Współrzędne geograficzne

Równoleżniki: okręgi kół powstałych w wyniku przecięcia się z powierzchnią kuli płaszczyzn prostopadłych do jej osi, równoległych do płaszczyzny równika.

Południki: półokręgi powstałe w wyniku przecięcia się z powierzchnią kuli płaszczyzn przechodzących przez jej oś NS.

Dowolny punkt P na powierzchni elipsoidy można jednoznacznie wyznaczyć za pomocą kąta ၬ zwanego długością geograficzną oraz kąta ၪ zwanego szerokością geograficzną.

Długością geograficzną punktu P na kuli nazywamy kąt zawarty między płaszczyzną południka początkowego (Greenwich), a płaszczyzną południka przechodzącego przez punkt P. Za dodatnią przyjmuje się długość wschodnią. (ၬ ჎ <-180°, +180°> )

Szerokością geograficzną punktu P nazywamy kąt zawarty między płaszczyzną równika, a promieniem kuli poprowadzonym do punktu P. Za dodatnią przyjmuje się szerokość geograficzną północną. (ၪ ჎ <-90°, +90°> )

Kąt ၳ zawarty między półosią ON a promieniem kuli poprowadzonym do punktu P nazywamy odległością biegunową tego punktu.

ၳ^  φ

Skala główna

Przed dokonaniem odwzorowania powierzchni elipsoidy obrotowej (kuli), przyjętej jako powierzchnia oryginału, zmniejszamy ją w pewnym stałym stosunku 1 : M. Liczbę ၭ0 = 1 : M nazywamy skalą (główną) mapy. Skala główna wyraża zatem stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, a nie powierzchni lub objętości.

Najczęściej stosuje się skalę liczbową, np. ułamek 1:100000 oznacza, że przyjętej na mapie jednostce miary, np. 1 cm odpowiada 100000 cm, czyli 1000 m, a więc 1 km w terenie.

Oprócz skali liczbowej używa się również skali mianowanej (np. 1 cm - 1000 m, co czytamy: 1 cm na mapie odpowiada 1000 m w terenie).

Graficznym obrazem skali jest podziałka. Za pomocą podziałki można mierzyć odległości na mapie i nanosić na mapę odległości pomierzone w terenie. W przypadku map sporządzonych w małych skalach nie są możliwe pomiary za pomocą podziałki, gdyż skala znacznie różni się w różnych miejscach mapy.

Ze względu na niemożliwość otrzymania bez zniekształceń płaskiego obrazu powierzchni elipsoidy obrotowej lub powierzchni kuli przyjętej za matematyczną powierzchnię odniesienia - skala główna pozostaje zachowana tylko w tych punktach lub liniach, w których nie występują zniekształcenia długości. W pozostałych punktach i kierunkach na mapie skala główna nie może być zachowana, o czym należy pamiętać przy korzystaniu z mapy.

Skala jest stała tylko na planie, czyli obrazie niedużego wycinka powierzchni Ziemi, dla którego nie uwzględnia się krzywizny Ziemi.

Elementarna skala pól i elementarne zniekształcenie pól

(Elementarną) skalę pól w odwzorowaniu określa stosunek:

p=dP'/dP

zrealizowany przy założeniu, że skala główna ၭ0 = 1 : 1, a dP oznacza element pola na powierzchni oryginału, zaś dP' - odpowiadający mu element pola na powierzchni obrazu.

Skala długości jest funkcją dwóch zmiennych parametrycznych (U,V), a więc zależy tylko od położenia punktu na powierzchni: p = p(U,V)

Skala pól jest zawsze liczbą dodatnią i może być większa, równa lub mniejsza od jedności.

Odchylenie elementarnej skali pól od jedności - zp = p - 1 - nazywamy (elementarnym) zniekształceniem pól, które może być mniejsze, równe lub większe od zera. Niekiedy zniekształcenie pól wyraża się w procentach lub promilach.

