Liczba zespolona z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych
z=(x,y) x,y e R. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy C={(x,y): x,y e R}
Postać algebraiczna- każda liczbę zespolona z= (x,y) można jednocześnie
przedstawić w postaci algebraicznej tzn. z=x+yi, gdzie x,y e R, i-jednostka
urojona. Z postacia algebraiczna l.z wiążą się pojęcia:
niech x+yi będzie postacią algebraiczna l.z z wówczas:
-x nazywamy częścią rzecz. L.z z i oznaczamy x= Re z
-y nazywamy częścią urojona l.z i oznaczamy y= lm z
Postać trygonometryczna- każdą liczbę z=x+yi można przedstawić w postaci
trygonometrycznej. z=|z| (cos $ + isin $), gdzie |z| >= od 0, $=Arg z= (mała sigma).
Postać wykładnicza- dla liczb $ e R liczbę zespolona cos$+isin$ oznaczamy
przez e^i$ e ^i$=cos$+isin$
Twierdzenie: każdą liczbę zespolona z
można zapisać w postaci wykaldniczej: z= |z|e ^i$, $ e R, $=Arg z
Potęgowanie liczb zespolonych: Wzór Moivrea
niech z=|z|(cos$+isin$), y e R. wówczas zⁿ =|z|ⁿ (cosn$+isinn$), n e N
Pierwiastkowanie l.z - Def. Pierwiastkiem stopnia n e N z liczby zespolonej z
nazywamy każdą l.z W spełniająca nierówność Wⁿ = z(pierw z n-tego
stopnia=W W ⁿ=z). Zbiór pierwiastków z l.z. z oznaczamy przez pierwiastek z
z n-tego stopnia.
Twierdzenie: każda l.z. z= |z| (cos$=isin$) ma dokładnie n pierw. stopnia n.
Zbiór tych pierwiastków ma postać: pierwiastek z z n-tego stopnia={z0,z1,z2,…,Zn-1}
gdzie k pierw. ma postać: Zk= pierwiastek z |k| n-tego stopnia(cos $+2kPI/n +isin $+2kPI/n) gdzie k zamienia się na k=0,1,…,n-1 .
Macierz-to funkcja, która uporządkowanej przez parze l. naturalnych przyporządkowuje pewną liczbę(rzeczywistą lub zespoloną). Macierz A ma n wierszy i m kolumn.
Macierz kwadratowa - ma tyle samo wierszy ile kolumn.
Macierz trójkątna dolna- macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy powyżej głównej przekątnej są równe 0
Macierz zerowa- macierz, w której wszystkie elementy są równe 0.
Macierz jednostkowa- macierz diagonalna, w której elementy nie zerowe są równe 1
Działania na macierzach
- dodawanie macierzy A+B=C Cij=Aij = Bij. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne tzn. A+B=B+A i (A+B)+C= A+(B+C) ;
-mnożenie macierzy przez liczbę k*A=A*k; -mnożenie macierzy
- mnożenie macierzy A przez macierz B jest wykonalne, gdy liczba kolumn macierzy A jest taka sama jak liczba wierszy macierzy B A(n x k) B(k x n) A*B=C C(n x m) - schemat Falca
Twierdzenie Laplacea- dowolny wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. |A| = a_i1A_i1 + a_i2A_i2+…+a_inA_in
Tw. Cramera- układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest ono dane wzorem:
Vk=detAk/detA gdzie macierz Ak powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny
macierzy A kolumną wyrazów wolnych.
Układ Cramerski tzn taki, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie (detA rożne od 0) nazywamy układem oznaczonym.
Gdy wyznacznik macierzy A=0 det. A=0 i detAk=0 to układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań
- nazywamy go układem nieoznaczonym.
Gdy wyznacznik układu jest równy 0 detA = 0 i A1| do 2 + |A2| do 2 +…+ |An| do 2 > 0 to układ nie posiada rozwiązań. Nazywamy go układem sprzecznym.
Tw. Korneckiego- Capelliego - układ równań (*) jest rozwiązalny rz A = rz U.
Gdy rz A = rz U = m, to układ (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Gdy rz A = rz U < m , to układ (*) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od P = m -r parametrów.
Jeśli rz A = rz U to układ (*) jest sprzeczny.
