Paradoks Epimenidesa zwany także paradoksem kłamcy czy paradoksem Eubulidesa mówi o niemożliwości zdefiniowania pojęcia prawdy w obrębie języka, do którego to pojęcie się odnosi.
Paradoks (pozbawiony historycznych kontekstów) brzmi następująco: Pewien człowiek twierdzi: ja zawsze kłamię. Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając ja zawsze kłamię wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.
Źródłem paradoksu jest fakt, że kłamca usiłuje wypowiedzieć zdanie na temat języka, w którym to zdanie wypowiada. Podobna przyczyna stoi m. in. za sprzecznością paradoksu klas samozwrotnych oraz paradoksu Berry'ego.
Paradoks ten można uznać za wyjściowy dla całej grupy paradoksów jak chociażby dla "paradoksu kartki papieru". Polega on na napisaniu na jednej stronie kartki papieru zdania "Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest prawdziwe" natomiast na drugiej "Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest fałszywe", lub:
"Poniższe zdanie jest fałszywe.
Powyższe jest prawdziwe."
Próbując rozstrzygnąć prawdziwość tych zdań dojdziemy do podobnych sprzeczności jak w paradoksie kłamcy.
Paradoks kłamcy obejść próbowali m. in. Bertrand Russell poprzez swoją teorię typów oraz Alfred Tarski w swoich rozważaniach nad semantyką.
Antynomia w zdaniach są wynikiem stosowania "ubogiej" logiki, czy też używanego języka - jak to zauważyli pozytywiści logiczni.
Paradoks kłamcy
Blisko związany z paradoksem Russella jest paradoks kłamcy. Jego starożytne sformułowanie jest następujące. Epimenides, Kreteńczyk, powiedział, że wszyscy Kreteńczycy kłamią. Epimenides nie mógł więc powiedzieć prawdy, bo sam jest Kreteńczykiem. Czyli skłamał. Ale gdyby Epimenides był jedynym Kreteńczykiem, i gdyby wypowiedział tylko to jedno zdanie, nie mógłby również skłamać. Bo gdyby skłamał, byłoby prawdą, że wszyscy (czyli sam Epimenides) Kreteńczycy kłamią.
Współcześnie paradoks kłamcy formułuje się za pomocą zdania, które o sobie samym mówi, że jest fałszywe. Na przykład „To zdanie jest fałszywe”. Jeżeli jest prawdziwe, to jest fałszywe. Zaś jeżeli jest fałszywe, to mówi prawdę o sobie.
Rozwiązanie podane przez Tarskiego (1933) polega na wykluczeniu z języka własnego predykatu prawdziwości, to znaczy wyrażenia „jest prawdziwe”, które wolno byłoby stosować do zdań tego samego języka. Żeby, na przykład, nie dopuścić do powstawania paradoksu kłamcy w języku polskim, należałoby zaprzestać używania wyrażenia „jest prawdziwe” w zastosowaniu do zdań języka polskiego. Po polsku można byłoby mówić o prawdziwości i fałszywości wyłącznie zdań innych języków. Do mówienia o prawdziwości i fałszywości zdań języka polskiego trzeba użyć jakiegoś innego języka. Dokładniej, Tarski twierdził, że o prawdziwości i fałszywości zdań pewnego języka, zwanego w takim kontekście językiem przedmiotowym (czyli takim, że zdania tego języka są przedmiotem pytań o prawdziwość i fałszywość), można mówić wyłącznie w tzw. metajęzyku. Język przedmiotowy nie może zawierać własnego predykatu prawdziwości (inaczej powstaje paradoks), zaś metajęzyk musi zawierać predykat prawdziwości odnoszący się do zdań języka przedmiotowego, nazwy wszystkich zdań języka przedmiotowego oraz przekłady wszystkich zdań języka przedmiotowego.
