FUNKCJA

Sposoby opisywania funkcji:

a) za pomocą grafu

b) za pomocą tabeli

c) za pomocą wykresu

d) za pomocą wzoru

e) za pomocą opisu słownego

Funkcja różnowartościowa:

Odwzorowanie f:X→ Y nazywamy różnowartościowym  gdy dla każdych argumentów x₁,x_2 X, jeżeli x_1 x₂, to f(x₁) f(x₂)

Funkcja rosnąca:

x₁<x_2 f(x₁)<f(x₂)

Funkcja malejąca:

x₁<x_2 f(x₁)>f(x₂)

Funkcja parzysta:

f: X→ Y jest parzysta  dla każdego x X: -x X i f(-x) = f(x). Wykres jest symetryczny względem OY (np. y=x^x+1).

Funkcja nieparzysta:

f: X→ Y jest parzysta  dla każdego x X: -x X i f(-x) = -f(x). Wykres jest symetryczny względem punktu (0,0) (np. y=x³).

Funkcja okresowa:

f: X→ Y jest okresowa  istnieje liczba s 0 taka, że dla każdego x X: x+s X i f(x+s)=f(x) (np. funkcje trygonometryczne).

Funkcja ograniczona:

f: X→ Y jest ograniczona  istnieje liczba M taka, że dla każdego x X zachodzi  f(x)  M (np. y=sinx).

Złożenie funkcji:

Jeśli f: X→ Y i g: Y→ Z, gdzie funkcja f przekształca zbiór X na Y, to odwzorowanie h: X→ Z przyporządkowujące każdemu elementowi x X element g[f(x)] nazywamy złożeniem odwzorowań f i g.

Wykresy funkcji:

Wykresem funkcji y=f(x) nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (a,b), których współrzędne spelniają warunek b=f(a).

Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są do siebie symetryczne względem prostej y=x.

Po przesunięciu wykresu funkcji y=f(x) o wektor 

otrzymamy wykres funkcji y=f(x-p)+q.

Jeżeli wykres funkcji y=f(x) przekształcimy symetrycznie względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y=f(-x).

Po przekształceniu wykresu funkcji y=f(x) symetrycznie względem osi OX, otrzymamy wykres funkcji y=-f(x).

Badanie przebiegu funkcji:

1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.

2. Obliczenie miejsc zerowych funkcji oraz f(0).

3. Obliczenie granic funkcji w   oraz w punktach nieciagłości.

4. Zbadanie czy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta.

5. Równania asymptot funkcji.

6. Obliczenie pochodnej funkcji i jej dziedziny.

7. Miejsca zerowe pochodnej - warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

8. Zbadanie znaku pochodnej (kiedy wart. dodatnie a kiedy ujemne) i określenie ekstremum funkcji.

9. Określenie przedziałów monotoniczności funkcji.

10. Obliczenie ekstremum funkcji.

11. Zapis powyższych obliczeń w tabeli wg schematu:
 

x	miejsca zerowe f., pochodnej, punkty nieciagłości
f'(x)	znak pochodnej (+, -) i kiedy ma wartość równą zero
f(x)	monotoniczność (rosnie, maleje)

---