ANALIZA KORELACJI - ewentualne zadania na egzamin

Zadanie 1. Na podstawie 27-elementowej próby (N=27) gospodarstw domowych zbadano zależność między wydatkami na pewien artykuł (Y) a liczbą domowników (X). Otrzymano następującą funkcję regresji y^ = 10,5 − 0,7 x. Równocześnie wiadomo, że odchylenie standardowe składnika resztowego Sy = 0,7 a odchylenie standardowe zmiennej X wynosi 1,3 (σ_x). Określ kierunek i siłę badanego związku.

Ze wzoru na parametr b_y (który wynosi -0,7) oraz na S_y otrzymujemy układ równań z którego znajdziemy r_xy

Zadanie 2. Badanie zależności między liczbą braków (Y - w szt.) przy produkcji pewnego detalu a stażem pracy (X) 15 pracowników dało następujące rezultaty:

• średni staż wynosił 10 lat (Xśr)

• liczba braków w 30% zależy od innych czynników poza stażem pracy (φ²=30%)

• gdy staż pracy wzrośnie o 1 rok to liczba braków maleje średnio o 3 sztuki (b_y = -3)

• teoretycznie biorąc, przy liczbie braków równej 0 sztuk, staż pracy wynosi 13 lat (a_x=13)

Określ kierunek i siłę tego związku i ustal przy jakim stażu liczba braków wyniesie 20 sztuk.

Najpierw liczymy współczynnik determinacji d a z niego r_xy

Potem mając r_xy i b_y obliczymy b_x

Następnie ze wzory na a_x szukamy Yśr i na koniec liczymy b_x

Na koniec mając daną funkcję regresji y^=a_y+b_yx szukamy przy jakim x y^=20

Zadanie 3. W pewnym porcie dla 10 lat zebrano informacje o wysokości przeładunku (X - w mln ton) i jego kosztach (Y - w tys. zł). Okazało się, że:

• przeciętna wielkość przeładunku wynosiła 1,1 mln ton, a odchylenie standardowe 0,4 mln ton (Xśr=1,1 σ_x=0,4)

• łączne koszty przeładunku wynosiły 400 tys. zł (Σy=400)

• koszty przeładunku w 70% zależą od wysokości przeładunku, przy czym wiadomo, że im większy przeładunek tym większe koszty (d=70%)

• odchylenie standardowe składnika resztowego dla funkcji opisującej wpływ wysokości przeładunku na jego koszty jest równe 1,2 tys. zł (Sy=1,2)

Określ kierunek i siłę tego związku i ustal przy jakim przeładunku koszty wyniosą 60 tys. zł.

Ze współczynnika determinacji d wyznaczamy r_xy

Dzieląc sumę Y przez N=10 otrzymujemy Yśr

Ze wzoru na Sy obliczamy σ_y

Potem wyznaczamy funkcję regresji i sprawdzamy dla jakiego x y^=60

Zadanie 4. Badanie zależności między dochodami 100 gospodarstw rolnych (Y) a ich powierzchnią (X) dało następujące wyniki:

• związek między tymi zmiennymi opisuje funkcja regresji y^ = -24 + 43 x

• rozkład powierzchni jest symetryczny a najwięcej gospodarstw miało powierzchnię 11,1 ha (czyli Mo=11,1 i jednocześnie Xśr=11,1 i Me=11,1)

• 99,7% gospodarstw miało powierzchnię od 5,55 do 16,65 ha (jest to reguła 3-sigm czyli Xśr−3σ_x=5,55 a Xśr+3σ_x=16,65 - z tego obliczamy σ_x)

• zróżnicowanie dochodów wynosiło 102 tys. zł (czyli σ_y)

Określ kierunek i siłę zależności oraz oszacuj dochody gospodarstwa 20-hektarowego.

Korzystamy ze wzoru na b_y w którym występuje r_xy a potem stawiamy prognozę