ZASADY  DYNAMIKI NEWTONA,   ZASADY  ZACHOWANIA  i  GRAWITACJA

1. Stałe siły F₁, F₂ i F₃ działają jednocześnie na cząstkę w czasie przesunięcia z punktu A do B. Jaka praca została wykonana w czasie przesunięcia  z  punktu  A do B, a jaka z B do A ?  

     A(2 , -1,  4) ,   B(-3, 0, 2) ,     F₁ = [2, 3 -4] ,  F₂ = [-3, 0, 1]  i  F₃ = [3, -2, 0]   

2. Ciało porusza się w górę po równi pochyłej z prędkością początkową v  = 6 m/s. Równia tworzy kąt  30^o z poziomem. Współczynnik tarcia f =0.2. Jaką drogę przebędzie to ciało?

3. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej, jeżeli masa ciężaru M, długość równi l, kąt nachylenia α , współczynnik tarcia f. Zakładamy, że ciężar jest wciągany ze stałą prędkością.

4. Chłopiec ciągnie sanki o masie m ze stałą prędkością po poziomej powierzchni na drodze s. Jaką pracę wykona on przy ciągnięciu, jeżeli współczynnik tarcia kinetycznego wynosi f, a sznurek tworzy kąt 30^o z poziomem? (Uwzględnić dwa przypadki: w górę i w dół.)

5. Blok lodu o masie M ześlizguje się po równi pochyłej o długości l i wysokości h. Chłopiec pcha ten lód siłą równoległą do równi w ten sposób, że prędkość ześlizgiwania się lodu jest stała. Współczynnik tarcia między powierzchnią równi i lodem wynosi f. Znaleźć:

• pracę wykonaną przez chłopca,

• pracę wykonaną przez siłę grawitacyjną,

• pracę wykonaną przez siłę, jaką powierzchnia działa na blok

Trzy klocki o masach m₁ , m_{2 ,} m₃   leżą jeden za drugim na poziomej powierzchni. Do ostatniego klocka przyłożono siłę F pod kątem 60^o  do poziomu. Znaleźć przyspieszenie układu oraz siły, jakie działają na każdy klocek osobno, jeśli współczynnik tarcia między klockami i powierzchnią wynosi f.

Łańcuch składający się z 5 ogniw każde o masie m jest podnoszony pionowo ze stałym przyspieszeniem a. Znaleźć:

• siły działające między przylegającymi ogniwami,

• siłę F wywieraną na górne ogniwo przez czynnik podnoszący,

• siłę wypadkową działającą na każde ogniwo osobno.

• Do jednego końca sztywnego pręta o długości l doczepiona jest kulka o masie m. Drugi koniec pręta jest umocowany w taki sposób, że kulka porusza się po pionowym okręgu. Układ puszczono w dół z pozycji poziomej nadając mu pewną prędkość początkową. Kulka dochodzi do punktu najwyższego i  zatrzymuje się. Znaleźć prędkość początkową kulki. Masę pręta pominąć.

• Cząstka o masie m porusza się z prędkością v i zderza się doskonale sprężyście z drugą, taką samą cząstką będącą początkowo w spoczynku. Wykazać, że po zderzeniu cząstki rozbiegną się pod kątem prostym.

• Poruszająca się cząstka o masie m zderza się doskonale sprężyście z nieruchomą cząstką o masie M. Znaleźć względną zmianę energii kinetycznej cząstki poruszającej się, jeśli po zderzeniu porusza się ona pod kątem prostym względem kierunku pierwotnego.

• Poruszająca się cząstka 1 zderza się doskonale sprężyście z nieruchomą cząstką 2. Po zderzeniu cząstki poruszają się symetrycznie względem pierwotnego kierunku cząstki 1. Znaleźć stosunek mas tych cząstek, jeśli kąt między ich kierunkami ruchu po zderzeniu wynosi 60^o

• Ciało o masie M spada z wysokości h. W 1/3 wysokości zostaje trafione poziomo lecącym pociskiem, który wbija się w nie niesprężyście. Masa pocisku m = 0,1 M, a jego prędkość wynosi v. Obliczyć prędkość układu w momencie upadku na Ziemię.

• Dwie cząstki o masach m_A i m_B zderzają się niesprężyście. Cząstka o masie  m_A początkowo porusza się na północ z prędkością v_A. Cząstka o masie   m_B  początkowo porusza się na zachód z prędkością v_B . Jaka jest prędkość końcowa cząstek (wartość, kąt)? Jaka część początkowej energii kinetycznej cząstek rozproszyła się w wyniku zderzenia?

• Do pręta o długości d przytwierdzono małą kulkę o masie m . Początkowo pręt był odchylony o kąt 45^o od pionu.. W pewnej chwili pozwolono kulce opaść. W najniższym punkcie swojego toru kulka uderza w znajdujący się w spoczynku na poziomej  powierzchni klocek o masie M. Masę pręta zaniedbać. Znaleźć prędkość kulki i klocka po zderzeniu, jeśli :

•   zderzenie jest doskonale sprężyste.  Na jaką wysokość wzniesie się  kulka po zderzeniu?

•   zderzenie jest całkowicie niesprężyste.  Na jaką wysokość wzniesie się klocek wraz z kulką po zderzeniu?

• Pręt o długości l i masie M leży na gładkiej powierzchni. W koniec pręta uderza prostopadle do niego z prędkością v punkt o masie m.  Pręt jest umocowany tak, że może się obracać wokół osi prostopadłej do niego przechodzącej przez jego drugi koniec.

• Zderzenie jest doskonale sprężyste. Znaleźć prędkość punktu  i prędkość kątową pręta po zderzeniu.

