I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1

1.Urzadzenie składa sie z 3 elementów. Kazdy z elementów moze miec

jedna z trzech jakosci. Opisac zbiór zdarzen elementarnych. Wypisac zdarzenia

elementarne sprzyjajace zdarzeniu:

a) A - wszystkie elementy sa takiej samej jakosci;

b) B - co najmniej dwa elementy sa takiej samej jakosci;

c) C' - kazdy element jest innej jakosci.

Czy zdarzenia A oraz C' sa przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C' sa rozłaczne?,

czy B oraz C' sa przeciwne?, czy zdarzenia A [ B oraz C sa równe?

2.Niech Ak, k = 1, 2, ..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urzadzeniu

zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisac zdarzenia:

a) podzespół pierwszy i drugi sa sprawne, pozostałe sa zepsute;

b) co najmniej jeden z podzespołów A1 lub A2 jest zepsuty, pozostałe sprawne

c) tylko jeden z A1 oraz A2 jest zepsuty, pozostałe sa sprawne.

d) dokładnie 2 podzespoły sa sprawne.

3.Niech A,B,C oznaczaja dowolne zdarzenia w . Wykazac,ze:

a) P(A [ B [ C) =

= P(A)+P(B)+P(C)-P(A\B)-P(A\C)-P(B \C)+P(A\B \C);

b) jesli A _ B to P(A0) _ P(B0);

c) dla C = A \ B0 [ A0 \ B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzen A,B)

zachodzi P(C) = P(A) + P(B) - 2P(A \ B).

4.Trzy kule rozmieszczamy losowo w 6 komórkach. Obliczyc prawdopodobienstwo

zdarzenia A- w kazdej komórce o numerze nieparzystym znajduje

sie jedna kula jesli:

a) kule sa rozróznialne;

b) kule sa nierozróznialne.

5.Rzucamy kostka szescienna dopóki pojawi sie 1 lub 6. Opisac zbiór zdarzen

elementarnych tego doswiadczenia. Obliczyc prawdopodobienstwo zdarzenia:

1 lub 6 pojawi sie po raz pierwszy na parzystym miejscu.

6.Wsród m losów; m _ 5 jest 5 wygrywajacych. Dla jakich m prawdopodobienstwo

zdarzenia: zakupione 2 losy beda wygrywajace jest mniejsze niz

0.5.

7.O prace w pewnej firmie ubiega sie n osób. Poproszono 3 specjalistów,

aby kazdy niezaleznie uszeregował je według przydatnosci do pracy. Do pracy

zostanie przyjeta osoba, która przynajmniej 2 specjalistów umiesci na

pierwszym miejscu. Obliczyc prawdopodobienstwo,ze jedna z n osób zostanie

przyjeta.

LISTA 2

1.W produkcji firmy A jest 1% braków, zas w produkcji firmy B jest ich

2%.Kupujemy produkt firmy A oraz B. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze:

a) przynajmniej jeden jest dobry;

b) obydwa sa dobre;

c) tylko jeden z nich jest dobry.

2.Dwie osoby umawiaja sie na spotkanie. Kazda z nich przychodzi w losowej

chwili miedzy godzina 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobienstwo,

ze sie spotkaja ? Ile czasu powinna czekac kazda z osób, aby

prawdopodobienstwo spotkania było wieksze niz 0.75 ?

3.Drut długosci 40 cm zgieto w losowo wybranym punkcie pod katem prostym,

a nastepnie zgieto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokatna

ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze pole obszaru

ograniczonego ramka jest wieksze niz 75 cm2 ?

4.Wsród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych

zas firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierajacej 500 elementów

firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.Obliczyc

prawdopodobienstwo, ze a) jest on dobry,

b) jest dobry i pochodzi z firmy B,

c) wyprodukowała go firma C, jesli wiemy,ze jest dobry.

5.Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gasza reaktor. W

tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca

10. W1 trafia w cel z prawdopodobienstwem 0.8, zas W2 z prawdopodobienstwem

0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze zrobiła to

W2 ?

6.Test na obecnosc pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny

z prawdopodobienstwem 0.98, jesli wirus jest w organizmie. Jesli wirusa

w organizmie nie ma to prawdopodobienstwo wyniku pozytywnego wynosi

0.07. Zakłada sie, ze 1 % populacji jest zarazona wirusem. Obliczyc prawdopodobienstwo,

ze:

a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji;

b) losowo wybrana osoba jest zarazona wirusem, jesli test dał wynik pozytywny.

7.Wiadomo,ze przecietnie 5 % badanych elementów ma wade. Do wykrycia

wady wykorzystuje sie nastepujacy test. Jesli element ma wade to test

w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie

wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze

element ma wade,jesli wynik testu jest pozytywny? Jakie bedzie powyzsze

prawdopodobienstwo, jesli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w

obu przypadkach wynik testu bedzie pozytywny?

zad.1 a) 09998; b) 0.9702; c) 0.0296

LISTA 3

1. Podac przykład (, P), i w niej dwóch zdarzen niezaleznych.

2. Wykazac,ze jesli zdarzenia A i B sa niezalezne to niezalezne sa A i B'.

3.Uzasadnic,ze jesli P(A|B) = P(A|B0) to zdarzenia A i B sa niezalezne.

