PERMUTACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Zbiór składający się z n elementów uporządkowanych i różnych nazywamy permutacją (przemianą) bez powtórzeń z n elementów. Liczbę utworzoną w ten sposób zbiorów oznaczamy , gdzie . Liczbę permutacji wyraża się wzorem Liczba n! jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych od 1 do n włącznie. Dodatkowo przyjmuje się 0! = 1 Symbol n! czytamy "n silnia". Przykład 2. W urnie są trzy kule o numerach 1, 2, 3. Wyciągamy kolejno trzy kule i notujemy ich numery wg kolejności wyciągnięcia. Ile można tym sposobem otrzymać różnych liczb. Ilość różnych liczb, otrzymanych w ten sposób jest równa ilości permutacji z trzech elementów P3 = 3! = 6 Przykład 3. Na ile sposobów dwie osoby mogą zająć dwa spośród n miejsc. Pierwsza osoba ma n możliwości - może zająć dowolne miejsce, druga (n - 1) możliwości - może zająć jedno z (n - 1) pozostałych miejsc. Otrzymamy n x (n -1) możliwości. Przykład 4. Na ile sposobów można przydzielić czterem uczennicom i ośmiu uczniom dwanaście ponumerowanych miejsc tak, by uczennice zajęły cztery pierwsze miejsca. Dziewczyny można ustawić na 4! sposobów. Do każdego z tych sposobów można dołączyć 8! sposobów ustawień chłopców. Otrzymamy 4! x 8! sposobów ustawień. Przykład 5. Na ile sposobów można ustawić 24 osoby w szereg tak, by dane trzy osoby stały obok siebie. Trzy osoby można ustawić na 3! sposobów, zostaje nam jeszcze 21 osób. Jeżeli przyjmiemy, że 3 osoby zostały "złączone" w jedną osobę to mamy 22 osoby które można ustawić na 22! sposobów. Każdemu takiemu ustawieniu odpowiada 3! ustawień, jeśli dopuścimy możliwość przestawienia trzech "złączonych" osób. Mamy zatem 22! x 3! ustawień. Przykład 6. Pięć białych ponumerowanych kul i pięć czarnych ponumerowanych kul układamy obok siebie w szereg tak, by ich barwy zmieniały się kolejno. Iloma sposobami można to uczynić? Kule białe i czarne będą układane na dziesięciu miejscach. Kule białe mogą zająć pozycje 1, 3, 5, 7, 9 lub 2, 4, 6, 8, 10, a kule czarne wypełniają pozostałe miejsca. Przy każdej z tych pozycji kule białe mogą dowolnie permutować (można zamieniać miejscami), tworząc P5 = 5! = 120 permutacji. Każda permutacja kul białych może tworzyć układ z dowolną permutacją kul czarnych. Układów takich jest (P5)^2 = 14400. Otrzymaną liczbę należy pomnożyć przez 2 ponieważ wymieniona sytuacja może zachodzić dla pozycji pierwszej lub drugiej. Przykład 7. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy obok siebie w szereg tak, aby każde trzy po sobie następujące kule były różnej barwy. Iloma sposobami można to uczynić? Mamy 12 kul. Kule białe mogą zająć pozycje 1, 4, 7, 10. Na tych pozycjach mogą permutować na 4! sposobów. Kule czarne zajmą pozycje 2, 5, 8, 11 na 4! sposobów. Pozostałe miejsca zajmą kule zielone 3, 6, 9, 12 dając także 4! permutacje. Każda permutacja kul białych może łączyć się z każdą permutacją kul czarnych i zielonych. Otrzymamy 4! x 4! x 4! = (4!)^3 = 13824 permutacji. Kule białe, czarne i zielone nie muszą występować w podanej kolejności. Można je ustawić na 3! sposobów. Liczba wszystkich układów będzie równa 3! x (4!)^3 = 82944. PERMUTACJE Z POWTÓRZENIAMI Zbiór składający się z elementów uporządkowanych, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio razy, nazywamy n - elementową permutacją z powtórzeniami. Liczbę utworzonych w ten sposób zbiorów oznaczamy Przykład 1. Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można utworzyć, przestawiając litery w wyrazie "matematyka". Istnieje 10! permutacji utworzonych ze słowa "matematyka". Litery w danym wyrazie powtarzają się: litera a - trzy razy, litera m - dwa razy i litera t dwa razy. Otrzymamy tyle różnych wyrazów, ile jest różnych permutacji z powtórzeniami WARJACJE BEZ POWTÓRZEŃ Wariacją (rozmieszczeniem) bez powtórzeń z elementów po elementów nazywamy uporządkowany zbiór składający się z różnych elementów, wybranych spośród różnych elementów. Liczbę wariacji bez powtórzeń z elementów po oznaczamy symbolem . Wariacja bez powtórzeń z n elementów po n elementów jest permutacją tych elementów: Wszystkich wariacji bez powtórzeń z elementów po elementów jest Uwaga: Na pierwszym miejscu możemy umieścić dowolny z elementów. Na drugim miejscu możemy umieścić każdy z pozostałych , co daje nam różnych sposobów rozmieszczenia na dwóch miejscach. Po krokach dojdziemy do umieszczenia na k - tym miejscu dowolnego z pozostałych elementów, co daje nam sposobów rozmieszczenia na miejscach. Przykład 1. W urnie jest dziesięć kul ponumerowanych od 1 do 10. Losujemy kolejno i bez zwrotu pięć kul. Po każdym losowaniu kuli zapisujemy jej numer. Ile jest wszystkich wyników losowania? Na pierwszym miejscu możemy wylosować jedną z 10 kul, na drugim miejscu jedną z pozostałych 9 kul itp. Wszystkich wyników losowania jest 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240 WARJACJE Z POWTÓRZEŃIAMI Jeżeli z n różnych elementów wybiera się po k ze zwrotem i ustawia je wciąg, to powstaje wariacja z powtórzeniami z n elementów po k elementów. Wszystkich wariacji z powtórzeniami z n po k jest n^k dla każdego Liczbę wariacji z powtórzeniami oznacza się symbolem Przykład 1. Centrala telefoniczna pracuje na numerach sześciocyfrowych, które uzyskuje się z cyfr od 0 do 9, przy czym mogą one się powtarzać. Ilu abonentów może zarejestrować centrala, jeśli numery zaczynające się od zera nie mogą być brane pod uwagę ? I sposób Na pierwszym miejscu może być dowolna cyfra od 1...9, oprócz zera, numery zaczynające się od zera nie są brane pod uwagę. Na drugim miejscu jedna z dziesięciu 0...9 cyfr, na dalszych miejscach też jedna z dziesięciu. Wszystkich takich liczb mamy 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 9 x 10^5 = 900 000 II sposób Wszystkich możliwych numerów jest . Od tej liczby należy odjąć te liczby które zaczynają się cyfrą 0, jest ich . Stąd otrzymamy . Centrala może zarejestrować 900 000 abonamentów. KOMBINACJE Kombinacją z n elementów po k nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów, przy czym obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczane. Liczbę kombinacji z n elementów po k oznaczamy symbolem gdzie Liczbę kombinacji z n po k oznacza się symbolem Newtona (czytaj: niutona) lub współczynnikiem dwumianowym Przykład 1. Ile nastąpi powitań, gdy jednocześnie spotka się 6 znajomych?