ILOCZYN SKALARNY
Niech a i b będą dowolnym wektorem. Iloczynem
skalarnym wektorów a, b jest iloczynem dł. tych wektorów i
cosinusa kąta między nimi zawartego:
a o b = IaI IbIcos <(a,b)
Obliczanie iloczynu skalarnego:
a o b = a(x)b(x) +a(y)b(y) + a(z)b(z)
Wzór na cosinus kąta między wektorami:
cos <(a,b)= a b/ IaI IbI= a(x)b(x) +a(y)b(y) + a(z)b(z) / IaI IbI
Warunek prostopadłości wektorów:
a jest prostopadłe do b a b = 0 a(x)b(x) +a(y)b(y) + a(z)b(z)=0
Własności iloczynu skalarnego:
Niech wektory a,b,c będą dowolnymi wektorami w oraz niech alfa należy do R, wówczas:
1) a o b = b o a
2) (alfa a) o b = alfa(a b)
3) a o a= IaI^2
4)(a+b) c=a c+b c
5)Ia bI<= IaI Ib Ia bI= IaI IbI aIIb
ILOCZYN WEKTOROWY
Niech wektory a oraz b będą niezerowymi, nie współliniowymi wektorami. Iloczynem wektorowym oznaczamy (a x b) wektorów a i b wektor w o własnościach:
1) w T a i w T b
2) w = IaI IbIcos <(a,b)
3) orientacja trójki wektorów a ,b ,w jest zgodna z orientacją ukł.
współrzędnych I a(x) a(y) a(z) I
macierz I b(x) b(y) b(z) I > 0
I w(x) w(y) w(z) I
Niech wektory a i b będą niezerowym wektorem. Wówczas:
(a x b) = I a(x) a(y) a(z) I <-macierz
I b(x) b(y) b(z)I
Własnosci iloczynu wektorowego:
1) a x b = - (a x b)
2) (alfa a) x b = alfa(a x b) = a x (alfa b)
3) rozdzielność iloczynu; (a x b)c = (a x c) + (b x c)
4) a x (b x c) = (a x b) + (a x c)
5) Ia x bI <= IaI IbI
Ia x bI <= IaI x IbI a T b
6) a II b a x b = c
ILOCZYN MIESZANY
Niech wektory a, b, c będą dowolnymi wektorami.
Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów nazywamy
liczbę (a x b) o c
Na wektorach a, b, c budujemy równoległościan.
Jego objętość V= Pp h Pp= IaI IbIcos <(a,b) = (a x b)
h= IcIcos fi V= Pp h= Ia x bI IcI cos fi = (a x b) o c
Iloczyn mieszany to tyle samo co wartość bezwzględna objętości
równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b, c.
Własności iloczynu mieszanego:
1) (a x b) o c = (b x c) o a
2) (a x b) o c = (b x a) o c
3) ) (alfa a x b) o c = alfa(a x b) o c
4) I(a x b) o Ci <= IaI IbI IcI
równość zachodzi wtedy, gdy jeden z wektorów jest zerowy lub
gdy wszystkie wektory są wzajemnie prostopadle
5) wektory a, b, c leża w jednej płaszczyźnie (a x b) o c = 0 wektory
są komplanarne
WARUNEK PROSTOPADŁOŚCI WEKTORÓW:
[ABC] o [x-x(0), y- y(0), z- z (0)] = 0 otrzymujemy w ten sposób
równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez punkt
P( x(0), y(0), z(0) ) i prostopadłej do wektora N (A,B,C).
A( x-x(0))+ B(y- y(0))+C( z- z (0)) = 0
Dane mamy A,B,C oraz x(0), y(0), z(0)
A x-Ax(0)+ By- By(0)+C z- Cz (0) = 0
Podkreślone elementy dają stałą.
Jeśli oznaczymy: Ax(0)- By(0)- Cz (0) = D to z równania normalnego
płaszczyzny otrzymujemy równanie: Ax + By+Cz+ D = 0
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty- istnieje wzór
na równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 dane pkt P(x1,y1,z1) Q(x2,y2,z2)
R(x3,y3,z3) ma on postać wyznacznika x y z=1
x1 y1 z1=1
x2 y2 z2=1
x3 y3 z3=1
Równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez pkt P(x0,y0,z0) i prostopadłej
do wektora n [A,B,C] A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Równanie ogólne płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0
Równanie odcinkowe płaszczyzny x/a+y/b+z/c=1
Prosta w przestrzeni:
1)równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt
Po(xo,yo,zo) I równoległej do wektora u~=(a,b,c): x=xo+ta, y=yo+tb, z=zo+tc.
2)równanie kierunkowe (ogólne): x-xo/a=y-yo/b=z-zo/c=t.
3)równanie krawędziowe- krawędzi przecięcia dwóch płaszczyzn. π1=A1x+B1y+C1z+D1=0 ,
π2= A2x+B2y+C2z+D2=0 założenie, że nie są równoległe [A1B1C1]≠t[A2B2C2] to
postać krawędziowa prostej
l to: A1x+B1y+C1z+D1=0 I A2x+B2y+C2z+D2=0.
