LABORATORIUM FIZYCZNE GRUPA LAB. 10
Kolejny nr ćwiczenia: 6	Nazwisko i imię: Bartosz Gatz	Wydział: ETI
Symbol ćwiczenia: 9	Data odrobienia ćwiczenia: 1996.04.11	Semestr: drugi
Temat: Badanie podłużnych fal	Data oddania sprawozdania: 1996.04.18	Grupa st. I2
dźwiękowych w prętach	Podpis asystenta:	Ocena:

Fale dźwiękowe są falami mechanicznymi. Powstają one w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka sprężystego z normalnego położenia, będącego położeniem równowagi , co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia. Fale niosą energię. Można je podzielić między innymi na fale podłużne i poprzeczne. Fale dźwiękowe zaliczamy do fal podłużnych, to znaczy kierunek wychylenia ośrodka jest zgodny z kierunkiem rozprzestrzeniania się fali.

W doświadczeniu zajmujemy się falami rozchodzącymi się w prętach. Jeżeli rozważymy pewne odcinki pręta o polu powierzchni poprzecznego przekroju równym A, to mamy:

1 2 3

x-x x x+x

Rozpatrujemy odcinki pomiędzy środkami mas fragmentów pręta 1, 2 i 3. Długość tych odcinków wynosi zatem x. Jeżeli przez pręt biegnie fala podłużna, to wychyli przekrój A o bardzo małą odległość s_i. Wychylenie to zależy oczywiście od x oraz od czasu t. Tak więc:

Wychylenie dla naszych trzech punktów przyjmie zatem postać:

Z prawa Hooke'a wiemy, że:

gdzie E to moduł Younga.

Oznaczając dla pręta:

dostajemy:

Teraz l=(s₃+s₁-2s₂) rozwijając w szereg Taylor'a otrzymujemy:

W powyższym rozwinięciu pominięto kolejne pochodne, gdyż są one tak małe, że nie wpływają na dokładność obliczeń. W ten sposób otrzymujemy:

Z drugiej strony korzystając z równania Newtona można zapisać:

ale wiemy, że dm=ρ⋅dV, gdzie ρ to gęstość pręta, a dV to objętość. W ten sposób dostajemy:

W ten sposób porównać możemy równania:

Powyższe równanie nazywa się równaniem fali podłużnej. Należy zauważyć, że wymiar E/ρ to m²/s². Można więc zapisać:

V_f to prędkość rozchodzenia się fali podłużnej w materiale, z którego wykonany jest dany pręt.

W doświadczeniu tym badano drgania wymuszone. Wymuszając drgania jednego z końców pręta, powoduje się rozchodzenie się w pręcie fali o częstotliwości równej częstotliwości siły wymuszającej. Dla pewnej częstotliwości f₀ zaobserwować można gwałtowny wzrost amplitudy drugiego końca pręta. Następnie przy wzroście częstotliwości obserwuje się spadek wartości amplitudy, a następnie ponownie wzrost, tym razem niejednorodny. Spowodowane jest to tym, że dla pewnej częstotliwości f₀ powstaje fala stojąca o długości równej długości pręta. Nieregularny wzrost amplitudy przy wyższych częstotliwościach związany jest z powstaniem kolejnych podłużnych fal stojących - kiedy długość pręta jest równa odpowiednio trzem, pięciu, itd. długościom fali stojącej oraz fal poprzecznych.

Częstotliwość f₀ nazwać można pierwszą (inaczej - podstawową) częstotliwością rezonansową dla fal podłużnych w danym pręcie. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji fali wymuszonej i fali odbitej od końca pręta (mają one oczywiście tę samą częstotliwość). W ten sposób na końcach pręta powstają strzałki, a w środku węzeł (punkt mocowania jest tutaj nieruchomy).

Długość fali stojącej jest równa połowie długości fali bieżącej λ. Dla pierwszej częstotliwości rezonansowej wyniesie ona:

gdzie L to długość pręta

Długość fali jest jednak równa stosunkowi prędkości fali v do jej częstotliwości f:

Po podstawieniu do poprzedniego równania otrzymujemy:

Przez szerokość połówkową _1/2 rozumiemy szerokość maksimum rezonansowego dla częstotliwości f₀, zmierzona w połowie wysokości tego maksimum. Jest ona tym większa, im większa jest zdolność tłumienia fal dźwiękowych przez materiał pręta. Tłumienie to jest również odpowiedzialne za przesunięcie w fazie odkształcenia względem siły wymuszającej.

POMIARY i OBLICZENIA

Do pomiarów posłużono się urządzeniem przedstawionym na rysunku:

uchwyty s≈0,5 mm

s s

E₁ A B E₂

GENERATOR OSCYLOSKOP

MOCY

Pręt umocowano pomiędzy dwoma kolcami śrub uchwytu, w ten sposób, aby kolce trafiły na napunktowane miejsca pręta, zaś cały pręt był umieszczony symetrycznie względem cewek E₁ i E₂. Szczeliny pomiędzy nakładkami ferromagnetycznymi A i B i rdzeniami cewek E₁ i E₂ dobrano przy pomocy śrub przesuwających cewki wzdłuż ławy przyrządu. Ustawiono je na wartość około 0,5 mm. Generator mocy zasilał elektromagnes prądem o przebiegu sinusoidalnym. Elektromagnes oddziaływał na krążek A i w ten sposób w pręcie wymuszone zostały drgania. Na drugim końcu pręta, na skutek ruchu nakładki B, na cewce E₂ indukowana była siła elektromotoryczna, zależna wprost od amplitudy dźwięku. Napięcie to obserwowane było na oscyloskopie.

