PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI. MODELE CIAŁ RZECZYWISTYCH.
MECHANIKA OGÓLNA - nauka badająca ogólne prawa ruchu obiektów rzeczywistych lub ich spoczynku; składa się z trzech części: statyka (równowaga ciał i obiektów), kinematyka (przemieszczenia), dynamika (przyspieszenie, wibracje, drgania).
OBIEKT RZECZYWISTY - obiekt istniejący w rzeczywistości jak i obiekt możliwy do zrealizowania.
MODEL FIZYCZNY - uproszczony obiekt rzeczywisty, umożliwiający zastosowanie prostego opisu matematycznego zjawisk w nim zachodzących.
MODLE CIAŁ RZECZYWISTYCH:
PUNKT MATERIALNY - bardzo małe ciało ( w porównaniu do obszaru w jakim się znajduje); ma pewną skończoną ilość materii i pewną masę.
UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH - ciało o dowolnej ilości punktów materialnych, znikomo małych wobec rozmiarów ciała.
CONTINUUM MATERIALNE - ciało szczelnie wypełnione punktami materialnymi, obszar zajęty przez ciało jest wypełniony materią w sposób ciągły.
CIAŁO DOSKONALE SZTYWNE - wyidealizowane pojęcie ciała, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości pod wpływem sił działających na nie;
Bryła sztywna
Tarcza sztywna - jeden wymiar mały w stosunku do dwóch innych
Pręt - małe rozmiary poprzeczne w stosunku do długości.
ILOCZYN SKALARNY I WEKTOROWY.
WEKTOR - wielkość mechaniczna, którą można przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka; posiada: moduł (długość), kierunek, zwrot i punkt zaczepienia.
SKALAR - wielkość mechaniczna, którą można jednoznacznie określić za pomocą jednej liczny rzeczywistej.
WEKTOR - wielkość mechaniczna, którą można przedstawić za pomocą usytuowanego w przestrzeni odcinka; posiada: moduł (długość), kierunek, zwrot i punkt zaczepienia.
ILOCZYN SKALARNY wektorów a i b można wyliczyć znając: długości wektorów a i b oraz kąt zawarty między wektorami; współrzędne wektorów [a,b] i [c,d]
a ∙ b = a ∙ b ∙ cosα
a ∙ b = a ∙ c+ b ∙ d
jeżeli iloczyn skalarny jest równy 0 to wektory są prostopadłe
ILOCZYN WEKTOROWY można interpretować jako pole powierzchni równoległoboku o bokach a i b
a × b = a ∙ b ∙ sinα
RZUT WEKTORA NA OŚ
GEOMETRYCZNIE - jest to odcinek łączący rzut początku i końca tego wektora na oś; rzut wektora prostopadłego do osi jest równy 0; rzut wektora równoległego do osi jest równy modułowi tego wektora.
ANALITYCZNIE - rzut wektora na oś jest równy iloczynowi wartości tego wektora i cosinusowi kąta jaki tworzy jego linia działania z osią (Fl = F ∙ cosα)
MOMENTY WEKTORA WZGLĘDEM PUNKTU I WZGLĘDEM OSI.
MOMENT WEKTORA WZGLĘDEM PUNKTU - iloczyn wektorowy wektora ra=0A o początku w punkcie 0 i końcu w początku wektora a (M0 = ra × a)
MOMENT WEKTORA WZGLĘDEM OSI - to rzut na tę oś momentu wektora względem dowolnego punktu 0 osi (M0 = (ra × a) ∙ el, gdzie el - wersor osi)
STOPNIE SWOBODY UKŁADU. WIĘZY - PODPARCIA BRYŁY SZTYWNEJ.
CIAŁO SWOBODNE - może zajmować dowolne położenie w przestrzeni.
CIAŁO NIESWOBODNE - nie może zajmować dowolnego położenia w przestrzeni.
WIĘZY - warunki, które nakładają ograniczenia na ruch ciała lub jego położenie w przestrzeni:
geometryczne - ograniczenia na położenie ciała w przestrzeni
kinematyczne - ograniczenia na prędkość lub przyspieszenie
Ciało posiada `s' stopni swobody, jeżeli do jednoznacznego określenia jego położenia potrzeba `s' parametrów:
punkt materialny: s=3;
układ `n' punktów materialnych z `w' więzami: s=3n-w
bryła sztywna: s=6
układ `n' brył z `w' więzami: s=6n-w
tarcza sztywna: s=3
układ `n' tarcz z `w' więzami: s=3n-w
STOPNIE SWOBODY - oznaczają najmniejszą liczbę więzów, przy użyciu których możliwe jest unieruchomienie danego ciała.
Podparcie przegubowo-nieprzesuwne
Podparcie przegubowo-przesuwne
Pełne utwierdzenie
KINEMATYKA
30Punktem materialnym umownie nazywa się ciało posiadające masę, ale nie mające objętości. Zatem ciało takie nie może obraca się wokół własnej osi ani wykonywać ruchu drgającego.W opisie ruchu punku materialnego pojawiają się następujące wielkości: przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.Prędkość określa szybkość zmiany położenia punku materialnego w danym czasie.Prędkość jest wielkością wektorową. Wyróżnia się prędkość średnią i prędkość chwilową.Prędkość średnia wyrażona jest wzorem:
gdzie to wektor przemieszczenia, a to przedział czasu.
