1. Zdefiniowac punkt materialny i ciało sztywne -Punkt materialny - punkt któremu przypisana jest pewna masa. Ciało sztywne -(Bryla materialna)- obszar wypełniony w sposób ciągły i jednolity punktami materialnymi (odległości tych pun. są stałe).
2. Dokonać podziału wektorów(sił) i ich układów. Dzielimy wektory na: równoległe, równe, równoważne, przeciwne i zerowe
układ zbieżny , równoległy i płaski.
3 Wymienic przekształcenia elementarne układu wektorów.
Przez przekształcenia elementarne α rozumiemy usunięcie lub dodanie do układu sił(A) układu złożonego z dwu wektorów przeciwnych leżących na jednej prostej. Przez przekształcenia elementarne typu β rozumiemy usunięcie lub dodanie do układu sił(A) układu złożonego z kilku wektorów o wspólnym punkcie zaczepienia i o sumie równej wektorowi zerowemu.
4. Określić kierunek i wartość działania wypadkowej zbieżnego układu wektorów: Układ sił (A) jest w równoważny wypadkowej
gdy a≠0. wartość wypadkowej równa jest sumie wektorów zbieżnych. Układ zbieżny wektorów jest to układ gdzie wszystkie linie działania wektorów przecinają się w jednym punkcie (środek układu zbieżnego)gdy a=0 to układ redukuje się do układu zerowego (A)≡ (0).
6. Określić momenty siły względem osi i punktu Moment siły
względem osi „l” nazywamy wektor
=
który jest momentem rzutu wektora a na płaszczyznę prostopadłą do osi „l” obliczamy względem bieguna Q który jest punktem przebicia płaszczyzny π z osią „l”.
Przez moment siły
względem punktu Q, zwanego biegunem rozumiemy wektor:
=
8. Do jakiego układu można zredukować dowolny przestrzenny układ sił: układ sił jest równoważny wtw.
- skrętnikowi -R≠0
- wypadkowej - R=0, a≠0
- parze sił - R=0, a=0, M≠0
- układowi zerowemu - R=0, a=0 , M=0
9. Podać analityczne warunki równowagi płaskiego układu sił.
,
,
,
10. Jaka jest różnica pomiędzy geometrycznie niezmiennym
układem ciał sztywnych a mechanizmem. Mechanizm pod
działaniem sił czynnych przemieszcza się a układ ciał sztywnych nie
porusza się pod wpływem sił.
11. Omówić sposób wyznaczenia reakcji w układzie
mechanicznym. Co to są reakcje wewnętrzne?
Reakcje wyznaczamy zauważając że układ mechaniczny możemy
traktować jako niezależny zbiór ciał sztywnych na które działają
siły czynne. Reakcje wewnętrzne, reakcje zewnętrzne
.
reakcje wewnętrzne są to siły wzajemnego oddziaływania ciał,
jako takie tworzą układ sił przeciwnych leżących na jednej prostej.
12. Kiedy układ 2 sił jest w równowadze?
Układ jest w równowadze gdy suma (wektor główny) i moment
względem dowolnego bieguna były równe wektorowi zerowemu.
,
13. Podać wartośc wektora głównego i momentu głównego
dowolnego układu sił. wektor główny - jest to suma układu sił
moment główny
14. Podać analityczne równania równowagi dowolnego układu sił:
15. Omówić wyznaczenie sił w kratownicach: Wyznaczamy reakcje
zewnętrze (zakładając że kratownica tworzy układ sztywny) za
pomocą rzutów na osie x, y oraz mom. x, y.Następnie w określonej
kolejności rozważamy równowagę węzłów (kolejność ustalamy aby
w kolejnym węźle były 2 niewiadome. Gdy chcemy obliczyć jedynie
kilka sił możemy skorzystać z metody Rittera.
16. Podać warunki geometrycznej niezmienności (sztywności) i
statycznej wyznaczalności kratownicy.
P- liczba prętów W- liczba węzłów muszą spełniać zależność
P= 2*W-3 W wykładzie jest: W- liczba prętów P.M
P- liczba prętów 2W=P => GN.SW
17. W węźle w kratownicy schodzą się trzy pręty WA, WB, WC
W(0,0,2d) A(
,
,0) B(
,
,0). Jakie są wartości sił
w prętach WA, WB, WC. Rozwiązujemy to 2 równania węzła W.