Gdy za linie parametryczne na powierzchni oryginału i na powierzchni obrazu obierzemy siatkę krzywych głównych, wówczas wzór na elementarną skalę pól przyjmie postać: p = ab.

W ogólnym przypadku, znając elementarne skale długości w kierunku południka i równoleżnika elementarną skalę pól otrzymać możemy ze wzoru: p = mၪmၬsini = mၪmၬcosၥ ,

Gdzie i jest kątem, jaki tworzy obraz południka z obrazem równoleżnika, a ၥ jest dopełnieniem tego kąta do 90°. Te wartości można uzyskać na podstawie określonych wzorów różniczkowych.

Pojęcie krzywych głównych i kierunków głównych

Pierwsze twierdzenie Tissota o siatkach ortogonalnych:

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna, a jeśli odwzorowanie nie jest równokątne to tylko jedna, siatka ortogonalna na powierzchni oryginału, której obraz na drugiej powierzchni będzie również siatką ortogonalną (siatka linii krzywych przecinających się pod kątami prostymi). Takie siatki nazywają się siatkami krzywych głównych.

Linie proste styczne do krzywych głównych w dowolnym punkcie powierzchni oryginału, jak również linie proste styczne do krzywych głównych w odpowiadającym temu punktowi punkcie powierzchni obrazu, nazywają się stycznymi głównymi, a ich kierunki kierunkami głównymi.

Siatki krzywych głównych i kierunki główne mają bardzo istotne znaczenie w kartografii matematycznej. Skale elementarne długości w kierunkach głównych (oznaczane przez a i b), w dowolnym punkcie odwzorowania, przyjmują wartości ekstremalne w tym punkcie, a wartości skal we wszystkich pozostałych kierunkach w tym punkcie mieszczą się w granicach wartości skal ekstremalnych. Za pomocą skal w kierunkach głównych w dowolnym punkcie odwzorowania najdogodniej można obliczyć skalę pól oraz zniekształcenia kątów występujące w tym punkcie. Wynika stąd, że badanie wartości i rozkładu zniekształceń występujących w danym odwzorowaniu sprowadza się do obliczenia wartości skal ekstremalnych w obranych punktach odwzorowania.

W kartografii, najczęściej siatkę krzywych głównych tworzy siatka równoleżników i południków geograficznego układu współrzędnych, ewentualnie (przy odwzorowaniach ukośnych) siatka almukantarantów i wertykałów azymutalnego układu współrzędnych na kuli.

Obraz siatki równoleżników i południków na mapie nosi nazwę siatki kartograficznej. W procesie redakcji map siatka ta stanowi szkielet do skonstruowania obrazu kartograficznego.

Odwzorowania azymutalne

Elipsoida lub kula odwzorowywana jest na płaszczyźnie. Równoleżniki siatki normalnej są okręgami współśrodkowymi względem obrazu bieguna Ziemi, natomiast południki - promieniami tych kręgów. Kąty między obrazami południków są równe różnicom długości geograficznych. Odstępy między obrazami równoleżników są zależne od charakteru odwzorowania i mogą być równe, wrastające lub malejące w miarę oddalania się od bieguna. Równania ogólne odwzorowań azymutalnych odpowiednio we współrzędnych biegunowych ၤ, ၲ oraz we współrzędnych prostokątnych x,y są następujące:

ၤ = ၬ; ၲ = ၲ(ၪ)

x = ၲ*cos(ၤ); y = ၲ*sin(ၤ)

Odwzorowania walcowe

Elipsoida lub kula odwzorowywana jest na pobocznicę rozpiętego na niej walca. Równoleżniki siatki normalnej są liniami prostymi wzajemnie równoległymi; południki - liniami prostymi wzajemnie równoległymi i prostopadłymi do równoleżników.Odstępy między obrazami południków są proporcjonalne do różnic długości geograficznych. Odstępy między obrazami równoleżników są zmienne, zależne od charakteru odwzorowania i mogą być równe sobie, wzrastające lub malejące w miarę oddalania się od obrazu równika. Równania ogólne we współrzędnych prostokątnych są następujące:

x = x(ၪ); y = c*ၬ, gdzie c jest stałą odwz.

