WYKŁAD IV i V

Parametrem zbiorowości generalnej  nazywa się miarę opisową, której wartość nie jest znana.

Estymatorem nazywa się dowolną statystykę T_n służącą do oszacowania nieznanej wartości parametru w populacji generalnej  .

W literaturze i praktyce wyróżnia się dwa rodzaje estymacji:

• estymację punktową, czyli metodę szacunku, za pomocą której jako wartość parametru zbiorowości generalnej przyjmuje się konkretną wartość estymatora wyznaczonego na podstawie n-elementowej próby,

• estymację przedziałową, za pomocą której wyznacza się przedział liczbowy, który z ustalonym prawdopodobieństwem zawiera nieznaną wartość szacowanego parametru zbiorowości generalnej. Prawdopodobieństwo to nosi nazwę współczynnika ufności i oznaczane jest jako 1- , a znaleziony przedział nazywany jest przedziałem ufności. Innymi słowy, przedział ufności informuje, w jakich granicach należy spodziewać się wartości dla poszukiwanego parametru  z zadanym z góry prawdopodobieństwem.

Ogólną postać przedziału ufności można zapisać jako:

gdzie:

P- symbol prawdopodobieństwa,

1- - poziom ufności,

T_n - estymator,

 - szacowany parametr,

- górna i dolna granica przedziału ufności.

Funkcje f1 i f2 jako funkcje zmiennej losowej Tn są zmiennymi losowymi.

Konstruując przedział ufności jesteśmy w stanie określić prawdopodobieństwo, z jakim oszacowaliśmy przedział dla wartości nieznanego parametru, czego nie daje estymacja punktowa. Należy przy tym pamiętać, że:

• przy zadanym poziomie ufności 1- im większa jest liczebność, tym krótszy przedział ufności,

• przy ustalonej liczebności próby wraz ze wzrostem poziomu ufności rośnie rozpiętość (długość) przedziału ufności,

• im krótszy przedział, tym mniejszy błąd szacunku, co oznacza większą dokładność oszacowania.

Długość przedziału ufności oznaczana jest przez 2d, a więc:

Natomiast maksymalny błąd szacunku równy jest połowie tej długości, czyli d.

Miary średnie

Przypadek I. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej, gdy znana jest wariancja

gdzie:

  - szacowana wartość oczekiwana (średnia) w populacji generalnej,

σ  - znana wartość odchylenia standardowego w populacji generalnej,

 - średnia arytmetyczna obliczona dla n-elementowej próby statystycznej

- wartość zmiennej losowej u odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego tak, aby spełniony był warunek
.

Korzystając z własności prawdopodobieństwa i dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego możemy zapisać

Zatem z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy taką wartość
, która spełnia równanie
.

Przedziałem ufności dla parametru  jest przedział

,

który z prawdopodobieństwem 1- pokrywa nieznana wartość parametru  .

Przy szacowaniu wartości przeciętnej  maksymalny błąd szacunku (d) jest równy połowie długości przedziału ufności, a zatem wynosi:

Minimalna liczeność próby

Jeśli n nie jest liczbą naturalną, to zaokrąglamy n w górę.

 

Przypadek II. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej, gdy nieznana jest wariancja (mała próba)

gdzie:

S  - odchylenie standardowe obliczone dla n-elementowej próby

 - wartość zmiennej t odczytana z tablicy rozkładu t-Studenta dla n-1 stopni swobody w taki sposób, aby spełniony był warunek:

Korzystając z własności prawdopodobieństwa możemy zapisać:

.

Przedział ufności dla wartości średniej ma postać:

Z prawdopodobieństwem 1- można twierdzić, że w obliczonym przedziale znajduje się nieznana wartość średniej.

Przy szacowaniu wartości przeciętnej  maksymalny błąd szacunku (d) jest równy połowie długości przedziału ufności, a zatem wynosi:

Minimalna liczenośc próby:

 

Przypadek III. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej, gdy nieznana jest wariancja (duża próba)

Zatem z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy taką wartość
, która spełnia równanie
.

Przedziałem ufności dla parametru  jest przedział

który z prawdopodobieństwem 1- pokrywa nieznana wartość parametru  .

Przy szacowaniu wartości przeciętnej  maksymalny błąd szacunku (d) jest równy połowie długości przedziału ufności, a zatem wynosi:

Minimalna liczeność próby

Przedział ufności dla wskaźnika struktury

gdzie:

p  - frakcja w populacji generalnej ,

n  - liczebność badanej próby,

- wartość odczytana z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego przy poziomie ufności 1- , dla której
,

 - frakcja w badanej próbie.

Przy szacowaniu wartości wskaźnika struktury przeciętny błąd szacunku (d) jest równy połowie długości przedziału ufności, a zatem wynosi:

Minimalna liczebność próby

Przedziały ufności dla miar dyspersji

Przedział ufności dla wariancji

odczytujemy z tablic rozkładu  ² dla n-1 stopni swobody w ten sposób, aby spełniały dla zadanego poziomu ufności 1- równości:

Przedziałem ufności dla parametru
jest zatem przedział

który z dokładnością 1- pokrywa nieznana wartość parametru
.

Przedział ufności dla odchylenia standardowego

,

gdzie
odczytujemy z tablic rozkładu normalnego dla przyjętego poziomu ufności 1- , aby spełniona była relacja
.

Przedziałem ufności dla parametru σ jest przedział:

,

który z prawdopodobieństwem 1- pokrywa nieznana wartość parametru σ .

1

18

---