1. Wprowadzenie teoretyczne

Wahadłem torsyjnym nazywamy umocowaną na osi bryłę, która skręcona do położenia równowagi, porusza się ruchem wahadłowym, harmonicznym pod wpływem siły sprężystości.

Wahadło torsyjne składa się z czterech ramion, na których znajdują się ciężarki oraz metalowego pręta na którym wisi cała konstrukcja. W wahadle torsyjnym ruch spowodowany jest siłą skręcającą. Aby dokonać pomiaru długości okresu takiego wahadła należy wprawić wahadło w ruch skręcając pręt, a następnie zmierzyć około dwudziestu okresów (czyli czterdziestu przejść wahadła przez maksymalne wychylenia).

Można wykazać podobieństwo między ruchem wahadła fizycznego, a wahadła torsyjnego. W jednym i drugim wahadle o okresie drgań T decyduje moment bezwładności bryły B oraz siła kierująca, którą w wahadle torsyjnym jest siła sprężystości. Aby znaleźć wzór na okres drgań wahadła torsyjnego przeprowadzamy następujące rozumowanie. Punktem wyjścia niech będzie wzór na okres drgań wahadła fizycznego:

gdzie l - jest odległością od osi obrotu do środka ciężkości, znak minus oznacza, że moment ten wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do kierunku w którym mierzymy kąt α. Korzystając z rozwinięcia funkcji sinus dla małych kątów na szereg Taylora, ...53sin53−+−=αααα, (kąt α wyrażamy tu w mierze łukowej) i urywając rozwinięcie na pierwszym wyrazie szeregu, otrzymujemy równanie:

Wielkość D = mgd nazywamy momentem kierującym. Jest to maksymalna wartość, jaką może przyjąć moment siły usiłujący przywrócić ciało do położenia równowagi.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ma postać:

gdzie
jest przyśpieszeniem kątowym ciała, zaś wielkość I jest momentem bezwładności ciała względem zadanej osi obrotu.

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań dla wahadła skrętnego

Wahadło torsyjne Ruch harmoniczny

Ruch obrotowy to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

Punkt materialny (masa punktowa) to ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające tak małe rozmiary, że w opisie matematycznym zjawiska dane ciało można potraktować jak punkt geometryczny. W zależności od problemu, jako punkt materialny można traktować:

• elektron krążący po orbicie wokół jądra.

• kamień rzucony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi - jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z odległością jaką przebędzie i dokładnością pomiarów.

• Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca - jej wymiary są nieistotne w porównaniu z promieniem orbity.

Redukcja ciała do punktu materialnego ma istotne znaczenie dla prostoty opisu ruchu danego ciała. Masa punktowa w fizyce to idealizacja ciała lub układu ciał, w której wymiary układu można pominąć w porównaniu z odległościami, które pokonuje. Wtedy można przyjąć, że cała masa układu jest skupiona w środku masy układu. W przypadku jednorodnego ciała kulistego, jeżeli nie obraca się ono, masa punktowa jest nie tylko idealizacją, ponieważ takie ciało zachowuje się tak jak masa punktowa.

Prawa ruchu punktu materialnego mającego masę równą masie ciała sztywnego są identyczne z ruchem jednego punktu związanego z ciałem. Punkt ten nazywany jest środkiem masy. Masa punktowa ma nieskończoną gęstość.

Moment M siły działającej na ciało to wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły i promienia. Wektor momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor siły i wektor r, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. Zgodnie z tą regułą, jeśli będziemy obracali po najkrótszej drodze pierwszy wektor (tu: r) tak, aby pokrył się z drugim (tu: F), to obracana w tym samym kierunku śruba prawoskrętna będzie przesuwać się (będzie wkręcana lub wykręcana) w kierunku określającym zwrot wektora M

 Prędkość kątowa

Podczas ruchu po okręgu wraz z przebywaną drogą ∆L, zmienia się kąt pod jakim obserwowany jest poruszający się obiekt  ∆α, dlatego celowe jest wprowadzenie wielkości charakteryzującej szybkość zmiany kąta. Wielkością tego rodzaju jest tzw. prędkość kątowa. Oznaczamy ją ω (mała grecka litera omega).

ω - prędkość kątowa (układzie SI w rad/s, lub 1/s = 1 s^-1)
∆α - kąt zakreślony przez promień wodzący (w radianach)
∆t - czas w jakim odbywa się ruch, lub jego fragment (w układzie SI sekundach s).

Prędkość kątowa jest równa kątowi zakreślonemu podczas ruchu podzielonemu przez czas.

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

Ruch obrotowy Ziemi powoduje powstanie siły odśrodkowej, która zmniejsza ciężar każdego ciała znajdującego się na Ziemi. Siła odśrodkowa jest prostopadła do osi ziemskiej, a więc jej kierunek względem pionu zależy od szerokości geograficznej. Zmniejszenie ciężaru ciał jest największe na równiku w miarę zaś zbliżania się do bieguna maleje do 0. Wartość g zmienia się w skutek działania tych czynników od wartości ok. 9,78
na równiku do wartości ok. 9,83
na biegunie.

---