Nr ćwicz. 203	Data	Paweł Matuszak	wydział elektryczny	Semestr II	E9 1
mgr Janusz Rzeszutek		przygotowanie:	wykonanie:	ocena:

Wyznaczanie pojemności kondensatora

za pomocą drgań relaksacyjnych

Kondensatorem nazywamy układ dwóch okładek metalowych dowolnego kształtu rozdzielonych dielektrykiem. W stanie naładowania na każdej z okładek znajduje się ładunek elektryczny Q o przeciwnym znaku, a między okładkami napięcie U. Pojemność kondensatora to stosunek ładunku do napięcia:

Pojemność kondensatora zależy od jego kształtu, rozmiarów, wzajemnej odległości okładek i od rodzaju zastosowanego dielektryka.

W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd i. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki napięć na kondensatorze i oporniku są kompensowane przez SEM źródła:

Po zróżniczkowaniu równania i uwzględnieniu
otrzymamy:

Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy rozwiązanie:

gdzie i₀ jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe.

W dowolnej chwili napięcie na kondensatorze wynosi Uc=-Ri i zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:

Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Praktycznie dla t, Uc0 kondensator uważa się za naładowany, gdy t=5RC.

Prąd i napięcie rozładowywania wynoszą odpowiednio:

Wielkość RC występującą w powyższych równaniach nazywa się stałą obwodu (ma ona wymiar czasu). Określa ona prędkość ładowania i rozładowywania obwodu.

Jeśli w obwodzie RC dołączymy równolegle do kondensatora neonówkę wówczas występują w obwodzie niesymetryczne wzrosty i spadki napięć na kondensatorze nazywane drganiami relaksacyjnymi.

Drgania relaksacyjne - polegają na tym, że napięcie na kondensatorze, ładowanym ze źródła, rośnie napięcie aż do pewnej wartości U_Z (napięcia zapłonu), kiedy to zapala się neonówka. Neonówka posiada mały opór, więc kondensator szybko się rozładowuje, aż napięcie osiągnie wartość napięcia gaśnięcia U_G (neonówka gaśnie). Znów następuje ładowanie kondensatora, jego rozładowanie i tak dalej. Ponieważ opór jarzącej się neonówki jest bardzo mały to czas rozładowania stanowi mały ułamek całego okresu i możemy przyjąć, że okres drgań relaksacyjnych jest równy czasowi ładowania kondensatora od napięcia U_G do U_Z W pierwszym cyklu ładowania napięcie U₀ zostanie osiągnięte po czasie t₀, zatem:

gdzie U₀ jest napięciem źródła.

Pisząc podobne równanie dla chwili t₀+T:

znajdujemy wzór na okres:

Ostatecznie zastępując logarytm naturalny z powyższego równania (stały dla danej neonówki i danego napięcia) przez K otrzymujemy: T = R C K

Zatem okres drgań relaksacyjnych jest wprost proporcjonalny do pojemności i oporu.

Zasada pomiaru

By obliczyć pojemność kondensatorów najpierw należy wyznaczyć stałą K. W tym celu używamy znanych oporników i kondensatora wzorcowego o znanej pojemności. Okres mierzymy za pomocą sekundomierza (licząc czas 20 błysków neonówki). Następnie podłączając do obwodu szukane pojemności możemy obliczyć ich wartości.

Mierzymy czas t = 20 T [s] kolejno dla pięciu znanych oporów. Liczymy stałą K według wzoru:

Błąd
przy: Δt = 0,01 [s] ΔC = 0,01 [μF]

Dla R = 1 [MΩ]

C [μF]	t =20T [s]	K [s/ΩF]	ΔK [s/ΩF]
1,10	9,12	0,41	0,0042
1,00	8,38	0,42	0,0047
0,90	8,16	0,45	0,0056
0,80	7,31	0,46	0,0063

[s/ΩF]

= 0,015473 [s/ΩF]

Dla R = 2 [MΩ]

C [μF]	t =20T [s]	K [s/ΩF]	ΔK [s/ΩF]
1,10	18,22	0,41	0,0040
1,00	16,34	0,41	0,0043
0,90	16,35	0,45	0,0053
0,80	14,59	0,46	0,0060
0,70	10,57	0,38	0,0058
0,60	10,93	0,46	0,0080

= 0,4283 [s/ΩF]

