Politechnika Śląska

Wydział: Mat. - Fiz.

Kierunek: Matematyka

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej.

Pomiar długości światła laserowego.

Sekcja II

Cholewa Katarzyna

Kokoszka Zuzanna

Wstęp

Dyfrakcja fal jest zespołem zjawisk związanych z odstępstwami od praw optyki geometrycznej podczas rozchodzenia się fal w ośrodkach niejednorodnych. Dyfrakcja to również pewne odstępstwo od praw optyki geometrycznej przy rozprzestrzenianiu się fal lokalnie płaskich w ośrodkach jednorodnych. Zjawisko dyfrakcji jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal, jednak możliwość obserwacji efektów dyfrakcyjnych maleje ze wzrostem częstotliwości. Ponieważ zjawisko dyfrakcji obserwujemy po przepuszczeniu fali przez szczelinę (szereg szczelin), zjawisko to jest powiązane z interferencją, czyli nakładaniem się fal. Zgodnie z zasadą Huyghensa każda przeszkoda na drodze fali staje się źródłem nowych fal kulistych.

Zjawiska dyfrakcyjne można podzielić na dwie grupy w zależności od odległości szczeliny od źródła i ekranu. Jeśli przynajmniej jedna z tych odległości jest skończona, to mamy do czynienia z dyfrakcją Fresnela. Dyfrakcja Fraunhofera zachodzi wówczas, gdy zarówno źródło, jak i ekran są w nieskończenie wielkich odległościach od szczeliny. W takim przypadku na szczelinę pada światło równoległe i na ekranie obserwuje się obraz dyfrakcyjny jedynie przy zastosowaniu soczewki skupiającej ustawionej w odległości ogniskowej od ekranu.

Siatkę dyfrakcyjną stanowi szereg szczelin umieszczonych w równych od siebie odległościach w nieprzezroczystym ekranie. W praktyce siatkę dyfrakcyjną otrzymuje się najczęściej przez porysowanie płaskorównoległej płytki szklanej za pomocą diamentu szeregiem równoległych kresek. Nieprzezroczyste rysy odgrywają rolę zasłon, a przestrzenie miedzy rysami to szczeliny. Jeśli na siatkę dyfrakcyjną prostopadle do jej powierzchni pada wiązka promieni równoległych, to - zgodnie z zasadą Huyghensa - każda szczelina staje się źródłem drgań i wysyła promienie we wszystkich kierunkach, a więc nie tylko w kierunku promieni padających. Promienie ugięte mogą nakładać się, czyli interferować ze sobą, gdyż są promieniami spójnymi; znaczy to, że różnice faz między nimi zależą tylko od różnic dróg geometrycznych, nie zależą zaś od czasu. Biorąc pod uwagę wiązki promieni ugiętych zauważyć można, że w pewnych kierunkach promienie te będą się wzmacniały, w innych zaś wygaszały

(częściowo lub zupełnie). Promienie będą się wzmacniać, jeśli różnice dróg sąsiednich promieni będą równe całkowitej wielokrotności długości światła padającego.

Warunek wzmocnienia promieni ugiętych w siatce dyfrakcyjnej ma postać:

gdzie:
- szerokość szczeliny

- odległość między dwiema sąsiednimi szczelinami

k - rząd prążka dyfrakcyjnego

- długość fali światła

- kąt pod którym uginają się promienie

Wielkość
= d nazywamy stałą siatki dyfrakcyjnej. Warunek na wzmocnienie zapisujemy wówczas:

Dla światła monochromatycznego uzyskuje się obraz dyfrakcyjny (interferencyjno - dyfrakcyjny) w postaci szeregu jasnych prążków rozłożonych symetrycznie po obu stronach prążka centralnego leżącego na przedłużeniu wiązki padającego światła. Stosując zaś światło niemonochromatyczne uzyskamy prążki barwne, nakładające się częściowo na siebie w miarę wzrostu rzędu k. Natężenie prążków zależy od kwadratu całkowitej liczby szczelin N

i rzędu prążka, i tak dla prążka centralnego mamy:

gdzie C - współczynnik proporcjonalności. Natężenia kolejnych prążków są coraz słabsze:

Siatki dyfrakcyjne stosuje się w spektrografach do pomiaru długości fal. Miarą jakości siatki jest tzw. zdolność rozszczepiająca nie zależna od stałej siatki, ale od całkowitej liczby szczelin.

Jak zostało wcześniej wspomniane, siatkę dyfrakcyjną o znanej stałej siatki wykorzystuje się w celu wyznaczenia długości fal światła. Długość fali świetlnej możemy obliczyć stosując następującą zależność:

gdzie: d - stała siatki dyfrakcyjnej

n - rząd kolejnego prążka

x_n - odległość n-tego prążka od prążka zerowego

l - odległość siatki od ekranu.

