Pomiar długości fali świetlnej za pomocą siatki dyfrakcyjnej.

Podstawowe wiadomości:

Rozchodzące się w przestrzeni periodyczne zmiany pola elektrycznego i magnetycznego nazywane jest falą elektromagnetyczną. Wektory E (natężenia pola elektrycznego) i B (indukcji magnetycznej) są do siebie prostopadłe, zaś ich wartości proporcjonalne. Można zatem przy opisie zjawisk falowych wybrać jeden z tych wektorów, np. E. Opis fali elektromagnetycznej rozchodzącej się wzdłuż osi OX wyraża się wzorem:

E(x,t) = E₀^. sin( t-kx), (1)

gdzie:

Eo - amplituda fali,

t- kx - faza fali,

 - częstość kołowa

k - liczba falowa związana z długością fali zależnością: k = 2 /.

Punkty są zgodne w fazie jeżeli odległość między nimi równa jest długości fali. Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną, tzn. wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej są zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. W rozpatrywanej fali opisanej wzorem (1) wektory zmieniać się będą tylko wzdłuż osi OX, pozostaną zaś stałe w płaszczyźnie YZ - wszystkie punkty leżące w tej płaszczyźnie będą posiadały stałą fazę. Jest to zatem fala płaska.

Zjawisko interferencji:

W wyniku nałożenia się dwóch lub więcej fal elektromagnetycznych w danym punkcie przestrzeni powstaje zjawisko interferencji. Obserwacja obrazu interferencyjnego jest możliwa gdy:

1) źródła fal są monochromatyczne (wysyłane są fale o jednakowych długościach),

2) źródła są spójne (koherentne) - wysyłane fale zachowują stała w czasie różnicę faz.

Powszechnie w celu wytworzenia obrazu interferencyjnego używa się siatek dyfrakcyjnych. Siatka to kawałek szkła lub plastyku, na którym wykonane są cienkie rysy. Jeżeli układ kilkuset szczelin oświetli się falą płaską, to za siatką można zaobserwować obraz interferencyjny.

Każda szczelina, na którą pada fala płaska można traktować - zgodnie z zasadą Huygensa - jako źródło wtórnych fal kulistych. Zakładając, że fazy początkowe wszystkich fal wtórnych są jednakowe, wynika że różnica faz pomiędzy falami pochodzącymi od poszczególnych szczelin w punkcie ich nałożenia się będzie zależała tylko od ich różnej drogi optycznej. Zakładając, że szerokość szczeliny jest tak mała, że można zaniedbać różnice faz między falami pochodzącymi od jednej szczeliny, różnica dróg optycznych fal pochodzących od dwóch sąsiednich szczelin dana jest wzorem:

x = d^.sin,

gdzie:

d - odległość między sąsiednimi szczelinami,

 - kąt ugięcia fali na krawędzi szczeliny (patrz rys).

Różnica faz wyniesie:

czyli

(2)

W punktach, w których wszystkie dochodzące do tych punktów fale będą zgodne w fazie będzie występować maksimum natężenia. Zatem różnica dróg optycznych fal pochodzących od sąsiednich szczelin musi wynosić m . Jednocześnie różnica dróg wynosi d^.sin, czyli warunek na wystąpienie maksima interferencyjnego można zapisać:

d^.sin = m

gdzie m = 0, 1, 2, ... nazywane jest rzędem widma. Jak widać z powyższego wzoru kąty pod jakimi obserwujemy główne maksima zależą jedynie od długości padającej fali i stałej siatki d, nie zależą zaś od liczby szczelin w siatce. Dlatego też możliwe jest za pomocą siatki

dyfrakcyjnej rozłożyć padającą falę na składowe odpowiadające różnym długościom fal.

Aby wyznaczyć obraz interferencyjny w punktach znajdujących się pomiędzy maksimami głównymi dla siatki o N szczelinach posłużyć się można metodą w której:

1) natężenie pola E jest wektorem o długości E₀, a kąt jaki tworzy on z osią

OX jest równy co do wartości kątowi jego fazy,

2) wektor E obraca się przeciwnie do wskazówek zegara, ponieważ faza zmienia

się w czasie,

3) wektorowy diagram zaburzeń będzie zawierał N wektorów o długościach E₀

każdy i o kącie między sąsiednimi wektorami równym .

Wynika zatem, że końce tych wektorów leżą na okręgu o promieniu R, takim że:

E₀ = 2^.R^..

Wypadkowa amplituda E_w dana jest zależnością:

E_w = 2^.R^.