Odwzorowania stożkowe

Elipsoida lub kula odwzorowywana jest na pobocznicę rozpiętego na niej stożka. Równoleżniki siatki normalnej są łukami okręgów współśrodkowych, południki zaś odcinkami prostych leżących na promieniach tych okręgów. Odstępy między obrazami południków są proporcjonalne do różnic długości geograficznych. Odstępy między obrazami równoleżników są zmienne i zależne od charakteru danego odwzorowania. Równania ogólne odwzorowań stożkowych są następujące:

ၤ = c*ၬ; ၲ = ၲ(ၪ)

x = q - ၲ*cos(ၤ); y = ၲ*sin(ၤ),

gdzie c (0 < c < 1) jest stałą odwzorowań stożkowych, zaś q oznacza odległość bieguna układu współrzędnych biegunowych od początku układu współrzędnych prostokątnych.

Odwzorowania pseudoazymutalne

Równoleżniki siatki normalnej są okręgami współśrodkowymi względem obrazu bieguna Ziemi, natomiast południki - łukami krzywych symetrycznych względem prostoliniowego obrazu południka środkowego siatki. Równania ogólne odwzorowań pseudoazymutalnych mają następującą postać:

ၤ = ၤ (ၪ,ၬ); ၲ = ၲ(ၪ)

x = ၲ*cos(ၤ); y = ၲ*sin(ၤ),

Odwzorowania pseudowalcowe

Równoleżniki siatki normalnej są (podobnie jak w odwzorowaniach walcowych) liniami prostymi wzajemnie równoległymi. Natomiast południki są na ogół liniami krzywymi, symetrycznymi względem prostoliniowego obrazu południka środkowego siatki. Bieguny Ziemi odwzorowują się na punkty lub na odcinki prostych, zależnie od warunków, jakim ma odpowiadać odwzorowanie.Równania ogólne odwzorowań pseudowalcowych są następujące:

x = x (ၪ); y = y(ၪ, ၬ

Odwzorowania pseudostożkowe

Równoleżniki siatki normalnej są w tej grupie odwzorowań łukami okręgów współśrodkowych (podobnie jak w odwzorowaniach stożkowych). Południki natomiast są łukami krzywych symetrycznie rozmieszczonych względem prostoliniowego obrazu południka środkowego siatki. Bieguny Ziemi odwzorowują się na punkty. Równania ogólne są w tym przypadku następujące:

ၤ = ၤ (ၪ,ၬ); ၲ = ၲ(ၪ)

x = q - ၲ*cos(ၤ); y = ၲ*sin(ၤ),

Symbol q oznacza odległość środka łuku obrazu równoleżnika od początku układu współrzędnych prostokątnych

Odwzorowania normalne (proste, biegunowe)

Gdy szerokość geograficzna bieguna układu współrzędnych azymutalnych ၪ0 = 90°, to wówczas wertykały i almukantaraty pokrywają się odpowiednio z południkami i równoleżnikami kuli. Siatka normalna wertykałów i almukantaratów pokrywa się z siatką normalną południków i równoleżników. Mamy wówczas odwzorowanie normalne (proste, biegunowe).

W odwzorowaniu tego typu oś biegunowa (prosta łącząca bieguny) kuli ziemskiej jest prostopadła do powierzchni odwzorowania, albo pokrywa się z osią stożka lub walca.

Odwzorowania poprzeczne (równikowe)

Gdy szerokość geograficzna bieguna układu współrzędnych azymutalnych ၪ0 = 0°, czyli biegun leży na równiku, to wówczas siatka normalna wertykałów i almukantaratów również nie pokrywa się z siatką kartograficzną południków i równoleżników. Takie odwzorowanie nazywamy poprzecznym lub równikowym.

