Relacja de Broglie'a

Dualizm korpuskularno-falowy jest cechą nie tylko cząstek światła (fotonów), lecz i wszystkich sząstek materialnych o masie spoczynkowej różnej od zera. Tę hipotezę Lui de Broglie ogłosił w 1924 roku.

Z ruchem każdej cząstki materii związany jest pewny ruch falowy,

przy czym wielkości charakteryzujące ruch mechaniczny cząstki (pęd, energia) i towarzyszącą mu falę materii (długość fali, częstość drgań) związane są równaniami:

,

De Broglie podał następujący wzór na długość fali materii:

,

gdzie:

- długość fali poruszającej się cząstki materii (długość fali de Brogli'a);

h - stała Plancka, ;

m - masa cząstki, [kg];

- prędkość, z którą porusza się cząstka, [m/s];

- pęd poruszającej się cząstki, .

Zasada nieoznaczoności

Z powodu dualistycznej natury mikrocząstek ich położenie i pęd nie mogą być ze względów zasadniczych jednocześnie dokładnie zadane. Zwiększenie dokładności pomiaru położenia powoduje zawsze zaburzenia zwiększające nieokreśloność pędu cząstki i na odwrót. Stwierdzenie to jest jednym ze szczególnych przypadków zasady nieoznaczoności Heisenberga :

Niemożliwe jest określenie jednocześnie z dowolnie dużą precyzją zarówno pędu, jak i położenia cząstki.

Analiza rachunkowa wielu doświadczeń prowadzi do wniosku, że iloczyn nieokreśloności współrzędnej położenia i odpowiadającej jej składowej pędu mikrocząstki musi być co najmniej rzędu elementarnego kwantu działania, czyli stałej Plancka. Wyraża to relacja:

ħ/2,

gdzie:

- nieoznaczoność pędu w kierunku osi x, ;

- nieoznaczoność położenia wzdłuż tej osi, [m];

ħ - modyfikacja stałej Plancka (czytamy: h-kreślone), ħ = .

Zasadę nieoznaczoności można też wyrazić przez iloczyn nieokreśloności wartości energii układu i czasu zajścia pewnego zjawiska :

ħ/2

Sformułowana w ten sposób zasada nieoznaczoności wyznacza dolną granicę szerokości linii widmowych.

Uwaga! Ze względu na małą wartość h zasada nieoznaczoności nie stanowi żadnego ograniczenia dla jednoczesnego wyznaczenia położenia i pędu ciał makroskopowych z największą wymaganą dokładnością. Jednakże w opisie stanu mechanicznego mikroukładów (np. elektronów) rezygnujemy z dokładnie zadanych wartości współrzędnych położenia cząstek, wprowadzając w mechanice kwantowej zamiast tego pojęcie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w interesującym nas elemencie objętości.

Przykłady obliczeń:

1. Obliczyć długość fali de Brogli'a dla protonu poruszającego się z prędkością 0,01% prędkości światła.

= 6,6262^.10^-34J^.s/((1,6726^.10^-27kg)^.(0,0001^.2,9979^.10⁸))
= 1,3215^.10^-11m

2. Jaka była prędkość cząsteczki azotu (w m/s), jeżeli wiadomo, że długość fali de Brogli'a wynosiła = 45 µm?

v = 6,6262^.10^-34J^.s/((14,0067^.2^.1,6605^.10^-27kg)^.(45^.10^-12m))
v = 316,55 m/s

3. Jaka jest najmniejszą nieoznaczoność prędkości elektronu w jednowymiarowym obszarze o długości rzędu 10 pm?

Ponieważ ≥ħ/2, to ħ .
możemy również zapisać jako , gdzie m - masa cząstki, - nieoznaczoność jej prędkości, czyli = ħ . Wobec tego nieoznaczoność prędkości jest równa:

= ħ .

Dla elektronu o masie 9,1094^.10^-31 kg w jednowymiarowym obszarze najmniejsza nieoznaczoność prędkości wynosi:

= 1,05457^.10^-34J^.s/(2 ^. 9,1094^.10^-31 kg ^. 10^-11m)
= 5,7884^.10⁶m/s.

---