18. Na czym polega metoda Rittera rozwiązywania kratownic.
Polega na dokonaniu przekroju przez 3 nie równoległe, nie
przecinające się w jednym punkcie. Więzy: każde ciało pozostaje w
równowadze więc korzystając z rzutów na osie obliczamy wartość
sił reakcji wewnętrznych w węzłach.
19. Jak wyznaczyć położenie środka dowolnej liczby sił
równoległych. Środek ten nosi nazwę „środka masy” Obliczamy go
z sposobu:
Lub z rzutów na osie:
20. Określić pojęcie środka ciężkości.
Środek ciężkości jest to punkt niekoniecznie należący do ciała,
przez który przechodzi wypadkowa sił ciężkości działających na
poszczególne punkty ciała.
21.Zdefiniować moment statyczny figury płaskiej względem osi.
Moment statyczny figury względem osi jest równy iloczynowi
powierzchni tej figury i odległości jej środka od osi.
22. Zdefiniować moment bezwładności figury płaskiej,
wyrażenie
23.Co nazywamy głównymi momentami figury płaskiej.
Wartości momentów głównych
oblicza się jako wartości
własne macierzy
lub
24. Co nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności
figury płaskiej. Jeżeli figura ma oś symetrii to jest ona jedną z
głównych osi bezwładności tej figury. Na osi tej leży też środek
geometryczny - jest wiec oś symetrii główna centralna osią
bezwładności.
25. Który z momentów bezwładności może być ujemny lub równy
zero. Jedynym momentem bezwładności jest moment dewiacji
.
26. Podać istotę twierdzenia Steinera oraz korzyści z niego
płynące. Przy równoległym przesunięciu osi centralnej moment
bezwładności wzrasta o iloczyn powierzchni i kwadratu odległości
między nimi.
1. Kombinacja liniowa: …wektorów a i b nazywamy wektor
c^ = k1*a^*k2*b^ gdzie k1 i k2 należy do R. Kombinacja liniowa
wektorow a1^ ,a2^,…an^ nzw.wyrazenie
λ1a1^+ λ2a2^+… λnan^=Σ λkak^ gdzie λ1,… λn naleza do R.
Jeżeli V1,V2 …Vk stanowia układ n-wymiarowy wektorow, to
wektor b= λ1V1+ λ2V2+… λkVk, gdzie λi, i=1,2…k sa liczbami R,
nazywa się kombinacja linowa układu wektorow V1,V2…Vk.
2. Mnogośćią 1-wymiarową nazywamy zbior wszystkich
wektorow || do jednej prostej, wektory te nosza nazwe
wektorow kolinearnych i sa wektorami zaleznymi. W mnogości tej
istnieje jeden wektor niezależny(bazowy).
Mnogością 2-wymiarową-nazywamy zbior wszystkich
wektorow || do jednej płaszczyzny, wektory te sa komplanarne.
W mnogości 2-wymiarowej każdy wektor da się przedstawic przez
2 niekolinearne wektory tej mnogości a1 i a2, które tworza baze.
Mnogością 3-wymiarową-tworza wektory nierownolegle do jednej
płaszczyzny. W mnogości tej istnieja 3-wektory niemalezne (mogą
nie być kazde 3 niekomplenarne wektory). Każdy wektor
c^ mnogości 3-wymiarowej mnożone w jeden i tylko jeden sposób
wyrazic przez wektory podstawowe (bazowe) a1^,a2^,a3^. ( rys.2 )
3.Ile wynosi liczba liniowo niezależnych wektorów w mnogościach
M1,M2,M3?Maksymalna liczba wektorów niezależnych w
przestrzeni n-wymiarowej wynosi n, zatem w mnogości
1-wymiarowej istnieje jeden wektor niezależny (bazowy),
w mnogości 2-wymiarowej istnieja, 2 wektory niezależne
(niekolinearne-nie rownolegle do jednej prostej), a w mnogości
3-wymiarowej istnieja 3 niezalezne wektory ( sa nimi każde 3
niekompenarne - nierownolegle do jedenj płaszczyzny wektory ).