W odwzorowaniu tego typu oś biegunowa kuli ziemskiej jest równoległa do powierzchni odwzorowania, albo prostopadła do osi stożka lub walca

Odwzorowania ukośne (horyzontalne)

Gdy szerokość geograficzna bieguna układu współrzędnych azymutalnych 0° < ၪ0 < 90°, to wówczas siatka normalna wertykałów i almukantaratów nie pokrywa się z siatką kartograficzną południków i równoleżników. Takie odwzorowanie nazywa się ukośnym lub horyzontalnym.

W odwzorowaniu tego typu oś biegunowa kuli ziemskiej zajmuje położenie pośrednie w stosunku do położeń powyżej wymienionych

Klasyfikacja odwzorowań ze względu na sposób ich wykorzystania

Odwzorowania jednolite: Do opracowania mapy wybranego obszaru w określonym odwzorowaniu przyjmuje się jeden układ współrzędnych (najczęściej układ współrzędnych prostokątnych prostoliniowych oxy) do obliczenia siatki.

Odwzorowania wielopasmowe: Obszar podlegający odwzorowaniu dzielony jest na południkowe lub równoleżnikowe i każdy z pasów odwzorowywany jest oddzielnie. Dla każdego pasa przyjmuje się oddzielny układ współrzędnych prostokątnych prostoliniowych oxy.

Odwzorowania wielościenne: Obszar podlegający odwzorowaniu dzielony jest południkami i równoleżnikami na trapezy sferoidalne lub sferyczne odpowiedniego formatu i każdy z takich trapezów odwzorowywany jest oddzielnie, w odwzorowaniu przyjętym dla całego obszaru. Przyjmuje się tyle niezależnych układów współrzędnych prostoliniowych, na ile trapezów został podzielony dany obszar.

Odwzorowania zestawione: odwzorowania, w których siatki kartograficzne zestawiane są z siatek dwóch lub większej liczby odwzorowań.

Odwzorowania rozerwane: Odwzorowania zastosowane do przedstawienia obszarów oddzielnych części powierzchni Ziemi (mapa kontynentów lub oceanów), które łączy się ze sobą (z reguły na równiku), przy wykorzystaniu siatki rozerwanej wzdłuż odpowiednio dobranych południków. Do tego celu nadają się siatki w odwzorowaniach pseudowalcowych normalnych.

l tw. Tissota

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej płaszczyzny na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna, a jeżeli odwzorowanie nie jest równokątne to tylko jedna siatka ortogonalna na powierzchni oryginału, której obraz na drugiej powierzchni będzie również siatką ortogonalną. Takie siatki nazywa się siatkami krzywych głównych.

Inaczej: zawsze można znaleźć na powierzchni oryginału taką siatką linii krzywych przecinających się pod kątem prostym, która odwzorowuje się na siatką linii krzywych przecinających się również pod kątem prostym.

ll tw. Tissota

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej powierzchni w drugą obrazem jednostkowym okręgi wyznaczonego w płaszczyźnie stycznej w dowolnym punkcie powierzchni jest elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Utworzona w ten sposób elipsa nosi nazwę elipsy Tissota lub elipsy zniekształceń odwzorowawczych. Promień wodzący tej elipsy jest elementarną skalą zniekształceń długości.

Skale µ_1, µ₂ są półśrednicami sprzężonymi w elipsoidzie zniekształceń, ponieważ spełniają dwa tw. Appoloniusza.

l tw. Appoloniusza

µ₁²+µ₂²=m²+n² suma kwadratów półśrednic sprzężonych elips jest równa sumie kwadratów półosi.

ll tw. Appoloniusza

µ₁µ₂|sinv|=|µ₁xµ₂|=|mxn|=mn pole równoległoboku zbudowanego na półśrednicach sprzężonych elipsy, jest równe polu prostokąta zbudowanego na osiach elipsy.