Rozróżnienie na język i metajęzyk nie pozwala sformułować problemu przygodnego koła kłamców. Koło kłamców powstaje, gdy różne zdania o sobie nawzajem mówią, że są prawdziwe lub fałszywe. Na przykład: Rokita mówi, że Jakubowska zawsze kłamie, a Jakubowska mówi, że Rokita mówi samą prawdę. Wówczas, jeżeli Rokita powiedział prawdę, że Jakubowska kłamie, to Jakubowska skłamała mówiąc, że Rokita mówi prawdę, a więc Rokita skłamał. Jeżeli jednak Rokita skłamał mówiąc, że Jakubowska (zawsze) kłamie, to Jakubowska (jeżeli powiedziała tylko to jedno zdanie) powiedziała prawdę, że Rokita mówi prawdę, a więc Rokita, jeżeli skłamał, to powiedział prawdę. Jednak paradoks nie powstaje, jeżeli Jakubowska jest bardziej gadatliwa i nie zawsze kłamie, ale skłamała akurat mówiąc o Rokicie. Wówczas Rokita skłamał mówiąc, że Jakubowska zawsze kłamie (bo przy innej okazji powiedziała akurat prawdę) i Jakubowska skłamała mówiąc, że Rokita mówi samą prawdę (bo tym razem akurat skłamał). Zatem ta sama para zdań może być paradoksalna lub nie zależnie od tego, czy mówiący mówili prawdę, czy kłamali przy innych okazjach. Paradoks powstaje zatem przygodnie. Natomiast rozróżnienie na język przedmiotowy i metajęzyk nie pozwala na powstanie tego rodzaju wymiany zdań nawet wtedy, gdy paradoks nie powstaje. Niezależnie bowiem od prawdomówności Rokity i Jakubowskiej, zdanie Rokity mówi o zdaniu wypowiedzianym przez Jakubowską, jest zatem względem niego metajęzykowe. Ale zdanie wypowiedziane przez Jakubowską nie może należeć do języka przedmiotowego, bowiem jest metajęzykowe względem zdania Rokity. Musiałoby być metametajęzykowe względem samego siebie, co jest niemożliwe, jako że relacja język przedmiotowy-metajęzyk jest asymetryczna, czyli ustala hierarchię języków.
Podobny przykład, który obnaża sztuczność rozróżnienia na język i metajęzyk rozważał Saul Kripke. Jego rozwiązanie problemu przygodnego koła kłamców, oparte na logice z lukami prawdziwościowymi, będziemy rozważać później. Najpierw pokażę, pochodzące od van Fraassena, zastosowanie gappy logic do prostego paradoksu kłamcy. Zasadnicza idea polega na odejściu od zasady dwuwartościowości. Dzięki temu pewne zdania mogą nie być ani prawdziwe, ani fałszywe, mogą być lukami prawdziwościowymi (truth-value gaps). Jeżeli zdanie kłamcy (zdanie, które mówi o sobie samym, że jest fałszywe) nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe, paradoks nie powstaje.
Bas van Fraassen (1971) zaproponował system logiki presupozycji, oparty na pomyśle Petera Strawsona (1950), skierowanym przeciw teorii deskrypcji Russella (1905). Russell, analizując zdanie „Obecny król Francji jest łysy” stwierdził, że jeśli je traktować jako zdanie podmiotowo-orzecznikowe, które o przedmiocie zwanym „obecny król Francji” orzeka, że jest on łysy, to otrzymujemy pewien paradoks. Mianowicie, zdanie to nie może być prawdziwe, bo Francja jest republiką. Ale z tych samych powodów negacja tego zdania, „Obecny król Francji nie jest łysy”, nie może być prawdziwa. Żeby uratować zasadę dwuwartościowości, Russell wysunął teorię, wedle której logiczna struktura zdania różni się od jego struktury gramatycznej. „Obecny król Francji” pod względem logicznym nie jest nazwą, lecz deskrypcją (opisem), która może być spełniona przez jakiś przedmiot lub nie. Jest deskrypcją tak samo, jak „łysy”. Toteż logiczna struktura zdania „Obecny król Francji jest łysy” przedstawia się jako „Istnieje ktoś (i tylko jeden), kto jest obecnym królem Francji i zarazem jest łysy”. Zdanie to jest fałszywe, ale jego negacją teraz jest prawdziwe zdanie „Nie istnieje nikt, kto jest obecnym królem Francji i zarazem jest łysy lub istnieje więcej niż jeden obecny król Francji, który jest łysy”.