Warunkiem na powstanie obrazu interferencyjno - dyfrakcyjnego jest to, aby szerokość szczelin siatki była wielkością porównywalną z długością fal światła, które przez nią przechodzi.

W ćwiczeniu mającym na celu wyznaczenie długości fali światła laserowego wykorzystuje się laser gazowy He-Ne (helowo-neonowy). Laserem nazywamy kwantowy generator wykorzystujący zjawisko emisji wymuszonej, która ma miejsce przy przechodzeniu elektronu ze stanu energetycznego wyższego niż podstawowy do podstawowego (emisja spontaniczna) oraz przy przejściu elektronu na wyższy poziom energetyczny (pompowanie optyczne). Podczas tych przejść elektron emituje foton.

Laser gazowy zbudowany jest z rury kwarcowej wypełnionej gazem lub mieszaniną gazów pod obniżonym ciśnieniem i pary zwierciadeł płaskich o nierównomierności powierzchni porównywalnej z długością fali. Źródłem energii wzbudzenia atomów lub jonów może być generator wysokiej częstotliwości, generator mikrosekundowy, źródło prądu stałego lub generator ultradźwiękowy. W laserze helowo-neonowym pompowanie optyczne polega na wzbudzeniu atomów neonu w wyniku zderzeń z elektronami lub wymianie energii pomiędzy wzbudzonymi atomami helu i niewzbudzonymi atomami neonu. Wzbudzone atomy neonu w wyniku emisji wymuszonej przechodzą w niższe stany energetyczne.

Oprócz laserów gazowych (argonowe lub wypełnione dwutlenkiem węgla), stosuje się także lasery zbudowane na ciele stałym (impulsowe), oraz lasery półprzewodnikowe.

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Przebieg ćwiczenia

1. Sprawdzamy poprawność ustawienia kolimatora i lunety spektrometru.

2. Siatkę dyfrakcyjną ustawiamy na stoliku obrotowym spektrometru. Płaszczyzna siatki powinna być prostopadła do osi przyrządu.

3. Obracając lunetką z okularem (względem osi przyrządu) doprowadzamy do pokrycia się krzyża pomiarowego z kolejnymi prążkami dyfrakcyjnymi. Notujemy kąty ugięcia dla trzech rzędów (na lewo i prawo od prążka zerowego).

4. Pomiary powtarzamy pięciokrotnie.

5. Obliczamy wartości średnie kątów ugięcia dla poszczególnych rzędów:

gdzie n - rząd prążka dyfrakcyjnego.

6. Obliczamy stałą siatki dyfrakcyjnej:

gdzie:
= 589,3 nm - średnia wartość długości fali światła żółtego dubletu sodu .

7. Przeprowadzamy rachunek błędów.

Tabela pomiarowa

Δα = 10 [`] = 29,09⋅10^-4 [rad]

Lp.	n = 1		n = 2		n = 3
		α1l	α1p	α2l	α2p	α3l	α3p
1 2 3 4 5	187º 187º10` 187º 187º 187ş10`	173ş20` 173ş20` 173ş30` 173ş20` 173ş30`	193ş40` 193ş50` 193ş40` 193ş50` 193ş50`	166ş40` 166ş50` 166ş50` 166ş40` 166ş40`	201ş20` 201ş 201ş 201ş10` 201ş	159ş40` 159ş40` 159ş40` 159ş30` 159ş40`

Lp.	n = 1		n = 2		n = 3
		α1l · 10^-4 [rad]	α1p · 10^-4 [rad]	α2l · 10^-4 [rad]	α2p · 10^-4 [rad]	α3l · 10^-4 [rad]	α3p · 10^-4 [rad]
1 2 3 4 5	32638,98 32668,07 32638,98 32638,98 32668,07	30253,60 30253,60 30282,69 30253,60 30282,69	33802,58 33831,67 33802,58 33831,67 33831,67	29090,00 29119,09 29119,09 29090,00 29090,00	35140,72 35082,54 35082,54 35111,63 35082,54	27868,22 27868,22 27868,22 27839,13 27868,22

Wyznaczenie średnich wartości kątów ugięcia α_n dla poszczególnych rzędów:

Δα = 29,09⋅10^-4

Lp.	n = 1
	α1l · 10^-4 [rad]	α1p · 10^-4 [rad]	· 10^-4 [rad]
1 2 3 4 5	32638,98 32668,07 32638,98 32638,98 32668,07	30253,60 30253,60 30282,69 30253,60 30282,69	1192,69 1207,24 1178,15 1192,69 1192,69
Σ			5963,45