Odwzorowanie izometryczne

w odwzorowaniu izometrycznym nie występują zniekształcenia. W odwzorowaniach izometrycznych dla każdego punktu i kierunku w tym punkcie spełniony jest warunek: µ=ds'/ds=1 ;ds'=ds. E'=E, F'=F, G'=G lub E'/E=F'/F=G'/G=1 Jest to układ 3 równań różniczkowych różniczkowych z dwiema funkcjami niewiadomych. Taki układ równań różniczkowych nie ma na ogół rozwiązań. Pomiędzy powierzchnią elipsoidy, kuli i płaszczyzny odwzorowania izometryczne w ogóle nie występują. Natomiast odwzorowaniach nie izometrycznych mogą istnieć punkty lub pojedyncze linie, dla których kryterium izomerii może być spełnione. W otoczeniu tych linii lub punktów zniekształcenia są stosunkowo małe. Warunek ten można też zapisać: P=R=1,Q=0 lub µ₁=µ₂=1, µ₁*µ₂=0 m=n=1 W odwzorowaniach izometrycznych elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów o promieniu równym 1.

Odwzorowanie równokątne

W odwzorowaniach równokątnych nie występują zniekształcenia kątów. W odwzorowaniach równokątnych dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek A'=A

Ten warunek jest spełniony gdy spełniony jest układ równań: E'/E=F'/F=G'/G . Na podstawie wzoru ctgA'=(P/p)ctg +Q/p widać, że odwzorowanie jest równokątne gdy P/p=1 a Q=0 lub µ₁=µ_{2 ,} µ₁*µ₂=0 , m=n w odwzorowaniach równokątnych elipsy zniekształceń odwzorowuj się jako okręgi.

Odwzorowanie równopolowe

Nie występują zniekształcenia pól. W odwzorowaniach równopolowych dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek: p=dP'/dP=1 => H'=H , m=n, m=1/n w odwzorowaniach równopolowych długości jednej półosi elipsoidy zniekształcenia odwzorowawczych są równe odwrotności drugiej półosi.

Odwzorowanie równoodległościowe

w przypadku gdy A=0 linie v=const zachowują swoja długość: warunek równoodległościowości przyjmuje postać: ^_(u,v) (E'=E)

w przypadku gdy a=90 linie u=const zachowują swoją długość: warunek równoodległościowości przyjmuje postać ^_(u,v) (G=G')

G-K:twórcy Gauss 1820-30 do obliczenia triangulacji Hanoveru, Kruger -opracowal metode odwzrowonia 1912r. DEF: odwz konf pow elips obr spł w płaszczyznę, 2 warunki -poludnik osiowy odw się na odcinek linii prostej, elementarna skala długości na pol osiowym jest stała i 1 INTERPRETACJA GEOM:równokątne, walcowe styczne poprzeczne odwz EOS w płaszczyzne, SIATKA : poludnik osiowyna odcinek linii prostej, pozostale na linie krzywe symetrycznie względem osiowego, rownolezniki na krzywe względem prostoliniowego obrazu rownika ROZKŁAD ZIEKSZTAŁCEN: izolinie znieksztalcen tworzą linie proste rownoległe do obrazu poludnika osiowego, elementarna skala znieształcen długosci na pol osiowym=1, poza >1, w miare oddalania się od osiowego szybko rosnie. KONSTRUCJA UKŁ.WSP:x pokrywa się z obrazem południka osiowego a os y z obrazem równika,liczba ukladow prost jest rowna liczbie pasów poludnikowych, na które zostaje podzielony odwzorowywany obzar ZASTOOWANIE:mapy topo, uklady 1942,6592 2000, stosowane w waskich pasach południkowych 3 i 6 st oraz w 1992 10 stopni.

Quasi-stereo: metode podał Roussilhe, tworzac odw rownokątne i azymutalne, definicja: jest odwz konforemnym azymutalnym pow EOS w płaszczyzne, odpowiada ono stereograficznemu odw kuli o promieniu R^2=MN PARAMETRY: punkt główny (B,L) oraz elementalrna skala długosci w tym pkt. ROZKŁAD: izolinie zniekształcen maja postac zblizoną do koncentrycznych okręgów wokół obrazu punktu głównego, jeśli w pkt gł skala =1 to poza nim >1. W przypadku przyjęcia w pkt głównym elemenatrnej skali zniekształcen długości <1 w odz obszarze nastepuje zmniejszenie zniekształcen. UKŁAD: poczatek ukladu w pkt głównym, południk osiowy odw się na odcinek linii prostej, os x pokrywa się z obrazem osiowego ZAStosowanie: 65+gugik80