n = 6 jest liczbą wszystkich osób, k = 2 jest liczbą osób, które jednocześnie podają sobie ręce. Gdy założymy, że porządek przy witaniu się dwóch osób nie odgrywa roli, to otrzymamy:

Przykład 2. Na ile sposobów można 52 karty rozdać pomiędzy 4 graczy tak, aby każdy z nich dostał 13 ?

Pierwszy gracz otrzyma dowolne 13 kart z 52, czyli mamy możliwości. Drugi gracz otrzyma dowolne 13 z 52 - 13 = 39 pozostałych, co daje możliwości. Trzeci gracz otrzyma dowolne z pozostałych 16, co da możliwości, czwarty otrzyma ostatnie 13 kart, czyli mamy możliwości. Ostatecznie otrzymamy

sposobów rozdania 52 kart pomiędzy czterech graczy.

ZBIÓR ZADAŃ
1.	W klasie jest dziesięć dziewcząt i dziesięciu chłopców. Należy ich rozsadzić w dziesięciu dwuosobowych ponumerowanych ławkach tak, by w każdej ławce siedział po lewej stronie chłopak, a po prawej dziewczyna. Na ile sposobów można to zrobić ?
2.	Na ile różnych sposobów można rozsadzić n osób na n miejscach: a) w jednym rzędzie, b) przy okrągłym stole. Dwa sposoby uważamy za różne, jeśli przynajmniej jedna z osób ma innego sąsiada po lewej lub po prawej stronie.
3.	Wśród 6 osób są Adam i Ewa. Na ile sposobów można posadzić te osoby na podłużnej ławce tak, aby a) Adam siedział obok Ewy, b) Adam nie siedział obok Ewy ?
4.	Na półce stoi 7 tomów, wśród nich trzytomowe wydanie "Historii Matematyki". Na ile sposobów można ułożyć te książki tak, aby trzy tomy "Historii Matematyki" stały obok siebie (niekoniecznie we właściwej kolejności) ?

ODPOWIEDZI

1. 10!x10!  2. a) n! b)  (n - 1)!  3. a) 240  b) 480  4. 720

---