Odwzorowanie izometryczne

W odwzorowaniach izometrycznych nie występują zniekształcenia.

W odwzorowaniach izometrycznych dla każdego punktu i kierunku w tym punkcie spełniony jest warunek

stąd ds' = ds

podstawiając pierwsze formy kwadratowe powierzchni mamy:

E'du² + 2F'dudv +G'dv² = Edu² + 2Fdudv + Gdv²

Z powyższego widać, że warunek izometryczności odwzorowania ma postać:

W ogólności jest to układ trzech równań różniczkowych z dwiema funkcjami niewiadomymi. Taki układ równań różniczkowych nie ma na ogół rozwiązań. Pomiędzy powierzchnią elipsoidy, kuli i płaszczyzną odwzorowania izometryczne w ogóle nie występują.

Natomiast w odwzorowaniach nieizometrycznych mogą istnieć punkty lub pojedyncze linie, dla których kryterium izometrii może być spełnione. W otoczeniu tych linii lub punktów zniekształcenia są stosunkowo małe.

Warunek izometrii możemy zapisać również w postaci:

P = R = 1, Q = 0

lub

lub m = n = 1

W odwzorowaniach izometrycznych elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów o promieniu równym 1.

Odwzorowania równokątne

W odwzorowaniach równokątnych nie występują zniekształcenia kątów.

W odwzorowaniach równokątnych dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek A' = A

Powyższy warunek jest spełniony, gdy spełniony jest układ równań

Na podstawie wzoru
widać, że odwzorowanie jest równokątne, gdy:

stąd wynika, że w odwzorowaniach równokątnych

P = R, Q = 0.

Warunek równokątności możemy również zapisać w postaci:

oraz m = n

W odwzorowaniach równokątnych elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów.

Odwzorowania równopolowe

W odwzorowaniach równopolowych nie występują zniekształcenia pól.

W odwzorowaniach równopolowych dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek

stąd

Warunek równopolowości możemy również zapisać w postaci

p = mn = 1

stąd

W odwzorowaniach równopolowych długość jednej półosi elipsy zniekształceń odwzorowawczych jest równa odwrotności drugiej półosi.

Odwzorowania równoodległościowe

W przypadku gdy A = 0 linie v=const zachowują swoją długość;

warunek równoodległościowości przyjmuje postać:

W przypadku gdy A =θ linie u = const zachowują swoją długość;

warunek równoodległościowości przyjmuje postać:

---