• Zderzenie jest niesprężyste. Znaleźć prędkość kątową układu po zderzeniu.

• Siła F = [5, -3, -4] jest przyłożona w punkcie K(2, 3, -5). Obliczyć moment tej siły względem punktu S(1, -2, -1).

• Na brzegu talerza o masie M i promieniu R obracającego się wokół osi prostopadłej i przechodzącej przez jego środek, porusza się żuczek o masie m w kierunku ruchu wskazówek zegara. Prędkość żuczka względem ziemi v. Talerz  obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. Jak zmieni się prędkość kątowa talerza, jeśli żuczek w pewnej chwili zbliży się do środka talerza na odległość R/5, zmieni kierunek swojej prędkości i zacznie poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością 3 razy większą? 

• Na brzegu talerza obracającego się wokół osi przechodzącej przez jego dno porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara karaluch o masie m. Promień talerza R , a jego moment bezwładności  I_o . Talerz obraca się bez tarcia. Prędkość karalucha względem ziemi v, podczas gdy talerz obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. W pewnej chwili karaluch znajduje na brzegu talerza okruch chleba i zatrzymuje się. Jaka jest prędkość kątowa talerza w chwili, gdy karaluch zatrzyma się?

• Na brzegu poziomego stolika o promieniu R i o masie M znajduje się człowiek o masie m. Układ ten obraca się wokół osi pionowej przechodzącej przez  środek stolika z prędkością kątową  ω . Obliczyć:

1. prędkość kątową układu po przejściu człowieka na środek stolika;

2. ile razy wzrośnie energia kinetyczna po przejściu człowieka?

Stolik traktować jako jednorodny walec o momencie bezwładności I = 1/2 MR², a masę człowieka jako punktową.

2. Trzy punkty materialne o masach m₁, m₂, i m₃ są połączone ze sobą i z osią obrotu trzema jednorodnymi prętami, każdy o masie M i długościach l, s i d. Układ obraca  się względem osi obrotu z prędkością kątową ω w taki sposób, że punkty materialne znajdują się na jednej prostej. Obliczyć:

• moment bezwładności względem punktu O

• energię kinetyczną układu

                 o----------O----------O----------O

                         l          m₁       s     m₂       d      m₃

2. Cztery ciała o masach m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 1 kg, m₄ = 2 kg umieszczono w punktach odpowiednio: (2, -5, 4), (-1, -3, 2), (1, -2, -1), (0, -1, 0). Znaleźć położenie środka masy w chwili t = 0 oraz przyspieszenie środka masy, jeśli na układ działają siły:  F₁ = [2, 8, -4]  i    F₂ = [-3, 1, 0].

3. W łodzi o płaskim dnie stoi pies o masie 5 kg. Jest on oddalony od brzegu o 7m. Idąc po dnie w kierunku brzegu, przebywa on odległość 3m, a następnie zatrzymuje się. Masa łodzi wynosi 20 kg. Można przyjąć, że między łodzią a wodą nie ma tarcia. Jak daleko od brzegu znajduje się pies w chwili zatrzymania się?

4. Rybak o masie m znajduje sie na dziobie łódki stojącej na spokojnej wodzie. Masa łódki M, a jej długość l. Rybak przechodzi na rufę łódki. Jaką odległość  przebył on względem wody? Jaką odległość przebyła łódka?

5. Ricardo (masa 80 kg) i Carmelita podziwiają jezioro o zmierzchu w kajaku o masie 30 kg. Gdy kajak znajduje się w stanie spoczynku, przy spokojnej wodzie zamieniają się miejscami, które są od siebie oddalone o 3m i ulokowane symetrycznie względem środka kajaka. Ricardo zauważył, że kajak przesunął się o 0,4m względem zanurzonego logu i obliczył masę Carmelity, do której nigdy nie chciała się przyznać. Ile wynosi jej masa?

6. Po pochyłym torze zakończonym martwą pętlą zsuwa się bez tarcia ciało o masie m. Promień okręgu R.

• Znaleźć z jakiej wysokości ciało musi się zsunąć, aby siła, którą wywiera ono na tor w najwyższym punkcie pętli była równa ciężarowi tego ciała.

• Znaleźć siłę, jaką wywiera ono na tor w najwyższym punkcie pętli, jeśli zsuwa się z wysokości 6R.

• Z naleźć z jakiej wysokości musi się zsuwać, aby nie odpaść od pętli.

• Określić siłę nacisku na podłogę windy klocka o masie m, jeśli

• winda porusza się z przyspieszeniem a do góry

• winda porusza się z przyspieszeniem a do dołu

• winda porusza się z opóźnieniem a do góry

• winda porusza się z opóźnieniem a w dół

• winda  spada swobodnie

• Największa odległość planety od Słońca wynosi R₁ a najmniejsza R₂ . Ile wynosi moment pędu planety? Masa Słońca M, masa planety m.

• Największa odległość komety Halleya od Słońca h = 35,4 R_zs (R_zs - odległość pomiędzy Ziemią i Słońcem ), a najmniejsza l = 0,59 R_zs. Ile wynosi prędkość komety, gdy jest najbliżej Słońca, a ile gdy znajduje sie w punkcie najbardziej odległym od Słońca?

• Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni  Słońca, jeżeli jego promień jest n razy większy od promienia Ziemi, a stosunek średniej gęstości Słońca do średniej gęstości Ziemi wynosi k = 1/4.

• Masa Księżyca jest n=81 razy mniejsza od masy Ziemi. Odległość między środkami mas tych ciał wynosi d. W jakiej odległości od środka Ziemi na prostej przechodzącej przez te ciała leżą punkty, w których ciążenia ku Ziemi i ku Księżycowi są jednakowe?

---