Wielomiany ortogonalne

Układ funkcji
(n = 0, 1, 2, ...) nazywamy układem ortogonalnym o wadze p(x) w przedziale (a, b) jeżeli

(1)

gdzie p(x) jest pewną ustaloną, nieujemną funkcją niezależną od wskaźników m i n.

Ważną klasę układów ortogonalnych funkcji stanowią wielomiany ortogonalne  _n(x) = W_n(x), gdzie n jest stopniem wielomianu.

Wielomiany ortogonalne o największym znaczeniu praktycznym to:

• wielomiany Legendre'a P_n(x)

• wielomiany Hermite'a H_n(x)

• wielomiany Laguerre'a
  

• wielomiany Czebyszewa (pierwszego rodzaju) T_n(x)

Zastosowania: interpolacje i aproksymacje funkcji, rozwijanie funkcji w szeregi, całkowanie numeryczne, rozwiązywanie równań różniczkowych.

Wielomiany ortogonalne mogą być określone jako współczynniki rozwinięcia w szereg potęgowy, według potęg t, pewnej odpowiednio wybranej funkcji w(x, t), którą nazywa się funkcją tworzącą.

Np. funkcją tworzącą dla wielomianów Legendre'a jest

(1)

Przy
funkcja (1) ma następujące rozwinięcie w szereg

(2)

dla
, gdzie P_n(x), dla n = 0, 1, 2, ..., są wielomianami ortogonalnymi Legendre'a.

Korzystając z rozwinięcia (2) można wyprowadzić wzory rekurencyjne dla wielomianów Legendre'a.

wiel_ortog-wstep

2006-12-19 13:10:00