Przykładowe zadania egzaminacyjne ze statystyki w semestrze zimowym

roku akademickiego 2003/2004

1. Dany jest rozkład zmiennej losowej X:

	1	2	3	8
	0,1	0,4	0,4	0,1

Wyznacz rozkład zmiennej losowej
oraz parametry rozkładu zmiennych
i
.

2. Dana jest funkcja

Czy jest ona gęstością prawdopodobieństwa. Jeśli tak, wyznacz dystrybuantę rozkładu o gęstości
(problem 3.3 [w] Grzegorz Krzykowski, Mirosław Szreder, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2002, s. 68-69).

3. Według informacji U.S. Energy Information Association średnia cena galona benzyny bezołowiowej w Stanach Zjednoczonych w 1993 roku wyniosła 89,6 centów (wraz z podatkiem). W tabeli poniżej zamieszczono średnie ceny benzyny (w centach) w 20 stanach. Na podstawie danych zestawionych w tabeli wyznacz średnią, medianę oraz modę

Stan	Cena	Stan	Cena
Arkansas	88,3	New Hampshire	93,2
Connecticut	104,3	New Jersey	88,1
Delaware	91,7	New York	78,5
Hawaii	119,0	North Dakota	91,0
Louisiana	89,8	Oklahoma	85,1
Maine	95,4	Oregon	102,9
Massachusetts	94,3	Pennsylvania	79,2
Michigan	83,2	Texas	90,0
Missouri	79,9	Wisconsin	94,4
Nevada	103,6	Wyoming	87,9

(zad. 2.45 [w] James T.McClave, P.George Benson, Terry Sincich, Statistics for Business and Economics. Prentice Hall International,Upper Saddle River 1998, s. 62).

4. Potraktuj ceny zamieszczone w tabeli z zad. 3 za próbkowe realizacje ceny galona benzyny bezołowiowej. Na ich podstawie skonstruuj 95% przedział ufności dla średniej ceny galona benzyny bezołowiowej w Stanach Zjednoczonych oraz rozstrzygnij, czy informacja podana przez U.S Energy Information Association jest wiarygodna.

5. Praca egzaminacyjna ze statystyki składa się z 10 pytań. Do każdego pytania sformułowano 4 odpowiedzi, z których tylko jedna jest prawidłowa. Oceń prawdopodobieństwo zdania egzaminu, jeśli odpowiadać będziesz na ,,chybił-trafił”, a do jego zdania potrzebnych jest Ci co najmniej 5 prawidłowych odpowiedzi.

6. Wyniki egzaminu wstępnego z matematyki podawane są w skali punktowej od 0 do 100. Spośród 515 prac osób zdających ten egzamin w roku akademickim 2001/2002 wylosowano 10 prac i odnotowano następujące rezultaty: 56, 85, 40, 37, 68, 78, 72, 15, 91, 76. Zweryfikuj hipotezę, że mediana liczby punktów na egzaminie jest większa od 80 punktów. Za poziom istotności przyjmij
   .

7. Producent kuchenek elektrycznych przeprowadził analizę reklamacji zgłoszonych przez klientów w pewnym okresie czasu i stwierdził, że reklamacje można zakwalifikować do jednej z 6 kategorii. Rozkład reklamacji przedstawiono w tabeli poniżej. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że przyczyną reklamacji był wygląd kuchenki pod warunkiem,

	Przyczyna reklamacji
		Elektryczna	Mechaniczna	Wygląd	Razem
W trakcie gwarancji	0,18	0,13	0,32	0,63
Po okresie gwarancji	0,12	0,22	0,03	0,37
Razem	0,30	0,35	0,35	1,00

że reklamacja wpłynęła w trakcie gwarancji (przykład 3.15 [w] James T.McClave, P.George Benson, Terry Sincich, Statistics for Business and Economics. Prentice Hall International,Upper Saddle River 1998, s. 137-8).