Średnia arytmetyczna z wartości kąta ugięcia dla poszczególnych pomiarów:

= 1192,69⋅10^-4 [rad]

Błąd równy jest max
, gdzie α_1i - wartości kątów ugięcia kolejnych pomiarów i wynosi:

Δα₁ = ±14,54⋅10^-4 [rad]

Stąd średnia wartość kąta ugięcia dla rzędu pierwszego wynosi:

α₁ = ( 1192,69 ± 14,54 ) ⋅10^-4 [rad]

Lp.	n = 2
	α2l · 10^-4 [rad]	α2p · 10^-4 [rad]	· 10^-4 [rad]
1 2 3 4 5	33802,58 33831,67 33802,58 33831,67 33831,67	29090,00 29119,09 29119,09 29090,00 29090,00	2356,29 2356,29 2341,76 2370,84 2370,84
Σ			11796,00

Średnia arytmetyczna z wartości kąta ugięcia dla poszczególnych pomiarów:

= 2359,20⋅10^-4 [rad]

Błąd równy jest max
, gdzie α_2i - wartości kątów ugięcia kolejnych pomiarów i wynosi:

Δα₂ = ±17,44⋅10^-4 [rad]

Stąd średnia wartość kąta ugięcia dla rzędu pierwszego wynosi:

α₂ = ( 2359,20 ± 17,44 ) ⋅10^-4 [rad]

Lp.	n = 3
	α3l · 10^-4 [rad]	α3p · 10^-4 [rad]	· 10^-4 [rad]
1 2 3 4 5	35140,72 35082,54 35082,54 35111,63 35082,54	27868,22 27868,22 27868,22 27839,13 27868,22	3636,25 3607,16 3607,16 3636,25 3607,16
Σ			18093,98

Średnia arytmetyczna z wartości kąta ugięcia dla poszczególnych pomiarów:

= 3618,80⋅10^-4 [rad]

Błąd równy jest max
, gdzie α_3i - wartości kątów ugięcia kolejnych pomiarów i wynosi:

Δα₃ = ±17,45⋅10^-4 [rad]

Stąd średnia wartość kąta ugięcia dla rzędu pierwszego wynosi:

α₃ = ( 3618,80 ± 17,45 ) ⋅10^-4 [rad]

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej d dla poszczególnych rzędów:

gdzie:
= 589,3 nm - średnia wartość długości fali światła

żółtego dubletu sodu

n - rząd paska dyfrakcyjnego

α_n - średnie wartości kątów ugięcia dla poszczególnych

rzędów (wyznaczone wcześniej)

1. Dla n =1; d₁ = 4952,66 [nm]

2. Dla n = 2; d₂ = 5042,40 [nm]

3. Dla n = 3; d₃ = 4996,22 [nm]

Błędy w wyznaczaniu stałej siatki dyfrakcyjnej dla poszczególnych pomiarów:

1. Dla n = 1; Δd₁ = ±60,12 [nm]

2. Dla n = 2; Δd₂ = ±36,59 [nm]

3. Dla n = 3; Δd₃ = ±23,39 [nm]

Stąd wartości stałej siatki dyfrakcyjnej dla kolejnych rzędów, po uwzględnieniu błędów wynoszą:

1. Dla n =1; d₁ = 4952,66 ±60,12 [nm]

2. Dla n = 2; d₂ = 5042,40±36,59 [nm]

3. Dla n = 3; d₃ = 4996,22±23,39 [nm]

Uśrednianie wyników dla poszczególnych rzędów metodą średniej ważonej:

n	dn	Δdn	wn	wn⋅ dn	wn⋅Δdn
1 2 3	4952,66 5042,40 4996,22	60,12 36,59 23,39	2,77 7,47 18,28	13708,97 37671,79 9134097	166,38 273,33 427,58
Σ			28,52	142721,73	867,29

gdzie:
- waga (
zostało przyjęte 10⁴)

- wartości stałej siatki dla poszczególnych rzędów

- błędy w wyznaczaniu stałej siatki dla poszczególnych rzędów

Średnia ważona wynosi: 5004,09 [nm] = 5,01 [μm]

Błąd maksymalny średniej ważonej wynosi: 30,41 = 0,03 [μm]

Stąd ostateczna wartość stałej siatki dyfrakcyjnej jest równa:

d = 5,01±0,03 [μm]

Wnioski

W przeprowadzonym ćwiczeniu wyznaczono stałą siatki dyfrakcyjnej mając daną długość fali padającego na nią światła. Jak wynika z obliczeń, stała siatki jest wielkością bardzo małą. Ponieważ jest to suma odległości między sąsiednimi szczelinami i szerokością szczeliny, możemy stąd wnioskować jak niewielka jest szczelina siatki. Będzie to wielkość porównywalna z długością fali światła padającego na siatkę. Na tej podstawie można wnioskować, że otrzymany wynik jest wielkością dosyć dokładną (warunek, aby zaszła dyfrakcja jest spełniony).