4. Grupie studentów zadano pytanie: ”czy sciagaja na egzaminach?” i

poproszono o odpowiedz z wykorzystaniem metody losowej. Polega ona na

tym,ze kazdy student rzuca moneta :jesli wypadnie orzeł i student nie sciaga

to odpowiada :”NIE” w pozostałych przypadkach odpowiada :”TAK”. Przyjmujac,

ze 40% studentów sciaga,obliczyc prawdopodobienstwo,ze losowo wy-

brana osoba odpowie ”NIE”.Jak oszacowac procent studentów sciagajacych,

jesli w grupie było 20% odpowiedzi ”NIE”.

5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jesli wsród nich będą: 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jesli tylko jeden pik wygrywamy 10pkt,jesli zadnego przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartosc wygranej.Wyznaczyc rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuante X.

6. Sposród liczb 1,2,3,...,20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.

Obliczyc prawdopodobienstwo, ze wsród 4 wylosowanych liczb beda:

a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16;

b) 2 liczby podzielne przez 5;

c) zadnej liczby wiekszej niz 5.

Wkazdym przypadku wykorzystac rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.

7.Prawdopodobienstwo,ze w kazdej sekundzie pojawi sie sygnał wynosi 3/5

Obliczyc prawdopodobienstwo,ze;

a) w ciagu 2 minut pojawia sie 3 sygnały;

b) w ciagu 2 minut pojawia sie co najmniej 2 sygnały.

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawien sie sygnału w przeciagu

121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s?

8.Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów nalezy sprawdzic, aby

prawdopodobienstwo wykrycia co najmniej jednego braku było wieksze niz

0.9.

9.Sposród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednoczesnie 3 elementy.

Wyznaczyc rozkład prawdopodobienstwa oraz dystrybuante zmiennej

losowej X, gdzie X jest liczba wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu

dystrybuanty odczytac: P(X > 1), P(1 _ X < 4).

10.Rzucamy kostka tak długo, az pojawi sie szóstka. Niech zmienna losowa

X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi sie po raz pierwszy.

Wyznaczyc rozkład prawdopodobienstwa oraz dystrybuante X. Obliczyc

a) P( X _ 10); b) P(X _ 10).

11.Liczba samochodów, które ulegaja wypadkowi w ciagu jednego dnia

w danym miescie i wymagaja naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z

parametrem gamma = 10. Ile miejsc do naprawy nalezy przygotowac, aby z praw-

dopodobienstwem wiekszym niz 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego

samochodu.

12.Urzadzenie produkuje element wadliwy z prawdopodobienstwem p=0.02.

Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w partii 100 elementów sa co najwyzej 2

wadliwe ? Podaj rozwiazanie dokładne i przyblizone rozkładem Poissona.

LISTA 4

1*.Liczba komputerów, które moga byc zarazone wirusem poprzez pewna

siec ma rozkład Poissona z parametrem _. Prawdopodobienstwo,ze wirus

uaktywni sie w zarazonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobienstwo,

ze wirus uaktywni sie w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla

gamma= 8, p=0.125, m=10.

2.Czy mozna dobrac stałe a, b ; aby funkcja F(t) była dystrybuanta

zmiennej losowej ciagłej ?

a)

F(t) = 8><>:

a + 1 + et, gdy t _ -1,

e-1, gdy -1 _ t < 1,

b(3 - 2

t ), gdy t > 1.

b)

F(t) = a + barctgt.

3.Dla jakiej wartosci a funkcja

a) f(x) = ( a(2 - x), gdy -1 < x < 2

0, gdy x _ -1 lub x _ 2

b) f(x) = ae-|x|

jest gestoscia pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znalezc

dystrybunte zmiennej losowej X, naszkicowac wykresy gestosci oraz dystrybuante.

Obliczyc P(1 < X < 5), P(X < 0 [ X > 1).

4.Dzienne zuzycie energii (w setkach kWh) pewnej firmy jest zmienna

losowa X o gestosci:

f(x) = ( 1

9(3 + 2x - x2), gdy 0 < x < 3,

0, gdy x _ 0 lub x _ 3

Jakie jest prawdopodobienstwo, ze zuzycie energii w ciagu dnia jest: wieksze

niz 50 kWh; miedzy 100 a 200 kWh.

Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w ciagu 30 dni jest 10 dni, w których

zuzycie energii przekroczy 200 kWh.

5.Czas pracy diody jest zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym

z _ = 10-4. Wiadomo, ze dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie

jest prawdopodobienstwo, ze popracuje co najmniej 6000h ?

6.Prawdopodobienstwo wykrycia awarii urzadzenia w czasie krótszym niz

t minut wynosi F(t) = 1 - e-5t. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na wykrycie

awarii potrzeba: a) wiecej niz 4 min. b) wiecej niz 4,ale mniej niz 6

min. c) co najwyzej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobienstwem

wiekszym niz 0.5?

7.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyc, korzystajac

z tablic: P(-1 _ X _ 1), P(X > -2), P(-3 _ X _ -1),

P(X _ 5), P(X > -10), P(|X| > 2).

8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,_) obliczyc

P(|X - m| < _).

9.Czas oczekiwania na połaczenie telefoniczne w pewnej centrali dla kazdego

abonenta ma rozkład wykładniczy z _ =0.2 s. Z centrali korzysta jednoczesnie

i niezaleznie 100 abonentów. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze:

najkrótszy z czasów oczekiwania na połaczenie jest wiekszy niz 5s; najdłuzszy

mniejszy niz 10s.

10.Czasy pracy kazdej z n zarówek sa niezalezne i maja taki sam rozkład

wykładniczy z parametrem _ = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas

pracy układu złozonego z n zarówek połaczonych równolegle, zas zmienna

losowa Y czas pracy układu złozonego z n zarówek połaczonych szeregowo.

Wyznaczyc dystrybuante i gestosc X oraz Y.

---