8. Rzucono dwudziestokrotnie monetą i otrzymano 7 orłów oraz 13 reszek. Czy moneta jest ,,sprawiedliwa”?

9. W dwóch grupach, prowadzonych przez asystentów A i B, uzyskano następujące wyniki z egzaminu ze statystyki:

	Zdany	Nie zdany	Σ
A	20	5	25
B	16	9	25
Σ	36	14	50

Czy na wynik egzaminu miała wpływ osoba prowadzącego ćwiczenia?

10. Następujące dane, zaczerpnięte z sierpniowego numeru International Financial Statistics, informują o indeksach cen złota i miedzi w ciągu ostatnich 10 lat:

Złoto	76	62	70	59	52	53	53	56	57	56
Miedź	80	68	73	63	65	68	65	63	65	66

Zakładając, że te dane są losową próbą z populacji możliwych wartości indeksów, sprawdź czy zachodzi korelacja między cenami obu tych metali? (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 10.31, s. 484).

11. Firma Shearson Lehman Brothers Inc. chce zachęcić swoich inwestorów do udziału we wspólnym przedsięwzięciu w branży nieruchomości. Przedmiotem oferty są dwa projekty budownictwa mieszkaniowego: jeden w Chicago, drugi w Dallas. Roczne stopy zwrotu z przedsięwzięć w ciągu ośmiomiesięcznych okresów wyniosły:

Chicago	%	12	13	10	14	15	9	11	10
Dallas	%	10	9	8	7	9	11	6	13

Czy któraś z tych inwestycji jest lepsza niż druga? Wyjaśnij (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 14.30, s. 723).

12. W artykule zamieszczonym w Journal of Finance podano wyniki analizy regresji stopy przychodu z akcji uprzywilejowanych (Y) względem premii z tytułu zamiany akcji zwykłych na uprzywilejowane (X). Otrzymanym równaniem regresji jest

gdzie liczba w nawiasie jest oceną standardowego błędu estymatora parametru nachylenia linii regresji. Liczebność próby
. Czy są podstawy do przyjęcia, że zachodzi liniowy związek między stopą przychodu a premią? (Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, zad. 10.37, s. 489).

13. Na podstawie 25 obserwacji z 2001 roku oszacowano następujący model wydatków na żywność w gospodarstwach domowych

,

gdzie:
- wydatki na żywność w gospodarstwie
na osobę (tys zł),
- roczny dochód gospodarstwa na osobę (tys zł),
- składnik losowy. Wyniki estymacji uzyskane MNK przedstawiono w tabeli poniżej.

Zmienna zależna
Regresor	Współczynnik	Odchyl. stand.	Stat. [ ]
Stała	1,837200	0,1081	16,9907 [0,000]
	-0,17572	0,0398	-4,4099 [0,000]
Odchyl. stand. regresji 0,1550
Średnia zm. zależnej 1,3804		Odchyl. stand. zm. zależnej 0,2061
Suma kwadrat. reszt 0,5526

Oceń ,,dobroć” modelu.

14. Pewna restauracja potrzebuje następujących surowców: wołowiny, wieprzowiny, jajek, mleka, chleba, ziemniaków, sałaty, pomidorów oraz pomarańcz. Ceny jednostkowe tych dóbr (dol. USA) oraz ilości (zapotrzebowanie tygodniowe) w latach 1983 i 1985 zestawiono w tabeli poniżej.

Surowiec	Jednostka	1983		1985
				cena	ilość	cena	ilość
Wołowina	Funty	2,38	50	2,33	54
Wieprzowina	Funty	1,40	26	1,62	20
Jajka	Szt	0,85	15	0,80	10
Mleko	Galony	1,05	85	1,13	92
Chleb	Funty	0,51	30	0,55	28
Ziemniaki	10 funtów	1,80	10	1,60	11
Sałata	Funty	0,46	5	0,53	4
Pomidory	Funty	0,42	7	0,52	8
Pomarańcze	Funty	0,36	12	0,53	15

Skonstruuj indeks cen typu Laspayresa. Za rok bazowy przyjmij rok 1983 (przykład (e) [w] Amir D.Aczel, Statystyka w zarządzaniu. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000, s. 663).

3

1

---