= 0,016223 [s/ΩF]

Dla R = 3 [MΩ]

C [μF]	t =20T [s]	K [s/ΩF]	ΔK [s/ΩF]
1,00	24,50	0,41	0,0043
0,90	24,38	0,45	0,0052
0,80	22,34	0,47	0,0060
0,70	16,41	0,39	0,0058
0,60	16,43	0,46	0,0079

= 0,436 [s/ΩF]

= 0,018435 [s/ΩF]

Dla R = 4 [MΩ]

C [μF]	t =20T [s]	K [s/ΩF]	ΔK [s/ΩF]
1,00	33,60	0,42	0,0043
0,90	33,65	0,47	0,0053
0,80	29,69	0,46	0,0060
0,70	22,34	0,40	0,0059
0,60	22,37	0,47	0,0080

= 0,444 [s/ΩF]

= 0,017223 [s/ΩF]

Dla R = 5 [MΩ]

C [μF]	t =20T [s]	K [s/ΩF]	ΔK [s/ΩF]
0,6	28,41	0,47	0,0081
0,5	23,53	0,47	0,0096
0,4	14,22	0,36	0,0091
0,3	14,13	0,47	0,0160
0,2	9,50	0,48	0,0243

= 0,45 [s/ΩF]

= 0,0271 [s/ΩF]

= 0,4387 [s/ΩF]

= 0,0045 [s/ΩF]

= 0,0072 [s/ΩF]

= 0,0007 [s/ΩF]

Mając wyznaczoną stałą K mierzymy czas t = 20 T [s] kolejno dla czterech nieznanych kondensatorów. Liczymy ich pojemność według wzoru:

Błąd
przy: Δt = 0,01 [s] ΔK = 0,0072 [s/ΩF]

Kondensator 1

R [MΩ]	t =20T [s]	C [μF]	ΔC [μF]
1	9,41	1,072	0,019
2	18,72	1,067	0,018
3	28,19	1,071	0,018
4	38,37	1,093	0,018
5	48,47	1,105	0,018

= 1,082 [μF]

= 0,09 [μF]

= 0,0182 [μF]

= 0,0005 [μF]

Wynik: C₁ = 1,082 ± 0,018 [μF]

Kondensator 2

R [MΩ]	t =20T [s]	C [μF]	ΔC [μF]
2	8,22	0,468	0,008
3	12,32	0,468	0,008
4	16,61	0,473	0,008
5	20,91	0,477	0,008

= 0,472 [μF]

= 0,003 [μF]

Nie stosujemy teorii błędów przypadkowych dla ΔC, gdyż otrzymaliśmy tą samą wartość ΔC

Wynik: C₂ = 0,472 ± 0,003 [μF]

Kondensator 3

R [MΩ]	t =20T [s]	C [μF]	ΔC [μF]
3	6,15	0,234	0,004
4	8,28	0,236	0,004
5	10,43	0,238	0,004

= 0,236 [μF]

= 0,004 [μF]

Nie stosujemy teorii błędów przypadkowych dla ΔC, gdyż otrzymaliśmy tą samą wartość ΔC

Wynik: C₁ = 0,236 ± 0,004 [μF]

Kondensator 4

R [MΩ]	t =20T [s]	C [μF]	ΔC [μF]
5	5,22	0,119	0,002

Nie stosujemy teorii błędów przypadkowych dla kondensatora 4, gdyż możliwy był tylko jeden pomiar.

Wynik: C₁ = 0,119 ± 0,002 [μF]

Porównanie

Kondensator	C (wyliczone) [μF]	C (odczytane) [μF]
1	1,082 ± 0,018	1,00
2	0,472 ± 0,003	0,47
3	0,236 ± 0,004	0,22
4	0,119 ± 0,002	0,10

Wnioski

Otrzymane wyniki nieznacznie się różnią od wartości odczytanych z kondensatorów. Różnica może być spowodowana tym, że czas t = 20 T mierzony był stoperem przez człowieka, więc nie jest uwzględniony błąd wynikający z „refleksu” obserwatora. Dodatkowo w kolejnych kondensatorach drgania relaksacyjne występowały z tak dużą częstotliwością, że część pomiarów była niemożliwa do wykonania, co spowodowało zmniejszenie ilości pomiarów, a więc i zwiększenie błędu przypadkowego.

---