Sciaga0, inż. BHP, I Semestr, Matematyka


CIĄGI: Ciągiem skończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f:{1,2,3,...K}→x;

Ciągiem nieskończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f: N→x;

Gr.Ciągów: lim an = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d( an,g )< ∑ gdzie an ∈ R

n >0 N n > N

lim an = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d Ian - gI < ∑

n >0 N n > N

Gr.Ciąg.Niewłaściwa: lim an = + ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ an > M

n M > 0 N n > N

lim an = - ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ an < M

n M < 0 N n > N

Ciąg zbieżny: Jeżeli ciąg an jest zbieżny do liczby g, to każdy podciąg cigu an jest też zbieżny do g.

Jeżeli istnieją w ciągu an dwa podciągi zbieżne do różnych granic (właściwa lub niewłaś.)

to ciąg an nie ma granic.

Tw.o 3 ciągach: Jeżeli lim an = lim bn = g i ∀ an ≤ cn ≤ bn ,to lim cn = g

n n n N n

GR.FUNKCJI: Punkt a nazwiemy punktem skupienia zbioru A ⇔ gdy dowolnie blisko punktu A

znajduje się inny punkt zb. A;

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ (x-a) < δ ⇒ I f(x)-g I < ∑ gdzie f: x ⇒ R

xa > 0 δ > 0 x a

x X

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a - δ < x < a ⇒ I f(x)-g I < ∑

xa- > 0 δ > 0 x X

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a < x < a + δ ⇒ I f(x)-g I < ∑

xa+ > 0 δ > 0 x X

Jeżeli funkcja f ma granice w punkcie a, to w punkcie tym istnieją i są równe obie

granicy jednostronnej;

Jeżeli te granice są różne lub jedna z nich nie istnieje to funkcja f nie ma granic;

Def.Hainego: lim f(x)= g ⇔ ∀ lim xn = a ⇒ lim f(xn) = g

xa xn x, xn a

lim f(x)= g ⇔ ∀ lim xn = a ⇒ lim f(xn) = g

xa+ xn x, xn > a

CiągłośćFunk.: Jeżeli lim f(x)=f(x0), to mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0

x x0

lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 prawostronnie

x x0+

lim f(x)=f(x0) funkja jest ciągła w punkcie x0 lewostronnie;

x x0-

Mówimy, że funk. Jest ciągła w zbiorze A ⇔ gdy jest ciągła w każdym punk. w zb. A ;

Jeżeli funkcja jestciągła w całej swojej dziedzinie to jest to funkcja ciągła;

Włas.Funk.Ciągłych: ⇓

Tw.Bolzano-Cauchy'ego: Jeżeli funk.jest ciągła w przedziale <a,b> i f(a)⋅f(b)<0 to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f(c)=0;

Tw.o.zachowaniu.znaków: Jeżeli funk. f jest ciągła w punk. x0 i f(x0)≠0,to istnieje takie otoczenie

p x0, że f przyjmuje wartość tego samego znaku jak f(x0);

Asymtoty:Prost x=a jest asym. pion. lewostr. wykresu funk. y=f(x) ⇔ limf(x)=+ - ∝;

x a-

Prost x=a jest asym. Pion. prawostr. wykresu funk. f(x)=y⇔ limf(x)=+ - ∝;

x a+

Prost x=a jest asym. Pion. lewo. i prwostr. wykresu funk. y=f(x) nazywaną asymp. Obustronną;

Pr. y=b jest asymp. Poziomą prwostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;

x +

Pr. y=b jest asymp. Poziomą lewostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;

x -

Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną prwostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim f (x)/x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]

x + x +

Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną lewostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim f (x)/x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]

x --- x --

POCHODNA: Granicę taką o ile istnieje i jest właściwa nazywmy poch. funk. f w punkcie x0 i nazyw. f '(x0);

lim Δy/Δx = lim f(x0+h) - f(x0)/h

Δx0

Jeżeli istnieje f `(x0) to funkcja f jest rózniczkowalna w punkcie x0;

Jeżeli funk. f jest różniczkowalna w punkcie x0 to jest w tym punkcie ciągła

lim f(x)=f(x0) ; lim (f(x)-f(x0))=0;

x x0 x x0

RÓŻNICZKA : dy= f `(x) ⋅ Δx= dy/dx ⋅ dx;

Tw.Fermata:Jeżeli funk. f określona w przedz. <a,b> osiąga swój kres górny M=f( c) {lub dowolny m=f( c)}

w punk. c ∈ (a,b) i jest w tym punk. różniczkowalna, to f `(c)=0

Dowód: f(c)=M ∀ f(x)<f(c)=M;

x (a,b)

