalne w (a,b),g '(x)≠ 0 dla x∈(a,b)
to istnieje taki punkt c∈(a,b),że f(b) - f(a)/g(b) - g(a) = f `(c)/g `(c)
Dowód: f(x)=f(x) - f(a) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ⋅ (g(x) - g(a))
F(a)=0 , F(b)=0 , F `(x)=f `(x) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ⋅ g `(x)
F `(c)=0 , g(b)=g(a), ξ ∈ (a,b) g `( ξ )=0;
EKSTREMA: Mówimy,że funk. f ma maksimum lokalne właściwe w punk. x0 ⇔ gdy istnieje takie sąsiedztwo
punk. x0
S(x0,δ)=(x0 - δ,x0) ∨ (x0, x0 - δ) że ∀ f(x)<f(x0)
x ∈ S( x0 , δ )
Zerownie się 1 poch. To warunek konieczny istnienia ekstremum;
Tw. własności wszystkich ekstremum reguła 1: Jeżeli f `(x0)=0 i f ` zmienia znak przy przejściu przez x0,to
w punkcie x0 jest ekstremum,przy czym jeżeli zmiana znaku następuje z + na - to mamy maksimum,a
z - na + to mamy minimum;
Tw. Warunek wystarczający ekstremum reguł a 2: Jeżeli funk. f jest dwukrotnie różniczkowalna i
f ` (x0)=0 i f ` `(x0)>0 to w punk. x0 funk. ma minimum,(ii) f `(x0)=0 i f ` `(x0)<0 to w punk. x0 funk.ma maks.;
WYPUKŁ. I WKLĘSŁOŚĆ:Mówimy,że funk. f jest wypukła w przedziale )( ⇔ ∀ f(q1x1+q2x2)<q1f(x1)+q2f(x2) gdzie
x 1, x2 ∈ ) (
q1,q2 >0 i q1+q2=1; warunek konieczny punktu przegięcia f `'(x0)=0 a wrunek
wystarczający punktu przegięcia f `'(x0)=0 ∧ f ` ` zmienia znak;
Tw. de l'Hospitala: Jeżeli f i g określone w przedz. (a,b>,lim f(x)=lim g(x)=0,f i g rózniczk. w (a,b) i g `(x)≠ 0
x → a x → a
to istnieje granica lim f `(x)/g `( x)=K
x → x0
CAŁKA nieoznaczona: Funkję F nazywamy funkją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, jeżeli F'(x)=f(x)
dla każdego x z tego przedziału; f(x)=1 F1(x)=x F2(x)=x-1;
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to każda funkcja postaci G(x)=F(x) + C,
C-dowolna stała, jest funkją pierwotną funkcji f. Każda funkcję pierwotną można przedstawić
w tej postaci ∫ f(x)dx = F(x) + C;
oznaczona: Jeżali granica n
lim ∑ f( ξ i) ⋅ Δxi istnieje ,jest skończona i nie zależy od sposobu przedziału
n i=1
(byle tylko był normalny ciąg przedziałów) :wyboru punktów pośrednich ( ξ i),
to granicę tę nazywamy całką oznaczoną z funkcji f w przedziale <a,b> i ozn.
b n
∫ f(x)dx= lim ∑ f ( ξ i) ⋅ Δxi całka Riemanna
a n i=1
Wzór Newtona-Leibniza(rachunek całkowy): Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f to
b
∫ f(x)dx= F(b) - F(a)
a
Tw.: f jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną w <a,b>, to długość krzywej y=f(x), a ≤ x ≤ b
wyraża się wzorem: b
∫ √ 1+ [ f `(x)]2 dx
a
MACIERZE: Macieżą wymiaru n x k nad ciałem F nazywamy dowolną funkcję f :{1,2,3,...k}→F; det A lub IAI;
Minor: Jeżeli A∈M nxk ,Minorem stopnia m(1≤m≤max{n,k})nazywamy wyznacznik stopnia m macieży
powstałej z macieży a przez wybór m-wierszy i m-kolumn dowolnych;
Minor:Jeżeli A ∈ M nxm,M-jej minorem stopnia k, to macieżem dopełniającym nazywamy minor utworzony z
pozostałych wierszy i kolumn,znaczony M′ - st. n-k;
Dopełnieniem algebraicznym minora st. K macierzy kwadratowego A M j1,j2…jk powstałego przez wybór wierszy
j1,j2…jk i1,i2…ik
i1,i2,i3,…..ik kolumn j1,j2,j3,…jk nzywamy liczbą A i1,i2..ik = (-1)m (M j1,j2…jk )' , m=i1+i2+…ik+j1+j2+….jk;
n j i1,i2…ik n r
Tw.Laplace'a: det A = ∑ ar j A r (rozwinięcie wg r-tego wiersza), det A= ∑ ai r A j (wg r-tej kolumny);
i=1 i=1
Macierz transponowana: Niech A ∈ M mxn ,Macież B ∈ M nxm określoną wzorem bij=aji,i=1,...n,j=1,...m nazywa
się macierzą transponowaną do macierzy A i oznaczoną AT;
Macierz odwrotna: Jeżeli A jest macierzą kwadratową to macierz B, taką że AB=BA=Ι nazywamy
macierzą odwrotną do macierzy A.
Jeżeli macierz A ma odwrotną , to tylko jedną: B1,B2-macierz odwrotna do A
Dow. B1A=AB1=Ι , B2A=AB2=Ι , B1=B1Ι=B1(AB2)=(B1A)B2=ΙB2=B2
Jeżeli A ma macierz odwrotną to macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy A-1
i mówimy że macierz A jest odwracalna.
Macierz A jest odwracalna ⇔ det A ≠ 0
Budowa macierzy odwrotniej: A-1=1/det A ⋅ A^ (jeszcze rysunek macierzy);
WEKTORY: mówimy,że wektory x1,x2,....xk są liniowo zależne gdy przynajmiej jeden z nich jest liniową kombinacją
pozostałych. W przeciwnym wypadku mówimy,że wektory te są liniowo niezależne;
Wektory x1,x2....xk są liniowo zależne ⇔ gdy istnieje nie trywialna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów;
Wektory są liniowo nie zależne ⇔ gdy jedna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów jest kombinacją
trywialną.
Rząd macierzy: Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macieży;
Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi nie zerowych minorów wyjętych z macierzy A;
Przekształ.Ukł.Równ.: Tw.Cramera: Jeżeli A∈Mnxn, det A≠0,to układ AX=B jest ukł. Oznaczonym i jego rozwiązanie
Wyraża się wzorem: xi=det A ( j )/det A , j=1,2,...n, A(j)=[ A1A2....B....An ];
Tw. Kroneckera,Capellego: Układ AX=B,A ∈ M mxn,B należy Rm,x=[x1x2.....xn](to wszystko w kolumnie)
jest niesprzeczny rzA=rz~A; rzA=rz~A=n -ukł. Oznaczony, rzA=rz~A=k <n -ukł.nieoznaczony;