Częstotliwość, z jaką pracował generator mocy zmieniano w zakresie od 2 000 Hz do 20 000 Hz, aż do uzyskania częstotliwości f₀, przy której amplituda osiągała maksimum. W trakcie pomiarów wyznaczono dwie pierwsze amplitudy fali stojącej. Pierwsza z nich to oczywiście amplituda pierwotna. Otrzymane wartości częstotliwości dla każdego pręta wraz z jego długością (pręt + nakładki) oraz gęstością materiału, z którego został wykonany zawiera poniższa tabela:

pręt	długość [mm]	częstotliwość dla amplitudy nr 1 [Hz]	częstotliwość dla amplitudy nr 2 [Hz]	gęstość [kg/m^3]
stalowy	499	5058,4	15176	7880
miedziany	473	4026,6	12103	8810
mosiężny	559	2967,0	8902	8700

Na podstawie powyższych danych i podanych we wstępie teoretycznym wzorów można już wyznaczyć wartość prędkości V_f. Wyniki obliczeń zawiera poniższa tabela:

	rodzaj pręta
	stalowy	miedziany	mosiężny
prędkość Vf [m/s]	5048,28	3809,16	3317,11

Znając wartość prędkości można teraz obliczyć moduł Younga dla naszych prętów. Wyniki obliczeń zawarto w tabeli:

	rodzaj pręta
	stalowy	miedziany	mosiężny
moduł Younga [kg/m⋅s^2]	2.008 E11	1,278 E11	9,573 E10

W trakcie pomiarów zanotowano także zmianę amplitudy w zależności od częstotliwości. Odczytów dokonywano z ekranu oscyloskopu więc wartości amplitudy nie są opatrzone żadną specjalną wielkością. Oscyloskop wyświetlał wprawdzie wartość napięcia, ale tutaj zastosowano umowną wielkość - powiedzmy „jednostkę oscyloskopu”. Poniższe tabele zawierają dane pomiarowe.

pręt stalowy			pręt miedziany			pręt mosiężny
częstotliw. [Hz]	jednostka oscylosk.		częstotliw. [Hz]	jednostka oscylosk.		częstotliw. [Hz]	jednostka oscylosk.
2000	0,1		2000	0,1		2000	0,1
3000	0,1		3000	0,1		2800	0,1
4000	0,1		3500	0,1		2947	0,1
4900	0,1		4020	0,3		2962,6	0,3
5015	0,1		4026,6	2,5		2966,2	0,8
5048,7	0,2		4027,0	1,9		2966,9	2,6
5056,6	0,6		4027,5	1,2		2967	5,2
5057,8	1,4		4028	0,7		2967,4	2,4
5058,0	1,9		4030,1	0,3		2968,1	0,4
5058,4	4,8		4117	0,1		2972	0,1
5058,9	1,9		4500	0,1		3000	0,1
5059,4	1		5000	0,1		4000	0,1
5060,4	0,6		7000	0,1		8000	0,1
5064,1	0,3		9000	0,1		8800	0,1
5070	0,1		10500	0,1		8874	0,1
15060	0,1		12088	0,1		8898	0,2
15172	0,2		12098	0,3		8902	0,3
15176	0,6		12102	0,4		8906	0,2
15177	0,5		12103	0,45		8926	0,1
15178	0,3		12104	0,3		10000	0,1
15180	0,1		12110	0,15
16000	0,1		13000	0,15

Poniższe wykresy obrazują zmianę amplitudy drgań dla badanych prętów w zależności od częstotliwości f.

Pręt stalowy:

Pręt miedziany:

Pręt mosiężny:

Na powyższych wykresach nie jest jednak możliwa dokładna obserwacja narastania i opadania amplitudy rezonansowej. Poniższe wykresy skupiają się na wąskim zakresie częstotliwości:

Pręt stalowy:

Pręt miedziany:

Pręt mosiężny:

Podczas pomiarów dokonano też próby wyznaczenia szerokości połówkowej _1/2 dla amplitudy podstawowej. Oto uzyskane wyniki (pomiarów dokonano poprzez regulację częstotliwości f aż do otrzymania żądanej wartości amplitudy:

Wyznaczenie wartości szerokości połówkowej dla pręta mosiężnego było jednak w warunkach pomiarowych zbyt trudne do przeprowadzenia.

DYSKUSJA BŁĘDÓW

Zarówno błąd wyznaczenia prędkości V_f jak i modułu Younga E liczymy metodą pochodnej logarytmicznej. Po przekształceniach otrzymujemy następujące wzory:

gdzie: |Δf/f| to względny błąd pomiaru częstotliwości określony przez producenta na 3%

|Δl/l| to względny błąd pomiaru długości - 1 mm dla pręta stalowego; 5 mm dla dwóch pozostałych (ponieważ prędkość dźwięku
w nakładkach ferromagnetycznych jest inna niż w samym pręcie

|Δρ/ρ| to błąd względny określenia gęstości materiału pręta - przyjmuje się, że jest równy Δρ=±10 kg/m³.

Obliczenia dały następujące wyniki:

---