Na wykładzie 2010-03-04 stwierdziliśmy, że brachistochroną jest łuk cykloidy. Niżej wyznaczamy czas staczania się kulki po tym łuku. Ponadto stwierdzamy, że łuk ten jest tautochroną.

Czas staczania się punktu po łuku cykloidy

Rozważamy łuk cykloidy

 x(ϕ) = R⋅{ ϕ + sin(ϕ) },

 y(ϕ) = R⋅{ 1 - cos(ϕ) },

-π ≤ ϕ ≤ 0.

Przez M(ϕ) oznaczmy dowolny punkt leżący na tym łuku wyznaczony przez wartość parametru ϕ. Górnym końcem tego łuku jest punkt A = M(-π) = (-πR, 2R), zaś dolnym jest punkt B = M(-π) = (0, 0).

Czas, w jakim stacza się kulka z punktu A do punktu B, określony jest - jak już wiemy - wzorem

T = 
.

Na mocy wcześniej uzyskanych zależności mamy

α -  y = 2R - R⋅{ 1 - cos(ϕ) } = R⋅{ 1 + cos(ϕ) }, 

=
=
=
,

dx = d( R⋅{ ϕ + sin(ϕ) } ) = R⋅{ 1 + cos(ϕ) } dϕ,

x(-π) = R⋅{-π + sin(-π)} = -π⋅R,

x( 0 ) = R⋅{  0  + sin(0) } = 0

i dlatego

T = 
=
=
.

W ten sposób pokazaliśmy, że czas T, w jakim kulka stacza się jedynie pod wpływem grawitacji z punktu M(ϕ = -π) do M(ϕ = 0) po łuku cykloidy, jest równy
 .

Tautochroniczność łuku cykloidy

Nadal rozważamy ten sam łuk cykloidy, co powyżej, a więc łuk, którego każdy punkt

M(ϕ) = ( x(ϕ) = R⋅{ ϕ + sin(ϕ) },  y(ϕ) = R⋅{ 1 - cos(ϕ) } ), -π ≤ ϕ ≤ 0.

Pokażemy, że łuk ten jest tautochroną.

W tym celu weźmy dowolną wartość ϕ₀ ∈ (-π, 0), a więc punkt M(ϕ₀) = (x₀, y₀) leżący na tym łuku miedzy jego początkiem M(-π) a końcem M(0) = (0, 0). Czas, w jakim kulka stacza się do punktu końcowego M(0) z punktu M(ϕ₀) oznaczamy przez T₀. Tak więc

T₀ = 

i dlatego, analogicznie jak powyżej,

T₀ = 
=

=
.

Aby zwiększyć czytelność dalszych zapisów wprowadzamy wielkości

β := 
, β₀ := 
.

Teraz wyrażenie pierwiastkowane jest równe

=
=
=

= 
=
=
,

zatem całka nieoznaczona

Q(ϕ) := 
=
.

Podstawiając u = 

mamy du = 

i dlatego

Q = 
= 2⋅arc sin(u) + C,

gdzie, jak zawsze, C jest stałą całkowania.

Ponieważ dla ϕ = 0 jest β = 0 i, dalej, u = 0

oraz dla ϕ = ϕ₀ jest β = β₀, a więc u = 1,

zatem

Q(ϕ) - Q(ϕ₀) = 2⋅arc sin(1) - 2⋅arc sin(0) = π.

Korzystając z tego wyniku mamy ostatecznie

T₀ = 
=
.

Wynik ten pokazuje, że czas T₀ nie zależy od wartości ϕ₀, tzn. nie zależy od tego, z którego punktu wiadomego łuku cykloidy zaczyna się staczać kulka. Czas ten jest zawsze taki sam. Tym samym łuk cykloidy jest tautochroną.

brachi-2.doc 1/3

---