4.Co nazywamy wektorami bazowymi w 3-wymiarowej mnogości
wektorów. Wektorami bazowymi mnogości 3-wymiarowej
nazywamy 3 niezalezne wektory, przez które da się wyrazić jeden i
tylko jeden sposób każdy wektor c^ mnogości 3-wymiarowej.
Wektory te tworzą bazę. Są nimi każde 3 niekomplanarne wektory
5. Sprawdź czy wektory a={ax,ay,az}i b={bx,by,bz} c={cx,cy,cz}
mogą być wektorami bazowymi w M3. Zbior n- wymiarowych
wektorów a1,a2,…an tworzą bazę n- wymiarowej przestrzeni gdy:
- liczba wektorow ai w danym układzie wektorow jest identyczna z
wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory (k=n),
- układ wektorow ai jest liniowo niezależne czyli rząd macierzy jest
równy m, a gdy m=n to wyznacznik ma być różny od zera.
Pierwszy warunek jest spełniony bo mamy 3 wektory i … mnogość
3-wymiarowa. Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od zera
6.Jaką wartość ma praca L=Pq jeżeli P={Px,Py,Pz}[N] i wektora
q o współrzędnych {qx,qy,qz} [m]?. Iloczyn skalarny wektorow
a^ i b^ jest równy sumie iloczynów jednoimiennych ich
współrzędnych: przedstawiając wektory a^=axi+ayj+azj i
b^=bxi+byj+bzk obliczamy
a*b=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbx+ayby+azbz jest to iloczyn
skalarny wyrazony przez współrzędne wektorow. Na podstawie tego
wzoru obliczamy prace L=P*q =Pxqx+Pyqy+Pzqz.
7 Jaki kąt tworzą ze sobą wektory z poprzedniego zadani ?
Iloczynem skalarnym dwóch wektorow a^ i b^ nazywamy skalar „c”
taki ze : c=| a^| * |b^| * cos α ,α kat zawarty miedzy wektorami a i b.
Długość wektora określamy wzorem |a^|=√ax²+ay²+az². Iloczyn
skalarny wyrazamy przez wspolzedne na postac :
a*b=axbx+ayby+azbz. Na podstawie powyższych wzorow można
obliczyc kat pomiedzy wektorami P i q : L=P^*q^=|P|*|q|*cos α;
L=P^*q^=Pxqx+Pyqy+Pzqz ;
|P^|=√Px²+Py²+Pz ² |q^|=√qx²+qy²+qz² ;
|P^|*|q^|*cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz, stad
cosα=Pxqx+Pyqy+Pzqz/√Px²+Py²+Pz² * √qx²+qy²+qz².
8. Czy wykonując na ukladzie (A) =(ai Ai) wektorow
przekształcenia elementarne α i β zmienione zostaja : wektor
sumy układu (A) i wektor momentu tego układu. Wykonując na
układzie (A) =(ai Ai) przekształcenie elementarne typu α i β nie
zmieniamy wektora sumy i wektora momentu tego układu ponieważ:
Tw. Wektor sumy i wektor momentu sa nie zmiennikami względem
przekształceń elementarnych . Moment układów tworzących
przekształcenie α i β jest =0
9.Twierdzenie podstawowe o równoważności ukladów (A) I (B).
Definicja podstawowa rownowaznosi układów: 2 uklady nazywamy
równoważnymi wtedy i tylko wtedy jeżeli wykonując na układzie (A)
skonczona liczbe przeksztalcen elementarnych typu α i β w wyniku
otrzymamy układ (B). Jest także: relacja zwrotna- (A) równoważne
(B), relacja symetryczna- (A) równoważne (B) to (B) równoważne
(A), i przechodnia- (A) równoważeń (B), (B) równoważne (C) to
(A) równoważne (C). Tw: Układu (A) i (B) sa równoważnymi wtedy
i tylko wtedy gdy wektor sumy układu (A) jest rowny wektorowi
sumy układu (B), oraz wektory momentu względem tego samego
bieguna układu (A) i (B) sa sobie rowne. (A) równoważne
(B) <=> s^(A) = s^(B), a^=b^. Moment układu (A) = momentowi
układu (B).
