I forma kwadratowa powierzchni

Różniczka funkcji wektorowej
ma następującą postać:

Element łuku na powierzchni opisanej równaniem
ma postać:

ds²  dr|²  Edu²  2Fdudv Gdv²

Elementarny łuk na powierzchni kuli

Na powierzchni kuli opisanej równaniem

obliczamy współczynniki I formy kwadratowej

E = R², F = 0, G = R²cos²φ, H = R²|cosφ|

Elementarny łuk na powierzchni kuli ma postać:

ds² = R²d φ² + R²cos² φ dλ²

Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy

Na powierzchni elipsoidy opisanej równaniem:

obliczamy współczynniki I formy kwadratowej:

E = M², F = 0, G = N²cos²B, H = MN|cos|B|

Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy ma postać:

ds² = M²dB² + N²cos²BdL²

Skala

Związek pomiędzy skalą poszczególną μ_p, skalą główną μ₀ i elementarną skalą zniekształceń odwzorowawczych μ_.

μ₀ - skala główna odwzorowania, wyraża stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, pomniejszenie powierzchni oryginały (odwzorowanie przez podobieństwo), skala główna jest liczbą rzeczywistą przedstawioną w postaci μ₀ = 1/M

Elementarne skale zniekształceń długości

Elementarne skale zniekształceń długości jest to stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału:

μ = ds'/ds.,

gdzie ds - element łuku na powierzchni oryginału,

ds' - element łuku na powierzchni obrazu.

Elementarna skala zniekształceń długości jest funkcją trzech zmiennych: współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni oryginału oraz kąta kierunkowego A elementu ds na powierzchni oryginału μ = μ (u,v,A)

Elementarna skala zniekształceń długości

Elementarną skalą zniekształceń długości można przedstawić w postaci wektorowej

gdzie
jest różniczką funkcji r = r(u,v) opisującej powierzchnię oryginału w odwzorowaniu kartograficznym oraz
jest różniczką funkcji r' = r'(u,v) opisującej powierzchnię obrazu w odwzorowaniu kartograficznym.

Elementarne zniekształcenie długości jest to odchylenie elementarnej skali zniekształceń długości od jedności:

Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku linii parametrycznych

Podstawiając do wzoru na skalę

elementarne łuki na powierzchni oryginału i powierzchni obrazu

otrzymujemy wzór na skalę w postaci:

Obliczając skalę w kierunku południka v = const podstawiamy dv = 0 otrzymujemy

Obliczając skalę w kierunku równoleżnika u = const podstawiamy du = 0 otrzymujemy

Skale w kierunku linii parametrycznych noszą nazwę skal parametrycznych.

Dla powierzchni kuli skale parametryczne mają postać:

Dla elipsoidy skale parametryczne mają postać

Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcji kąta kierunkowego

Elementarną skalę zniekształceń długości ma postać

Różniczki
oraz
funkcji r = r(u,v) opisującej powierzchnię oryginału oraz funkcji r' = r'(u,v) opisującej powierzchnię obrazu można przedstawić w postaci:

Tangens kąta kierunkowego A ma postać

stąd wyznaczamy

Zastosowanie powyższego wzoru prowadzi do następujących postaci różniczek:

stąd wyznaczamy moduł

Uwzględniając powyższe rozważania otrzymujemy następującą postać elementarnej skali długości

gdzie

Jeżeli na powierzchni oryginału mamy parametryzację ortogonalną (F=0) wektory μ₁ oraz μ₂ przyjmą postać
są to wówczas skale parametryczne

Kwadrat elementarnej skali zniekształceń długości można przedstawić w postaci

gdzie

W przypadku parametryzacji ortogonalnej na powierzchni obrazu (F=0) otrzymujemy

---