Tw.Rolle'a: Jeżeli funk. okreslona i ciagła w <a,b>,różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f `(c)=0

Dowód: f jest ciągła w <a,b>, czyli osiąga swoje kresy górny M i dolny m ; M≥m

1′ M=m ⇒ f(x) = const ⇒ 0 ⇒ f `(x)=0

2′ M>m - wewnątrz przedziału (a,b) osiąga funkcja przynajmiej jeden kres górny lub

dolny.Skoro funk. przyjmuje kres wewnątrz przedziału to z Tw.Fermata

pochodna w tym punkcie w którym jest kres musi być =0;

Tw.Lagrange'a: Jeżeli f jest określona i ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) ,to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f `(c)= f(b) - f(a)/b - a

Dowód: F(x)=f(x)- f(a) - f(b) - f(a)/b - a ⋅ (x-a) ;

Tw.Cauchy'ego: Jeżeli f i g są ciągłe w <a,b>,f i g są różniczkowalne w (a,b),g '(x)≠ 0 dla x∈(a,b)

to istnieje taki punkt c∈(a,b),że f(b) - f(a)/g(b) - g(a) = f `(c)/g `(c)

Dowód: f(x)=f(x) - f(a) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ⋅ (g(x) - g(a))

F(a)=0 , F(b)=0 , F `(x)=f `(x) - f(b) - f(a)/g(b) - g(a) ⋅ g `(x)

F `(c)=0 , g(b)=g(a), ξ ∈ (a,b) g `( ξ )=0;

EKSTREMA: Mówimy,że funk. f ma maksimum lokalne właściwe w punk. x0 ⇔ gdy istnieje takie sąsiedztwo

punk. x0

S(x0,δ)=(x0 - δ,x0) ∨ (x0, x0 - δ) że ∀ f(x)<f(x0)

x S( x0 , δ )

Zerownie się 1 poch. To warunek konieczny istnienia ekstremum;

Tw. własności wszystkich ekstremum reguła 1: Jeżeli f `(x0)=0 i f ` zmienia znak przy przejściu przez x0,to

w punkcie x0 jest ekstremum,przy czym jeżeli zmiana znaku następuje z + na - to mamy maksimum,a

z - na + to mamy minimum;

Tw. Warunek wystarczający ekstremum reguł a 2: Jeżeli funk. f jest dwukrotnie różniczkowalna i

f ` (x0)=0 i f ` `(x0)>0 to w punk. x0 funk. ma minimum,(ii) f `(x0)=0 i f ` `(x0)<0 to w punk. x0 funk.ma maks.;

WYPUKŁ. I WKLĘSŁOŚĆ:Mówimy,że funk. f jest wypukła w przedziale )( ⇔ ∀ f(q1x1+q2x2)<q1f(x1)+q2f(x2) gdzie

x 1, x2 ) (

q1,q2 >0 i q1+q2=1; warunek konieczny punktu przegięcia f `'(x0)=0 a wrunek

wystarczający punktu przegięcia f `'(x0)=0 ∧ f ` ` zmienia znak;

Tw. de l'Hospitala: Jeżeli f i g określone w przedz. (a,b>,lim f(x)=lim g(x)=0,f i g rózniczk. w (a,b) i g `(x)≠ 0

x a x a

to istnieje granica lim f `(x)/g `( x)=K

x x0

CAŁKA nieoznaczona: Funkję F nazywamy funkją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, jeżeli F'(x)=f(x)

dla każdego x z tego przedziału; f(x)=1 F1(x)=x F2(x)=x-1;

Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to każda funkcja postaci G(x)=F(x) + C,

C-dowolna stała, jest funkją pierwotną funkcji f. Każda funkcję pierwotną można przedstawić

w tej postaci ∫ f(x)dx = F(x) + C;

oznaczona: Jeżali granica n

lim ∑ f( ξ i) ⋅ Δxi istnieje ,jest skończona i nie zależy od sposobu przedziału

n i=1

(byle tylko był normalny ciąg przedziałów) :wyboru punktów pośrednich ( ξ i),

to granicę tę nazywamy całką oznaczoną z funkcji f w przedziale <a,b> i ozn.

b n

∫ f(x)dx= lim ∑ f ( ξ i) ⋅ Δxi całka Riemanna

a n i=1

Wzór Newtona-Leibniza(rachunek całkowy): Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f to

b

∫ f(x)dx= F(b) - F(a)

a

Tw.: f jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną w <a,b>, to długość krzywej y=f(x), a ≤ x ≤ b

wyraża się wzorem: b

∫ √ 1+ [ f `(x)]2 dx

a

MACIERZE: Macieżą wymiaru n x k nad ciałem F nazywamy dowolną funkcję f :{1,2,3,...k}→F; det A lub IAI;

