Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia nr 208.

TEMAT : Wyznaczanie momentu bezwładności za pomocą przyrządu Hartle'a
IMIĘ I NAZWISKO : SEBASTIAN GOS
WYDZIAŁ : Elektryczny	SEMESTR : letni	ROK AKADEMICKI : 1998/99
ZESPÓŁ : nr 3	DATA WYKONANIA : 19 kwietnia 1999
OCENA :	PODPIS :

WSTĘP TEORETYCZNY

Druga zasada dynamiki Newtona:

Jeżeli na ciało o pewnej masie m działają zewnętrzne siły F₁, F₂, F₃, F₄ ..., to pod wpływem tych sił ciało to porusza się z przyspieszeniem takim, że

Bryła sztywna

to takie ciało, w którym pod wpływem działających sił zewnętrznych nie zmienia się wzajemna odległość pomiędzy cząsteczkami tego ciała (siły te nie zmieniają kształtu ciała). Z definicji wynika, że dane ciało czasami możemy traktować jak bryłę sztywną (wtedy, gdy działające siły są zbyt małe aby to ciało odkształcić), a innym razem, gdy działające siły są większe, ciało przestaje być bryłą sztywną.

Momentem bezwładności

bryły sztywnej względem pewnej osi (definiuje się również inne momenty bezwładności) nazywamy wyrażenie

. Wzór ten odczytujemy następująco:
Aby znaleźć moment bezwładności ciała należy podzielić w myśli to ciało na fragmenty tak małe, aby każdy można było traktować jak punkt materialny o pewnej masie m_i, pomnożyć jego masę przez kwadrat jej odległości od osi obrotu r_i² i wszystkie otrzymane iloczyny do siebie dodać. Ta dosyć skomplikowana recepta może być zastosowana praktycznie tylko do ciał, które składają się ze skończonej liczby niewielkich elementów, które można potraktować w przybliżeniu jak zbiór niezależnych punktów materialnych. W praktyce, do ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:

We wzorze tym r² oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.

W oparciu o tę zależność można stosunkowo prosto wyliczyć moment bezwładności kilku popularnych brył:

Wszystkie powyższe wzory określają moment bezwładności brył względem osi przechodzących przez środek masy danej bryły. Do określenia momentu bezwładności względem innej osi pomocne jest

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie to mówi, że jeśli znamy moment bezwładności I_o danego ciała względem pewnej osi przechodzącej przez środek masy tego ciała,
to aby obliczyć moment bezwładności I względem dowolnej innej osi równoległej do niej,
należy do momentu I_o dodać iloczyn masy ciała i kwadratu odległości d między tymi osiami czyli md²:

Ilustruje to rysunek powyżej, na przykładzie którego możemy wyliczyć moment bezwładności kuli względem osi stycznej do kuli:

Moment siły

Moment M siły działającej na ciało to wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły i promienia wyznaczonego przez odległość prostej, wzdłuż której działa siła od osi obrotu. Wektor momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor siły i wektor r, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Zgodnie z tą regułą, jeśli będziemy obracali po najkrótszej drodze pierwszy wektor (tu: r) tak, aby pokrył się z drugim (tu: F), to obracana w tym samym kierunku śruba prawoskrętna będzie przesuwać się (będzie wkręcana lub wykręcana) w kierunku określającym zwrot wektora M

Prędkość kątowa

obracającej się bryły to charakterystyczna dla ruchu obrotowego wielkość określająca kąt zakreślany przez bryłę w określonym czasie.

Każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, natomiast prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama. Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v taką, że

Należy pamiętać, że wektor prędkości kątowej jest prostopadły do płaszczyzny ruchu.

Przyspieszenie kątowe

obracającej się bryły określamy jako zmianę prędkości kątowej tej bryły w czasie.

Każdy punkt obracającej się bryły ma inne przyspieszenie liniowe, natomiast przyspieszenie kątowe wszystkich punktów bryły jest takie samo. Punkt odległy od osi obrotu o r ma przyspieszenie liniowe a takie, że

Należy pamiętać, że wektor przyspieszenia kątowego jest prostopadły do płaszczyzny ruchu.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego

Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły, które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że

Energia kinetyczna

bryły sztywnej jest sumą energii kinetycznej jej ruchu postępowego E_kp i energii kinetycznej jej ruchu obrotowego E_ko.

Prędkość v występująca we wzorze określa prędkość środka masy bryły, tak więc dla bryły, która nie przemieszcza się (n.p. tzw. blok nieruchomy), występuje tylko energia E_ko związana z obrotem ciała.
Natomiast dla np. toczącej się kuli oba te składniki mają znaczenie i wtedy całkowita energia kinetyczna E_k wynosi:

Pracą

nazywamy iloczyn skalarny siły F działającej na ciało i wektora przemieszczenia s jaki ta siła wywołała:

Gdy działająca siła jest zgodna z kierunkiem przemieszczenia, cosinus we wzorze =1 i wzór można zapisać po prostu jako

. Gdy siła działa prostopadle do kierunku przemieszczenia, jej praca wynosi 0.