Strawson uznał to rozwiązanie za sztuczne twierdząc, że strukturę gramatyczną zdania należy traktować poważnie. Według niego prawdziwe lub fałszywe mogą być nie zdania, lecz oznajmienia dokonane za pomocą zdań. Oznajmić, że obecny król Francji jest łysy, prawdziwie lub fałszywie, można było w czasach, gdy Francja miała króla. W przeciwnym razie wypowiedzenie takiego zdania nie jest oznajmieniem (może być przykładem na coś, cytatem, kwestią teatralną, żartem itd. - które ze swej natury nie są ani prawdziwe, ani fałszywe). Warunek na to, by zdanie nadawało się do wypowiedzenia go w charakterze oznajmienia (prawdziwego lub fałszywego), nazywa się presupozycją tego zdania. Presupozycją zdania „Obecny król Francji jest łysy” (i jego negacji) jest więc zdanie „Istnieje ktoś, i tylko jeden, kto obecnie jest królem Francji”.
Van Fraassen wykorzystał pomysł Strawsona do sformułowania rachunku zdań, w którym prócz klasycznych spójników, ¬, ∨, ∧, →, ≡, występuje jeszcze spójnik presuponowania ≻. Jest on zdefiniowany następująco: p ≻ q wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli p jest prawdziwe, to q jest prawdziwe, zaś jeżeli p jest fałszywe, to q (też) jest prawdziwe. Zdanie q, które jest presupozycją zdania p, nie jest prawdziwe tylko (i zawsze) wtedy, gdy p nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe (jest luką prawdziwościową). Paradoks kłamcy zasadniczo polega na tym, że gdy * jest zdaniem kłamcy, to jest * ≡ (* jest fałszywe), to stąd i z tautologii
* jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy *
wynika logicznie
* jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy * fałszywe
co, przy założeniu zasady dwuwartościowości jest kontrtautologią. Jeżeli jednak odrzucić zasadę dwuwartościowości i przyjąć logikę presupozycji, sprawa przedstawia się zgoła inaczej. Kluczem do rozwiązania paradoksu jest odpowiednia interpretacja wyrażenia „wtedy i tylko wtedy, gdy”. W klasycznym rachunku zdań rozumie się je jako ≡. Natomiast w logice presupozycji można je rozumieć jako NN, czyli obustronne ukoniecznianie (necessitation). pNNq znaczy (pNq) ∧ (qNp), zaś pNq znaczy (p ≻ q) ∨ (p ≻ q). Czyli p ukoniecznia q znaczy, że p implikuje lub presuponuje q. Przy takim rozumieniu „wtedy i tylko wtedy, gdy” z paradoks znika. Bowiem z
(* jest prawdziwe) NN *
nie wynika logicznie
(* jest prawdziwe) ≡ *, czyli
(* jest prawdziwe) ≡ (* jest fałszywe).
Zostaje bowiem możliwość, że
(* jest prawdziwe) ≻ *; oraz
* ≻ (* jest prawdziwe).
I tylko ta możliwość, skoro formuła (* jest prawdziwe) ≡ (* jest fałszywe) jest kontrtautologią.
Ta możliwość zaś wcale nie jest paradoksalna. Na mocy pierwszej z dwu ostatnich formuł, jeżeli „* jest prawdziwe” jest prawdziwe, to * jest prawdziwe, co jest niemożliwe, ponieważ * jest zdaniem kłamcy. Jeżeli „* jest prawdziwe” jest fałszywe, to znowu * jest prawdziwe, co jest niemożliwe. Ale „* jest prawdziwe” może być luką prawdziwościową, a wtedy * nie jest prawdziwe. Zatem * jest fałszywe lub jest luką prawdziwościową. Gdyby jednak * było fałszywe, to na mocy drugiej formuły „* jest prawdziwe” byłoby prawdziwe, co - jak ustaliliśmy, nie jest możliwe. Zatem zarówno zdanie kłamcy (*), jak i zdanie „* jest prawdziwe”, które mówi o tym, że zdanie kłamcy jest prawdziwe, są lukami prawdziwościowymi (nie są ani prawdziwe, ani fałszywe). Paradoks znika.
Na następnym wykładzie będzie mowa o tym, jak za pomocą logik z lukami prawdziwościowymi rozwiązuje się bardziej skomplikowane wersje paradoksu kłamcy.