brachi-2, Nauka, Matematyka Stosowana


Na wykładzie 2010-03-04 stwierdziliśmy, że brachistochroną jest łuk cykloidy. Niżej wyznaczamy czas staczania się kulki po tym łuku. Ponadto stwierdzamy, że łuk ten jest tautochroną.

Czas staczania się punktu po łuku cykloidy

Rozważamy łuk cykloidy

 x(ϕ) = R⋅{ ϕ + sin(ϕ) },

 y(ϕ) = R⋅{ 1 - cos(ϕ) },

-π ≤ ϕ ≤ 0.

Przez M(ϕ) oznaczmy dowolny punkt leżący na tym łuku wyznaczony przez wartość parametru ϕ. Górnym końcem tego łuku jest punkt A = M(-π) = (-πR, 2R), zaś dolnym jest punkt B = M(-π) = (0, 0).

Czas, w jakim stacza się kulka z punktu A do punktu B, określony jest - jak już wiemy - wzorem

T = 0x01 graphic
.

Na mocy wcześniej uzyskanych zależności mamy

α -  y = 2R - R⋅{ 1 - cos(ϕ) } = R⋅{ 1 + cos(ϕ) }, 

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

dx = dR⋅{ ϕ + sin(ϕ) } ) = R⋅{ 1 + cos(ϕ) } dϕ,

x(-π) = R⋅{-π + sin(-π)} = -π⋅R,

x( 0 ) = R⋅{  0  + sin(0) } = 0

i dlatego

T = 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

W ten sposób pokazaliśmy, że czas T, w jakim kulka stacza się jedynie pod wpływem grawitacji z punktu M(ϕ = -π) do M(ϕ = 0) po łuku cykloidy, jest równy 0x01 graphic
 .

Tautochroniczność łuku cykloidy

Nadal rozważamy ten sam łuk cykloidy, co powyżej, a więc łuk, którego każdy punkt

M(ϕ) = ( x(ϕ) = R⋅{ ϕ + sin(ϕ) },  y(ϕ) = R⋅{ 1 - cos(ϕ) } ), -π ≤ ϕ ≤ 0.

Pokażemy, że łuk ten jest tautochroną.

W tym celu weźmy dowolną wartość ϕ0 ∈ (-π, 0), a więc punkt M0) = (x0y0) leżący na tym łuku miedzy jego początkiem M(-π) a końcem M(0) = (0, 0). Czas, w jakim kulka stacza się do punktu końcowego M(0) z punktu M0) oznaczamy przez T0. Tak więc

T0 = 0x01 graphic

i dlatego, analogicznie jak powyżej,

T0 = 0x01 graphic
=

= 0x01 graphic
.

Aby zwiększyć czytelność dalszych zapisów wprowadzamy wielkości

β := 0x01 graphic
, β0 := 0x01 graphic
.

Teraz wyrażenie pierwiastkowane jest równe

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
=

0x01 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

zatem całka nieoznaczona

Q(ϕ) := 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Podstawiając u = 0x01 graphic

mamy du = 0x01 graphic

i dlatego

Q = 0x01 graphic
= 2⋅arc sin(u) + C,

gdzie, jak zawsze, C jest stałą całkowania.

Ponieważ dla ϕ = 0 jest β = 0 i, dalej, u = 0

oraz dla ϕ = ϕ0 jest β = β0, a więc u = 1,

zatem

Q(ϕ) - Q0) = 2⋅arc sin(1) - 2⋅arc sin(0) = π.

Korzystając z tego wyniku mamy ostatecznie

T0 = 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Wynik ten pokazuje, że czas T0 nie zależy od wartości ϕ0, tzn. nie zależy od tego, z którego punktu wiadomego łuku cykloidy zaczyna się staczać kulka. Czas ten jest zawsze taki sam. Tym samym łuk cykloidy jest tautochroną.

brachi-2.doc 1/3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wiel ortog-wstep, Nauka, Matematyka Stosowana
(eBook PL,matura, kompedium, nauka ) Matematyka liczby i zbiory maturalne kompedium fragmid 1287
Zagadnienia obowiązujące do egz z logiki, Nauka, Matematyka
zestaw9, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
matematyka stosowana wyk
zestaw10, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Zadania INiG 2010-11, studia calosc, studia całość, 3 semestr, inig, Matematyka stosowana, Matematyk
TEST3(BONUS), ☆☆♠ Nauka dla Wszystkich Prawdziwych ∑ ξ ζ ω ∏ √¼½¾haslo nauka, Matematyka statystyka
Zestaw VI, semestr3, Matematyka stosowana
Kombinatoryka - Zadania, Nauka, Matematyka, Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo
Zestaw III, Matematyka stosowana
W1 NAUKA TEORETYCZNA I STOSOWANA
zagadnienia do egzaminu z algebry, Matematyka stosowana, Algebra, zagadnienia do egzaminu z algebry
Ćwiczenia IV (relacje porządkujące), Matematyka stosowana, Logika
Zakres materialu obowiazujacego do egzaminu ze Wstepu do Matematyki, Matematyka stosowana, Logika
pytania matematyka egzamin, Nauka, Matematyka
Zestaw VII, Matematyka stosowana
vocab Nauka - matematyka, batuta
Wyk+é¦ůd ze Szl¦ůzak, studia calosc, studia całość, 3 semestr, inig, Matematyka stosowana, Matematyk

więcej podobnych podstron