FUNKCJA
Sposoby opisywania funkcji:
a) za pomocą grafu
b) za pomocą tabeli
c) za pomocą wykresu
d) za pomocą wzoru
e) za pomocą opisu słownego
Funkcja różnowartościowa:
Odwzorowanie f:X→ Y nazywamy różnowartościowym gdy dla każdych argumentów x1,x2 X, jeżeli x1 x2, to f(x1) f(x2)
Funkcja rosnąca:
x1<x2 f(x1)<f(x2)
Funkcja malejąca:
x1<x2 f(x1)>f(x2)
Funkcja parzysta:
f: X→ Y jest parzysta dla każdego x X: -x X i f(-x) = f(x). Wykres jest symetryczny względem OY (np. y=xx+1).
Funkcja nieparzysta:
f: X→ Y jest parzysta dla każdego x X: -x X i f(-x) = -f(x). Wykres jest symetryczny względem punktu (0,0) (np. y=x3).
Funkcja okresowa:
f: X→ Y jest okresowa istnieje liczba s 0 taka, że dla każdego x X: x+s X i f(x+s)=f(x) (np. funkcje trygonometryczne).
Funkcja ograniczona:
f: X→ Y jest ograniczona istnieje liczba M taka, że dla każdego x X zachodzi f(x) M (np. y=sinx).
Złożenie funkcji:
Jeśli f: X→ Y i g: Y→ Z, gdzie funkcja f przekształca zbiór X na Y, to odwzorowanie h: X→ Z przyporządkowujące każdemu elementowi x X element g[f(x)] nazywamy złożeniem odwzorowań f i g.
Wykresy funkcji:
Wykresem funkcji y=f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (a,b), których współrzędne spelniają warunek b=f(a).
Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są do siebie symetryczne względem prostej y=x.
Po przesunięciu wykresu funkcji y=f(x) o wektor
otrzymamy wykres funkcji y=f(x-p)+q.
Jeżeli wykres funkcji y=f(x) przekształcimy symetrycznie względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y=f(-x).
Po przekształceniu wykresu funkcji y=f(x) symetrycznie względem osi OX, otrzymamy wykres funkcji y=-f(x).
Badanie przebiegu funkcji:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Obliczenie miejsc zerowych funkcji oraz f(0).
3. Obliczenie granic funkcji w oraz w punktach nieciagłości.
4. Zbadanie czy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta.
5. Równania asymptot funkcji.
6. Obliczenie pochodnej funkcji i jej dziedziny.
7. Miejsca zerowe pochodnej - warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
8. Zbadanie znaku pochodnej (kiedy wart. dodatnie a kiedy ujemne) i określenie ekstremum funkcji.
9. Określenie przedziałów monotoniczności funkcji.
10. Obliczenie ekstremum funkcji.
11. Zapis powyższych obliczeń w tabeli wg schematu:
x |
miejsca zerowe f., pochodnej, punkty nieciagłości |
f'(x) |
znak pochodnej (+, -) i kiedy ma wartość równą zero |
f(x) |
monotoniczność (rosnie, maleje) |