METODA POMIAROWA

Układ pomiarowy składa się z:

• umocowanego na poziomej osi bloku A, na który nawinięta jest nić

• zestawu metalowych tarcz B, które można mocować na osi bloku A

• dwóch odważników o znanych masach m₁ i m₂, wieszanych na końcu nici i wprawiających w ruch obrotowy blok i badane tarcze,

• podziałki milimetrowej służącej do pomiaru drogi przebywanej przez opadający ciężarek,

• układu elektronicznego pomiaru czasu trwania ruchu o dokładności 0,01s.

Idea pomiaru polega na zamianie energii potencjalnej odważnika (zawieszonego na nici nawiniętej na bloku i opadającego pod wpływem siły ciężkości) na energię kinetyczną. Na tę energię kinetyczną składa się na energia kinetyczna ruchu postępowego odważnika i energia kinetyczna ruchu obrotowego bloku z tarczą. Część tej energii potencjalnej jest, niestety, tracona na wykonanie pracy przeciwko siłom tarcia T. Aby wyeliminować tę, niewygodną do wyznaczenia, stratę, wykonujemy dla każdej tarczy pomiary przy użyciu dwóch różnych odwazników o znanych masach m₁ i m₂. Oznaczając odpowiednio symbolami:
E_ko -energię kinetyczną odważnika na nitce,

E_kb -sumę energii kinetycznej bloku z nicią i tarczy
E_p -energię potencjalną odważnika na nitce,
W_T -pracę sił tarcia hamującego ruch (tarcie w osi bloku, tarcie nici o blok itp.),

Zasadę zachowania energii możemy zapisać dla tego układu następująco:

Podstawiając odpowiednie wzory i uwzględniając to, że praca sił tarcia przy niewiele różniących się masach odważników jest praktycznie taka sama, otrzymamy dla odważników m₁ i m₂ dwa równania:

Po odjęciu stronami i przekształceniu otrzymamy na moment bezwładności wzór:

Korzystając ze wzoru na związek prędkości kątowej z liniową:

a następnie na drogę ciężarka w ruchu jednostajnie przyspieszonym, z prędkością początkową równą zero

wyeliminujemy trudne do bezpośredniego pomiaru prędkości v i ω , otrzymując ostatecznie zależność:

CZYNNOŚCI POMIAROWE

1. Wyznaczamy masy wszystkich badanych tarcz

2. Mierzymy średnice bloku i wszystkich badanych tarcz i obliczamy ich promienie (odpowiednio r i R)

3. Dla każdej tarczy mierzymy czasy t₁ i t₂ opadania ciężarków m₁ i m₂ na ustalonym odcinku drogi h. Należy pamiętać, aby rozpoczynać pomiary czasu od prędkości początkowej odważnika równej zero.

4. Pomiary dla każdej tarczy i każdego odważnika przeprowadzamy co najmniej trzykrotnie.

5. Pomiary opisane w punkcie 3 powtórzyć bez tarcz, aby wyznaczyć moment bezwładności bloku i pozostałych niezmiennych części układu.

TABELA POMIAROWA

	Lp.	t1	t2	Ic	Io	R	I=Ic-Io
Nr Tarczy		s	s			mm
1	1	0,93	0,674			45
	2	0,926	0,659	4,621*10^ -5		45	2,282*10^ 5
	3	0,887	0,67			45
2	4	0,989	0,727			50
	5	0,974	0,71	8,182*10^ -5		50	1,052*10^ -4
	6	0,945	0,717			50
3	7	1,085	0,79			58
	8	1,066	0,775	7,402*10^ -5		58	5,062*10^ -5
	9	1,045	0,781			58
4	10	1,21	0,918			71
	11	1,201	0,971	1,351*10^ -4		71	1,117*10^ -4
	12	1,225	0,919			71
5	13	1,777	1,285			100
	14	1,738	1,341	2,685*10^ -5		100	2,451*10^ -4
	15	1,75	1,32			100
bez tarczy	16	0,714	0,536		2,339*10^-5
		h=400mm		r=44.3mm		m1=6g	m2=9.1g

Wykres zależności momentu bezwładności od promienia w kwadracie

OBLICZANIE OMYŁEK POPEŁNIONYCH W ĆWICZENIU

Dokładność stopera D1t1=0.01s

Niepewność systematyczna związana z włączeniem i wyłączeniem stopera D1t2=0.01s

Standardowe odchylenia poszczególnych wartości czasów od wartości średnich

Odchylenia całkowite wynoszą

WNIOSKI Z ĆWICZENIA

Przy wykonywaniu ćwiczenia, w celu zmniejszenia błędów pomiaru należy pamiętać o dokładnym, równomiernym nawinięciu sznurka na bęben tarczy. Błąd wynika również z założenia, że tarcia przy obu obciążeniach tarcz są sobie równe. Największy błąd można popełnić przy mierzeniu czasu opadania ciężarka, jednak w naszym przypadku błąd jest niewielki z uwagi na fakt, że pomiar czasu odbywał się automatycznie, przy użyciu fotokomórki.

Wyszukiwarka