10. Kiedy układy (A) i (B) wektorow są sobie równoważne. Podaj
2 Tw związane z równoważnością układów Tw.1 warunkiem
koniecznym i wystarczającym na to aby układy (A) i (B) były
równoważnymi jest aby ich sumy oraz momenty względem tego
samego punktu były miedzy soba rowne. (A) równoważne (B) <=>
gdy s^(A) = s^(B), Ma(A) = Ma(B). Tw. 2 Warunkiem koniecznym
i wystarczającym na to aby 2 uklady sil (A) i (B) były równoważnymi
jest aby ich momenty względem 3 nie lezacych na jednej prostej
biegunow (punktow) były sobie odpowiednio rowne.
11. Kiedy o układzie (A)wektorow mówimy, ze jest w równowadze
Uklad (A) wektorow jest w równowadze jeśli (A)=
Def.O układzie sil dzilajacych na układy sztywne mowimy ze jest w
równowadze jeśli ciało pod jego działaniem może być w równowadze
czyli pozostaje w spoczynku. WKW a to aby układ sił działających
na cialo sztywne był w równowadze jest aby uład ten miał sumę
(wektor głowny) i moment względem dowolnego bieguna (moment
głowny) rowne wektorom zerowym:s^(A)=0^,M(A)^=0
12. Dla układu (A) wektorów a=0,M0(A)=0. czy istnieje dla tego
Układu oś zerowa. Dla danego układu wektor sumy jest różny od
zera i wektor momentow jest różny od zera. A ^różne od 0 M0(A)
rozne od 0. Oś środkowa jest to miejsce geometryczne punktow
względem których wektor momentu jest równoległy do wektora sumy
lub rowna się 0.Os srodkowa opisana jest równaniem
r ^ =a ^x Ma(A)/α² +λ α ^.Os środkowa istnieje jeżeli wektor sumy
układu jest różny od 0 ponieważ ponieważ naszym przypadku
warunek ten jest spełniony układ posiada os środkowa
13. Jeżeli punkt Q należy do osi środkowej układu (A) i Mq(A)=0
To jaka jest najprostsza postać do której układ ten można
zredukować. Punkt Q należy do osi środkowej układu (A) i
Mq(A)=0. Os srodkowa istnieje jeśli wektor sumy układu jest różny
od 0.Stad wiemy ze a^rozne od 0.Majac dane a^=0 i Mq(a)=0
mozemy obliczyc parametr układu R=a^*Mq^(A), R=0.Jezeli
parametr układu jest =0 a suma układu jest rozna od 0 to najprostsza
postacia do jakiej można zredukowac dany układ (A) jest wypadkowa
14. Jaka postać maja wektorowe i skalarne podstawowe równania
rownowagi układu (A) w zagadnieniach przestrzennych. Na
podstawie twierdzenia :WKW na to aby układ sil dzilajacych na
cialo sztywne był w równowadze jest aby układ ten miał sume
(wektor glowny) i moment względem dowolnego bieguna (moment
glowny) rowne wektorom zerowym. Mamy dwa wektorowe równania
równowagi ( )=ΣPi^=0^ i Mq^(A)=0^ które wymagaja spełnienia 6
rownan skalarnych ΣPix=0,ΣPiy=0,ΣPiz=0. ΣMix=0,ΣMiy=0,ΣMiz=0
Sumy momentów sil względem osi Ox,Oy,Oz musza być =0 oraz
sumy momentow sil na poszczególne osie Ox,Oy,Oz musza być =0
15. Kiedy układ tarcz sztywnych jest układem geometrycznie
niezmiennym WKW dla układów 2, 3-tarczowych
Warunkiem koniecznym i wystarczającym geometrycznej
niezmienności układu dwutarczowego jest:V<=0 stopień
geometryczne niezmienność V=3t-p-2b-z-3 musi być <=0 oraz pręty
nie przecinają się w jednym punkcie czyli nie sa również do siebie
równoległe(gdyby były równoległe posiadały by wspólny punkt
nieskończoność -niewłaściwy).warunkiem koniecznym i
wystarczającym geometrycznej niezmienności układu trzech tarcz
jest:V<=0 oraz punkty przeciec kierunków par prętów miedzy
tarczami (przeguby 0,12,0,23,0,31)nie moga lezec na jednej prostej
16.Co nazywamy nieswobodnym układem ciał sztywnych
Nieswobodny układ cial sztywnych jest jest układem mechanicznym
cial sztywnych nazywamy geometrycznie niezmienny względem
siebie lub względem ostoi układ skończonej liczby tarcz (ciał
sztywnych)połączonych miedzy sobą za pomoca więzów
wewnętrznych a z ostoja wiezami podporowymi. Układ nazywamy
nieswobodnym gdy ruch i przemieszczenie układu jest ograniczony
tzw. Wiezami.