31Jeżeli ruch punktu materialnego odbywa się w ten sposób, że jego prędkość średnia w różnych przedziałach czasu nie jest jednakowa, wtedy wprowadza się pojęcie prędkości chwilowej:
32 Gdy prędkość punktu zmienia się jednostajnie w czasie to porusza się ono ze stałym przyspieszeniem. Jeśli jest ono większe od zera to jest to ruch jednostajnie przyspieszony, a jeśli mniejsze to jednostajnie opóźniony.Przyspieszenie można zdefiniować jako szybkość zmian prędkości ciała w czasie.Przyspieszenie średnie można wyrazić wzorem:
I podobnie jak w przypadku prędkości, jeśli przyspieszenie zmienia się w czasie to konieczne jest wprowadzenie przyspieszenia chwilowego:
Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnie zmiennym to prędkość można zapisać jako:
Natomiast wektor położenia będzie opisany następującym równaniem:
W powyższych wzorach vto prędkość początkowa, a r to początkowe położenie.Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu punku materialnego przyjmuje postać:
33.Pojęcie okresu dotyczy ruchu periodycznego, czyli takiego, który powtarza się w regularnych odstępach czas. Tak więc okres to czas, po którym układ drgający znajduje się ponownie w tej samej pozycji (fazie). Przemieszczenie x cząstki w ruch periodycznym można zawsze opisać funkcjami sinus i cosinus, dlatego ruch ten nazywa się też harmonicznym
33 Ruch jednostajny prostoliniowy - ruch ze stałą prędkością, którego torem jest linia prosta. Korzystając z ogólnego wzoru na prędkość (pochodna wektora przemieszczenia po czasie): Kierunek i zwrot wektora prędkości jest stały
Wartość prędkości jest stała
Prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej
Przyspieszenie jest równe zeru
Wektor przesunięcia (zmiana wektora położenia) jest równy drodze pokonanej przez ciało
34 Ruch postępowy bryły sztywnej jest to taki ruch, w którym każdy z punktów bryły porusza się po takim samym torze w tym samym czasie. Tor ten może mieć dowolny kształt (nie musi być prostoliniowy).W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły poruszają się w danym momencie z jednakowymi prędkościami i przyspieszeniami. Tory ruchu dla wszystkich punktów są w tym ruchu takie same (czerwone linie na animacji). Rezultatem ruchu postępowego bryły sztywnej po dowolnym ustalonym czasie t jest przesunięcie równoległe bryły (translacja), co oznacza, że po tym czasie każdy punkt bryły zostaje przesunięty o ten sam wektor (niebieskie wektory na animacji).Poza ruchem postępowym bryła może wykonywać ruch obrotowy wokół osi stałej lub chwilowej. Dowolny ruch bryły sztywnej jest można opisać jako złożenie (superpozycję) ruchu postępowego i obrotowego.
35 Ruch obrotowy to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:
36 Prędkość kątowa w fizyce - wielkość opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.
38 Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszaja sie w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzna kierujaca. Punkty ciała leace na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierujacej poruszaja sie po takich samych torach, majajednakowe predkosci i przyspieszenia. Zatem dla badania ruchu płaskiego wystarczy wziac pod uwage dowolny przekrój ciała płaszczyzna równoległa do kierujacej.
39 Środek obrotu Jeżeli figura płaska porusza się w swej płaszczyźnie, to z każdego położenia w inne położenie daje się przesunąć przez obrót dokoła punktu leżącego w tej płaszczyźnie, zwanego środkiem obrotu skończonego (przesunięcie równolegle można uważać za obrót punktu leżącego w nieskończoności). Prędkość punktów Konce wektorów predkosci dowolnych punktów bryły w ruchu płaskim sa widziane pod tym samym katem j zchwilowego srodka predkosci, przy czymj = arctgw .
40: Ruch płaski można rozpatrywać jako szereg po sobie następujących obrotów chwilowych figury płaskiej wokół coraz to nowego punktu należącego do układu ruchomego (chwilowego) środka obrotu i zajmującego w danej chwili określone położenia w układzie nieruchomym. W układzie ruchomym można wyróżnić wszystkie te punkty figury płaskiej, które były lub będą chwilowymi środkami obrotu. Punkty te w układzie ruchomym tworzą pewną krzywą, zwaną centroidą ruchomą. Centroida ruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie ruchomy. B w układzie nieruchomym można wyróżnić wszystkie punkty, które pokrywały się lub będą się pokrywać z chwilowym środkiem obrotu. Punkty te w układzie nieruchomym tworzą pewną krzywą, zwaną centroidą nieruchomą. Centroida nieruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu w układzie nieruchomym.
41 Przyspieszenie dowolnego punktu(A) figury płaskiej,jest równe sumie geometrycznej przyspieszenia unoszenia dowolnego punktu (0)przyjętego za biegun, oraz przyspieszenia względnego punktu A wokół bieguna O.
42 Wniosek : dodatkowy pręt łączący dwie tarcze nie zawsze musi odbierać jeden stopieńswobody. Zawsze prawdziwy jest natomiastwarunek, mówiący, że:jeżeli 2 tarcze połączone są tak, że tworzą układ o 3 stopniach swobody (geometrycznieniezmienny) , to prawdziwy jest związek 3×2 - p ≤ 3 (p - liczba prętów)W przypadku połączonych T tarcz tworzących układ o 3 stopniach swobody
3 × T − p ≤ 3
45 Stopień geometrycznej niezmienności V V = 3 × T − p − 3 p to pręty, t to tarcza-->Warunek konieczny (ale nie wystarczający) geometrycznej niezmienności układu v=0 =>sztywny,V<0 układ przesztywniony, V>0 układ geometrycznie zmienny