Pomiar długości fali światła laserowego:

Przebieg ćwiczenia

1. Siatkę dyfrakcyjną ustawiamy na stoliku, prostopadle do kierunku padania światła.

2. Notujemy położenia kolejnych jasnych prążków dla dwóch rzędów na lewo i prawo od prążka zerowego.

3. Obliczamy długość światła laserowego:

gdzie: d - stała siatki dyfrakcyjnej wyznaczona wcześniej

n - rząd prążka dyfrakcyjnego

x_n - położenie kolejnego prążka

l - odległość siatki od ekranu

4. Przeprowadzamy rachunek błędów.

Tabele pomiarowa i obliczeniowa.

Odległość siatki od ekranu l = 15 [cm]

n	xn [mm]			λ [nm]
		lewo	prawo		średnia
1 2	20 42	19 41	19,5 41,5	646 668

Odległość siatki od ekranu l = 20 [cm]

n	xn [mm]			λ [nm]
		lewo	prawo		średnia
1 2	28 58	27 57	27,5 57,5	683 692

Błędy w wyznaczaniu długości fali światła:

gdzie:Δx_n = ±1[mm]

Δl = ±1[mm]

Δd = ±1[mm]

(1) Dla odległości siatki od ekranu równej 15 [cm]

• 1-szy prążek; Δλ ₁ = ±12 [nm]

• 2-gi prążek; Δλ ₂ = ±17 [nm]

2. Dla odległości siatki od ekranu równej 20 [cm]

- 1-szy prążek; Δλ ₁ = ±17 [nm]

• 2-gi prążek; Δλ ₂ = ±18 [nm]

Uśrednianie wyników dla l = 15 [cm] (średnia ważona)

n	λi	Δλi	wi	wi⋅λi	wi⋅Δλi
1 2	646 668	12 17	24 23	15504 15364	288 391
Σ			47	30868	679

gdzie:
- waga (
zostało przyjęte 10⁷)

- wartości długości fali światła laserowego dla kolejnych rzędów

- błędy w wyznaczaniu długości fali światła laserowego dla

kolejnych rzędów

Średnia ważona wynosi: 657 [nm]

Błąd maksymalny średniej ważonej wynosi: 15 [nm]

Stąd długość fali światła laserowego dla l = 15 [cm] wynosi:

λ = 657±15 [nm]

Uśrednienie wyników dla l = 20 [cm] (średnia ważona)

n	λi	Δλi	wi	wi⋅λi	wi⋅Δλi
1 2	683 692	17 18	22 21	15026 14532	374 378
Σ			43	29558	752

gdzie:
- waga (
zostało przyjęte 10⁷)

- wartości długości fali światła laserowego dla kolejnych rzędów

- błędy w wyznaczaniu długości fali światła laserowego dla

kolejnych rzędów

Średnia ważona wynosi: 688 [nm]

Błąd maksymalny średniej ważonej wynosi: 18 [nm]

Stąd długość fali światła laserowego dla l = 20 [cm] wynosi:

λ = 688±18 [nm]

Uśrednienie wartości długości fali światła laserowego metodą średniej ważonej.

l [cm]	λi	Δλi	wi	wi⋅λi	wi⋅Δλi
15 20	657 688	15 18	23 21	15111 14448	345 378
Σ			44	29559	723

gdzie:
- waga (
zostało przyjęte 10⁷)

- wartości długości fali światła laserowego dla kolejnych odległości

siatki od ekranu

- błędy w wyznaczaniu długości fali światła laserowego dla

kolejnych odległości

Średnia ważona wynosi: 672 [nm]

Błąd maksymalny średniej ważonej wynosi: 16 [nm]

Ostateczna wartość długości fali światła laserowego wynosi:

λ = 672±16 [nm]

Wnioski

Metoda wyznaczania długości fal światła laserowego wykorzystana w ćwiczeniu jest metodą dość dokładną. Obliczona wartość długości fal światła jest zbliżona do wielkości tablicowych (dla neonu o barwie czerwonej długość ta wynosi

633 nm).

Metoda wykorzystana w ćwiczeniu jest obarczona błędem odczytu odległości kolejnych prążków fali ugiętej. Do pomiaru stosowany był przyrząd o dokładności 1mm, podczas gdy prążek miał średnicę rzędu kilku milimetrów.

14

---