Minor: Jeżeli A∈M nxk ,Minorem stopnia m(1≤m≤max{n,k})nazywamy wyznacznik stopnia m macieży

powstałej z macieży a przez wybór m-wierszy i m-kolumn dowolnych;

Minor:Jeżeli A ∈ M nxm,M-jej minorem stopnia k, to macieżem dopełniającym nazywamy minor utworzony z

pozostałych wierszy i kolumn,znaczony M′ - st. n-k;

Dopełnieniem algebraicznym minora st. K macierzy kwadratowego A M j1,j2…jk powstałego przez wybór wierszy

j1,j2…jk i1,i2…ik

i1,i2,i3,…..ik kolumn j1,j2,j3,…jk nzywamy liczbą A i1,i2..ik = (-1)m (M j1,j2…jk )' , m=i1+i2+…ik+j1+j2+….jk;

n j i1,i2…ik n r

Tw.Laplace'a: det A = ∑ ar j A r (rozwinięcie wg r-tego wiersza), det A= ∑ ai r A j (wg r-tej kolumny);

i=1 i=1

Macierz transponowana: Niech A ∈ M mxn ,Macież B ∈ M nxm określoną wzorem bij=aji,i=1,...n,j=1,...m nazywa

się macierzą transponowaną do macierzy A i oznaczoną AT;

Macierz odwrotna: Jeżeli A jest macierzą kwadratową to macierz B, taką że AB=BA=Ι nazywamy

macierzą odwrotną do macierzy A.

Jeżeli macierz A ma odwrotną , to tylko jedną: B1,B2-macierz odwrotna do A

Dow. B1A=AB1=Ι , B2A=AB2=Ι , B1=B1Ι=B1(AB2)=(B1A)B2=ΙB2=B2

Jeżeli A ma macierz odwrotną to macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy A-1

i mówimy że macierz A jest odwracalna.

Macierz A jest odwracalna ⇔ det A ≠ 0

Budowa macierzy odwrotniej: A-1=1/det A A^ (jeszcze rysunek macierzy);

WEKTORY: mówimy,że wektory x1,x2,....xk są liniowo zależne gdy przynajmiej jeden z nich jest liniową kombinacją

pozostałych. W przeciwnym wypadku mówimy,że wektory te są liniowo niezależne;

Wektory x1,x2....xk są liniowo zależne ⇔ gdy istnieje nie trywialna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów;

Wektory są liniowo nie zależne ⇔ gdy jedna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów jest kombinacją

trywialną.

Rząd macierzy: Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macieży;

Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi nie zerowych minorów wyjętych z macierzy A;

Przekształ.Ukł.Równ.: Tw.Cramera: Jeżeli A∈Mnxn, det A≠0,to układ AX=B jest ukł. Oznaczonym i jego rozwiązanie

Wyraża się wzorem: xi=det A ( j )/det A , j=1,2,...n, A(j)=[ A1A2....B....An ];

Tw. Kroneckera,Capellego: Układ AX=B,A ∈ M mxn,B należy Rm,x=[x1x2.....xn](to wszystko w kolumnie)

jest niesprzeczny rzA=rz~A; rzA=rz~A=n -ukł. Oznaczony, rzA=rz~A=k <n -ukł.nieoznaczony;



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
macierze teoria(1), inż. BHP, I Semestr, Matematyka
ściąga mikroklimat, inż. BHP, V semestr
sciaga mikro, inż. BHP, I Semestr, Mikroekonomia
zalaczniki1, inż. BHP, V semestr
Mikroklimat TEST nr 2, inż. BHP, V semestr
KODY I SYSTEMY ZNAKOWE, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Komunikacja i promocja, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Ekonomia i gospodarka, inż. BHP, I Semestr, Mikroekonomia
REDUKCJA UKŁADU SIŁ, inż. BHP, I Semestr, Fizyka
Członkowie UE, inż. BHP, I Semestr, Mikroekonomia
Toksykologia - wykladymar, WSZOP INŻ BHP, V Semestr, TOKSYKOLOGIA
Pytania 2 wiora z odpowiedziami[1] do poprawy[1][1], inż. BHP, V semestr
od stasi 2, WSZOP INŻ BHP, V Semestr, BUDOWA I EKSPLOATACJA MASZYN I URZADZEN
CELE I ZNACZENIE ZROWNOWAZONEGO ROZWOJU TECHNOLOGICZNEG1, inż. BHP, V semestr
marketing od ZB9A, inż. BHP, I Semestr, Marketing
KOMUNIKACJA I, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Choroby zawodowe - test, inż. BHP, V semestr

więcej podobnych podstron