łącząc te dwa wyrażenia otrzyma się zależność na wypadkową amplitudę:

E_w = E₀

Zatem wypadkowe natężenie (moc średnia przenoszona przez falę) jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy i wynosi:

Iw = I₀

Jak można zauważyć zależność natężenia I od kąta  (zależnego od kąta ) ma w liczniku zmienny czynnik sin²(N*/2) modulowany przez znacznie wolniej zmienny czynnik sin²(/2). Wartość wyrażenia (6) dla =0 można obliczyć z przybliżenia sin(/2) ~ (/2). Wówczas otrzyma się I = I₀^.N². Taki sam wynik otrzyma się dla warunku  = 2^.m . Wraz ze wzrostem kąta  od wartości 0 stosunek kwadratów sinusów we wzorze (6) zaczyna maleć i pierwsze minimum dyfrakcyjne otrzyma się, gdy licznik będzie równy 0, czyli (N/2) =  . Oznacza to, że wektory reprezentujące N fal zataczają pełne koło, czyli E_w = 0. Gdy dalej będzie zwiększana wartość fazy , to wówczas otrzyma się maksima boczne, które jednakże

są znacznie słabsze od maksimów głównych.

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej:

Wprowadzenie pojęcia zdolności rozdzielczej siatki pozwala wyznaczyć najmniejszą różnicę jaka może być między długościami dwóch fal,  i ' , aby były one możliwe do rozróżnienia za pomocą siatki. Współczynnik ten jest określony następująco:

gdzie  - jedna z długości fali dwu linii widmowych, zaś = ' -  to różnica długości fal między nimi. Powszechnie wykorzystuje się kryterium Rayleigha, które mówi, że aby dwa maksima główne były rozróżnialne, to odległość kątowa powinna być taka, aby minimum jednej linii przypadało w maksimum drugiej. Zatem warunek na pierwsze minimum dla rzędu m-tego można zapisać:

d sin = m +

jednocześnie dla fali ' w tym punkcie musi być maksimum, czyli:

d sin = m' .

Odejmując stronami powyższe równania otrzyma się zależność na R:

R =

Jak widać, zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest tym większa im więcej szczelin posiada siatka i im większy jest rząd widma. Jednakże obserwacja widm dla m>2 jest utrudniona z tego względu, że widma mają coraz słabsze natężenie. Wynika to z faktu, że w rzeczywistości dyfrakcja następuje na każdej szczelinie, tzn. szerokość szczeliny nie jest na tyle mała aby nie były zaniedbywane różnice faz między punktami w obrębie jednej szczeliny.

Wykonanie ćwiczenia:

1. Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej.

Stałą siatki wyznaczono w oparciu o wzór:

Ze względu na fakt, że żółty prążek składa się z dwóch linii o długościach λ₁=589,6 nm i λ₁=589 nm do obliczenia d wzięliśmy wartość średnią λ=589,3 nm.

Zmierzyliśmy kąt ugięcia pierwszego rzędu po lewej i prawej stronie od rzędu zerowego.

	α po lewej stronie	α po prawej stronie	Odległość kątowa pomiędzy widmem światła żółtego lampy sodowej	stała siatki d [nm]
Pomiar I	12^036' ± 5'	12^034' ± 5'	25^010' ± 5'	1385 ± 4
Pomiar II	12^036' ± 5'	12^034' ± 5'	25^010' ± 5'	1385 ± 4
Pomiar III	12^036' ± 5'	12^034' ± 5'	25^010' ± 5'	1385 ± 4

Błąd Δα obliczamy ze wzoru

Δα = dokładność odczytu +szerokości szczeliny

dokładność odczytu - 2'

szerokość szczeliny - 6'

Błąd Δd obliczamy za pomocą różniczki zupełnej:

(Δα wstawiane do wzoru jest w radianach).

Stałą siatki obliczamy jako średnią arytmetyczną z trzech pomiarów dla żółtej barwy widma sodu. Ostatecznie stała siatki ma wartość:

d = ( 1385 ± 4 ) nm

2. Wyznaczanie długości fal świetlnych.

Znając stałą siatki oraz kąty ugięcia mogliśmy wyznaczyć długości fal emitowanych przez lampę neonową. Widać tylko prążki pierwszego rzędu (m=1) więc korzystamy ze wzoru:

λ = d∗sinα

Kolor	αśrednie	obliczona długość fali λob. [nm]	wartość tablicowa λtab. [nm]
ZIELONY	23^002' ± 5'	541,9 ± 3,4	540,0
ŻÓŁTY	24^057' ± 5'	584,2 ± 3,5	585,2
CZERWONY	27^019' ± 5'	635,6 ± 3,6	640,0

Błąd Δλ obliczaliśmy za pomocą różniczki zupełnej :

WNIOSKI.

Różnice w pomiarze kąta ugięcia względem wiązki padającej dla obserwowanych prążków są spowodowane tym, że siatka dyfrakcyjna nie była dokładnie ustawiona pod kątem prostym do wiązki światła wychodzącej z kolimatora.

Porównując otrzymane wyniki długości fal z wartościami tablicowymi stwierdzamy ich zgodność w granicach błędu. Stwierdzamy więc, że ćwiczenie zostało wykonane poprawnie.

Podpis prowadzącego

Ocena

Prowadzący:

Ocena ze sprawozdania

Ćw.35 st.13

Ocena z przygotowania

1. Michał Nurkiewicz

2. Michał Morawski

3. Paweł Olszewski

19 XI 2001

Nr zespołu

16

Poniedziałek 14:15

Wydział Inżynierii Lądowej

---