17.Co nazywamy węzłem dwustronnym skleronomicznym. Jaki
jest jego model fizyczny Więzem skleronomicznym dwustronnym
nazywamy wiez opisany równaniem F(xi)=0 w którym nie wystepuje
w sposób jawny parametr czasu (jest to wiez stacjonarny0. Każdy
wiez stacjonarny odbiera układowi tarcz jeden stopien swobody.
Podstawowym rodzajem wiezu podstawowego stacjonarnego
dwustronnego jest wachacz -fizycznie pret ustalający odległość
miedzy dwoma punktami dwóch roznych tarcz .Przy jego pomocy
można modelowac inne rozbudowane rodzaje więzów miedzy
tarczami oraz tarczami a ostoja(połączenia przegubowe, utwierdzenia)
18. Postulat o więzach Ruch i polozenie ciala nieswobodnego nie
zmieniaja się jeżeli jego wiezy usuniemy ich oddziaływanie
zastapimy odpowiednio dobranymi reakcjami
AKSJOMAT STATYKI- POSTULAT O WIEZACH: kazde cialo
sztywne nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów, pod
warunkiem ze usunięte wiezy zostana zastapione odpowiednimi
silami przenoszonymi przez wiezy, zwanymi reakcjami więzów.
ZAŁOZNENIA O REAKCJACH: 1.Reakcje zaczepione są punktach
w których rozwazane cialo styka się z wiezami 2.Jesli wiezem jest
gladka powierzchnia to kierunek reakcji jest prostopadly do tej
powierzchni 3.Jesli wiezem jest gladka krzywa, to kierunek reakcji
lezy w płaszczyźnie prostopadlej do tej krzywej.
19.Tw. o równowadze ciał sztywnych Układ ciał sztywnych (układ
mechaniczny) jest w równowadze jeżeli każde z ciał tego układu
pozostaje w równowadze.(Stosując postulat o więzach zauważymy ze
układ ciał sztywnych możemy traktować jako niezależny zbiór ciał
sztywnych na które działają siły czynne, reakcje zewnętrzne i reakcje
wewnętrzne ;są to siły wzajemnego oddziaływania ciał jako takie
tworzą układ sil przeciwnych lezących na jednej prostej.)
20, Równanie równowagi nieswobodnego ciala sztywnego D3.
Aby ciało sztywne nieswobodne było w równowadze, suma sil
czynnych i reakcyjnych musi byc wektorem zerowym oraz moment
układu sil czynnych i reakcyjnych musi być wektorem zerowym
(albo momenty wszystkich sil czynnych i reakcyjnych względem 3
biegunów były wektorami zerowymi).
M0^(R)+M0^(F)=0, S^(R)+S^(F)=0, czyli suma momentow sil
ΣPox=0, ΣPoy=0, ΣPoz=0 i momenty ΣMox=0, ΣMoy=0, ΣMoz=0.
M01(F)+M01(R)=0, M02(F)+M02(R)=0, M03(F)+M03(R)=0.
22.Co nazywamy przekrojem, co punktem Rittera dla siły Ni.
Przekrojem Rittera nazywamy przekroj α-α przechodzący przez 3 nie
rownolegle i nie przecinające się w jednym punkcie prety (wiezy) w
których chcemy wyznaczyc sily osiwe. Ni- sa to sily osiowe sily
reakcji jakimi prety oddzialywuja na węzły (rekcje więzów d=const
na punkt materialny) Przekroj rittera może przechodzic przez
wieksza liczbe pretow ale pozostale prety musza być przecięte
parzysta liczbe razy. Kierunki pozostalych pretow musza przecinac
się w jednym punkcie. Sily w pozostałych pretach (oprocz 3) musza
być znane. Punktem Rittera dla sily osiowej w precie - Ni nazywamy
punkt w którym przecinaja się kierunki pozostałych 2 pretow
rozciętych przekrojem rittera który obieramy za biegun w warunkach
momentow z równania ΣMrg=0. Obliczamy jedna niewiadoma
równania jaka jest szukana sila Ni