UTM: def: ...konforemnym pow EOS w P, w którym osiowy odwz się na odcinek linii prostej oraz elemenatrna skala zniekszt dł na osiowym jest stała i mniejsza od 1WSPÓŁ: można wyznaczyc na podst wspol wyznaczonych w GK z zaleznosci Xutm=Mo*Xgk oraz Yutm..., gdzie Mo to elementarna skala znieszt dł na pol osiowym. INTER GEOM:rownokatne walcowe poprzeczne sieczne odwz EOS w P, SIATKA oraz UKŁAD:jest podobna jak w przypadku odwz GK, ZAST: wojskowe mapy topo. W zastosowaniach wojskowych jest to odwz 6st pasow poludnikowych. Skala 0.9996.uzyskuje się wtedy koła sieczne rownolegle do plaszczyzny polud osiowego odwzorowujące się bez zniekształcen. W obszarze pomiedzy tymi kołami elementarna skala zniekszt długościjest <1, nastepuje kurczenie, natomiast na zewnatzr >1, wystepuje rozciaganie.

MERCATOR: 1569 rok Mercator sporzadzil mape swiata w rownokątnym odwz walcowym normalnym kuli w płaszczyzne. Odwzorowanie normalne mercatora pow kuli w plaszczyzne, gdy wale jest styczny do rownika można predst wzorami: y=Rλ, x=Rlntan(pi/4+φ/2) SIATKA: obrazami rownoleznikow sa odcinki linii prostych rownoległych do osi y ukladu wsp prost płaskich xoy.obrazami poludnikow sa odcinki linii prostych rownoleglych do osi x ukladu wsp prost plaskich xoy. ROZKŁAD: linie jednakowych znieksztalcen dlugosci w odwz mercatora pokrywaja się z obrazami rownoleznikow. W odzw normalnym stycznym do rownika bez zniekształ odwzorowuje się rownik. W miare oddalania się od rownika na poludnie i polnoc zniekształcenia szybko rosną, loksodoroma (linia przecinająca poludniki pod tym samym kątem) odwzorowuje się na prostą przecinającą obrazy poludników pod tym samym kątem ZASTOSOWANIE: nawigacja do tworzenia map morskich.

AZYMUTALNE: obrazami rownoleznikow B=const są okręgi kół koncentrycznych o srodku w poczatku ukladu i promieniach ρ(B) zaleznych od parametru B obrazami poludnikow L=const są odcinki lini prostych. PSEUDOAZYMUTALNE: równolezniki jak wyzej, poludniki L=const śa odcinki linii krzywych. WALCOWE: B=const odcinki linii prostych rownoleglych do osi y ukladu wsp xoy L=const odcinki linii prostych || do osi x ukladu wspolrzedncyh PSEUDOWALCOWE: L=const są odcinki linii krzywych. STOŻKOWE: B=const są łuki okręgów kół koncentrycznych o srodku w punkcie o wsp x=q(bo), y=0 i promieniach ρ(B) zaleznych od parametru B. L=const są odcinki linii prostych.PSEUDOSTOZKOWE:B=consta sa odcinki okręgów kół koncentrycznych o srodkach w pkt o wsp x=q(Bo), y=0 i promieniach ρ(B) zaleznych od parametru B, L=const. Sa odcinki linii krzywych WIELOSTOZKOWE:B=const sa odcinki okręgów kół ekscentrycznych o srodkach w pkt o wsp x=q(B), y=0 i promieniach ρ(B) zaleznych od parametru B, L=const. Sa odcinki linii krzywych. Jeżeli odwz wielostozkowe jest rownokatne a ponadto obrazy południków są odcinkami okręgów to otrzymujemy tzw. Odwz wielostozkowe kołowe.

---