Wektor do niej równoległy jest równoległy do wektora [A1B1C1]x[A2B2C2].
Warunek prostopadłości płaszczyzn: π1⊥π2 ⇔ n1~⊥n2~ ⇔ n1°n2=0 ⇔
A1A2+B1B2+C1C2=0
Warunek równoległości płaszczyzn: π||π2 ⇔ n1~||n2~ ⇔ n1=t*n2~, tεR, t=0 ⇔
A1/A2=B1/B2=C1/C2=t
Podstawowe Twierdzenia dotyczące obliczania granic ciągu- Tw.1 jeżeli ciągi (an) oraz
(bn) maja granice właściwe tzn.lim n->niesk. An=a<niesk i lim przy
n-> niesk. Bn=b<niesk. a,b>-niesk, to lim przy n->niesk (an+/- bn) = a+/-b
Ciąg liczbowy: ciągiem liczbowym nazywamy funkcję an N→R. (an)- ciąg an,
an- wyraz ogólny ciągu, a1,a2- wyrazy ciągu. Ciąg może być skończony albo nieskończony.
Ograniczoność ciągu:
1)Mówimy, że ciąg an jest ograniczony z dołu, gdy istnieje taka
liczba rzeczywista m, że dla każdego wyrazu ciągu an≥m.
2)Mówimy, że ciąg an jest
ograniczony z gory, gdy istnieje taka liczba rzeczywista M, że dla każdego wyrazu
ciągu an≤M.
3)Mówimy, że ciąg jest ograniczony, gdy jest ograniczony z dolu i z gory, tzn
istnieje takie M,m, że dla każdego n an≤M I an≥m. przy odpowiednim doborze stałych. |an|<E.
Monotoniczność ciągu: ciąg (an) jest malejący, gdy a1≥a2≥a3.. tzn an≥an+1 dla nεN,
czyli an+1 - an ≤0 (nierówność nieostra), ciąg (an) jest ściśle malejący: an+1 -an<0.
Ciąg (an) jest rosnący, gdy an+1≥an dla wszystkich nεN, czyli
an+1 - an ≥0, ściśle rosnący dla an+1 - an >0
Twierdzenie o trzech ciagach- jeżeli ciagi (an), (bn), (cn) spełniają warunki:
1)an=<bn=<cn dla każdego n>=no e N 2) granica ciagu an=lim n->niesk.
Cn =g, to lim przy n->niesk. bn=g.
Twierdzenie o dwóch ciągach- jeżeli ciągi (an),(bn) spełniają warunki:
1) wyrazy ciągu an=<bn dla każdego n>=n0 e N 2) ciag lim an=niesk.,to
lim przy n->niesk. bn = niesk.
Asymptota pionowa: Mówimy, że prosta x=c jest asymptotą pionową
lewostronną funkcji f(x) gdy: lim f(x) przy x→c- = ±∞. Asymptota pionowa
prawostronna: lim f(x) przy x→c+ =±∞. Prosta x=c jest asymptotą pionową
obustronną, gdy jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną I prawostronną.
Asymptota ukośna: Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji f(x):
a) w +∞ gdy: lim przy x→∞ [f(x) - (ax +b)]=0, b) w -∞ gdy: lim przy
x→-∞ [f(x) - (ax+b)]=0.
Gdy współczynnik a jest równy zeru to asymptotę
ukośną nazywamy asymptotą poziomą. Asymptota ukośna może przecinać wykres
funkcji nieskończenie wiele razy. Twierdzenie: Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną
funkcji f(x) w +∞ ⇔ 1. a= lim f(x)/x I b=lim [f(x) - ax] przy x→∞. Prosta y=ax+b jest
asymptotą ukośną funkcji f(x), gdy jest asymptotą ukośną jednocześnie w +∞ i -∞.
Pochodna- Definicja 1 Niech f : D ¡! IR i niech x0 nale»y do D wraz z pewnym otoczeniem.
Pochodną funkcji f w punkcie x0, którą oznaczamy f0(x0), nazywamy.
Granicą f0(x0) = limh!0f(x0 + h) ¡ f(x0)h; o ile ta granica istnieje.
Pochodna funkcji: jeżeli iloraz różniczkowy ma granicę gdy Δx→0 to tę granicę
nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie xo i oznaczamy f'(xo). f'(xo)= lim
przy Δx→0 f(xo+Δx)-f(xo)/ Δx.
Twierdzenia dotyczące obliczania pochodnej funkcji:
1) Niech funkcje f i g mają
pochodne w tym samym punkcie. Wówczas: A) [f(x) ± g(x)]'= f'(x) ± g'(x). B)
[f(x) * g(x)]'= f'(x) * g(x) + f(x) *g'(x). C)[f(x)/g(x)]'= f'(x)*g(x) + f(x) * g'(x)/g^2(x)
przy g≠0. D) [C*f(x)]'=C*f'(x). Pochodna ze stałej jest równa zero!
2)Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej: Niech funkcja u=g(x) ma pochodną w
punkcie x I niech funkcja y=f(u) ma pochodną w punkcie u=g(x). Wówczas funkcja
złożona y=f(g(x)) ma pochodną wyrażoną wzorem: [f(g(x))]'=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))*g'(x)
Rozniczka funkcji-rozniczka funkcji (df,Dy) y=f(x) nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez
dowolny przyrost zmiennej niezależnej dy=f'(x)*dx przekształcenie dy/dx=f'(x). Różniczkę funkcji
można stosować do obliczeń przybliżonych, Jeżeli funkcja ma w punkcie x0 pochodna to wartość
w punkcie f(x0+delta x)+f'(x0)*delta x. Wzór f(x0+deltax)-f(x0)/delta x= w przybliżeniu f(x0) .
Funkcja rozniczkowalna-funkcja posiadająca pochodna w każdym punkcie pewnego przedziału
nazywamy różniczkowalną w tym przedziale.
Twierdzenie Lagrange'a-jeżeli: 1) f e C[a,b] funkcja f(x) jest ciagla w przedziale(a,b)
2) f e C do 1 (a,b), l lna(a,b) to istnieje punkt C należący do wnętrza przedziałów(a,b)(C e(a,b))taki,
ze f'(c) =f(b)-f(a)/b-a Wnioski: 1) jeżeli f'(x) =0 dla x e [a,b] to f(x)=const.
2) f'(x)>0 dla x e [a,b], to f(x) jest rosnąca w tym przedziale, natomiast gdy f'(x) <0 dla x e [a,b],
to f(x) jest w tym przedziale malejaca.
Twierdzenie Rollea- jeżeli 1) f(x) e C [a,b] 2) f(x) e C'(a,b) 3) f(a)=f(b) to istnieje pkt.
C e (a,b), taki ze f'(c)=0
Twierdzenie Couchy'ego- jeżeli 1) f,g e C[a,b] 2)f,g e C'' (a,b)
SA różniczkowalne 3)g'(x) jest różne od 0 dla (a,b) to istnieje pkt. c e (a,b) taki ze
f'(c)/g'(c)=f'(b) - f9a)/ g'9b0 - g(a)
Twierdzenie de L'Hospitala- Jeżeli 1) lim przy x->x0
f(x)=+/- nieskończoność 2)lim x->x 0 g(x)=+/ niesk. 3)istnieje granica ilorazu
lim x->x0 f'(x)/g'(x) to istnieje również lim przy x->x0 f(x)/g(x) i lim przy x->x0 f(x)/g(x) = lim
przy x->x0 f'(x)/g'(x) Uwaga nr 1. Twierdzenie to jest prawdziwe również,
gdy lim przy x->x0 f(x)=lim przy x->x0 g(x)=0 Uwaga nr.2 granice występujące w twierdzeniu
mogą być jednostronne oraz x0= +/- niesk.
Warunek konieczny istnienia ekstremum - jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w pkt. Xo,
to pochodna tej funkcji P'(Xo)=0 (o ile istnieje) funkcja f(x) ma ex trema tylko w tych pkt.
W których pochodna =0 lub nie istnieje.
Warunek dostateczny istnienia ekstremum- jeżeli pochodna f'(x) zmienia znak
w pkt. Xo, to fukcja f'(x) ma w tym pkt ekstremum. 1. Jeżeli f'(x) <0 dla XE (Xo-delta,Xo) i
f'(x) >0 dla X E (Xo, Xo +delta) to funkcja f(x) ma w pkt Xo extrmum. 2. Jeżeli f'(x) >0 dla
XE(Xo-delta, Xo) i f'(x)<0 dla x E (Xo, Xo- delta) to funkcja f(x) ma w pkt Xo maksimum.
Warunek konieczny istnienia pkt. przegięcia- jeżeli f(x) ma pkt. przegięcia w pkt Xo,
to druga pochodna w pkt. Xo= 0, f''(x)=0
Warunek dostateczny istnienia pkt. przegięcia- jeżeli pochodna f''(x) zmienia znak
w pkt. Xo, to pkt, Xo jest pkt. Przegięcia funkcji

---