Uniwersytet Medyczny w Łodzi

Wydział: Wojskowo-Lekarski

Biofizyka

Ćwiczenie: Opracowanie statystyczne wyników pomiarowych.

Łukasz Janas

Grupa I

Łódź, 10.10.2004

Temat: Opracowanie statystyczne wyników pomiarowych.

Ze względu na przyczyny powstawania błędy pomiarowe możemy podzielić na trzy grupy:

1. Błędy systematyczne - wynikają z wadliwości, niedokładności użytej do eksperymentu aparatury, błędów metod pomiarowych lub nieuwzględnienia wpływu stałych czynników zewnętrznych. Błędy systematyczne są z zasady jednokierunkowe, tzn., że w danym przypadku mamy zawsze do czynienia z zawyżeniem lub - zawsze z zaniżeniem wartości podlegającej pomiarowi. Rozpoznanie takiego błędu pozwala na wprowadzenie do wyników końcowych poprawki i wyeliminowanie jego wpływu na wynik pomiaru. Błędy statystyczne mogą być redukowane poprzez kalibrację przyrządów pomiarowych.

2. Błędy przypadkowe - ich przyczyną jest niedoskonałość zdolności rozpoznawczych organów zmysłów obserwatora, niestałość warunków zewnętrznych i inne zakłócenia, mające wpływ na przebieg eksperymentu. Błędy te są dwukierunkowe, tzn. z takim samym prawdopodobieństwem zaniżają i zawyżają wyniki pomiarów. Ich źródło nie zawsze jest do końca poznane, w związku, z czym ich uniknięcie jest niemożliwe. Można jedynie redukować ich wpływ na wyniki pomiarów.

3. Błędy grube - powstają w wyniku fałszywego odczytu wskazań przyrządów, błędnego zapisu wartości bądź poważnego zakłócenia warunków zewnętrznych. Ze względu na anormalnie dużą wartość, błędy grube są łatwe do identyfikacji. Dzięki przyjęciu odpowiednich kryteriów matematycznych, można je odrzucić z puli wyników.

Istnieje inny podział błędów pomiarowych - ze względu na ich sens matematyczno-fizyczny. Według niego wyróżniamy:

1. Błąd bezwzględny (
   ) to różnica między wartością rzeczywistą danej wielkości fizycznej
   , a wartością
   otrzymaną z pomiaru:

Błąd bezwzględny jest wielkością mianowaną. Wyróżniamy błędy oraz tzw. odchylenia. Odchyleniem nazywamy różnicę między wartością średniej arytmetycznej
a wynikiem pomiaru
.

,

gdzie
,…,
to wyniki pomiaru, a n - liczba pomiarów. Wartość średniej arytmetycznej jest tym bardziej zbliżona do wartości rzeczywistej, im większą liczbę pomiarów wykonano.

2. Błąd względny
   to stosunek błędu względnego do wartości rzeczywistej danej wielkości fizycznej. Skoro najbardziej zbliżoną do rzeczywistej wartością jest średnia arytmetyczna, często stosuje się ją do obliczania błędu względnego:

.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną (wyrażany jest w postaci ułamka lub w procentach).

Zarówno błąd względny, jak i bezwzględny zależą od dokładności pomiaru; błąd względny zależy dodatkowo od wielkości mierzonej.

Miarą dokładności pomiaru są tzw. wskaźniki dokładności pomiarów. Dla pojedynczego pomiaru znane są takie wskaźniki, jak:

1. średni błąd kwadratowy (standardowy), obliczany ze wzoru:

,

gdzie
- wartość rzeczywista,
- wartość zmierzona w i-tym pomiarze, n - liczba pomiarów.

Odchyleniem standardowe obliczymy podstawiając w miejsce wartości prawdziwej, wartość średniej arytmetycznej.

2. Błąd prawdopodobny

3. Błąd przeciętny

4. Błąd maksymalny

Natomiast dla średniej arytmetycznej często obliczany jest błąd średniej arytmetycznej:

.

Średnie odchylenie
obarczone jest błędem
razy mniejszym niż w przypadku odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru.

Niepewności przypadkowe wynikają z równoczesnego działania bardzo wielu niezależnych czynników. Każdy z tych czynników wpływa jedynie nieznacznie na rezultat pomiaru, powodując z prawdopodobieństwem p = 0,5 odchylenie wartości pomiaru o małą wartość w górę lub dół. Sumaryczne działanie wszystkich tych zakłócających czynników jest chaotyczne, dlatego przy powtórnym pomiarze nie otrzymamy tego samego, co wcześniej rezultatu. W każdym konkretnym pomiarze nie jest możliwe przewidzenie wielkości i znaku wartości niepewności pomiarowej. Można jednak określić prawdopodobieństwo (tzw. poziom ufności) otrzymania wyniku zawierającego się w danym przedziale, zwanym przedziałem ufności.

Błędy przypadkowe pomiarów charakteryzują się określonym prawem rozkładu. Wykorzystując teorię prawdopodobieństwa, wyniki pomiarów obarczone błędami przypadkowymi, rozpatruje się jako wielkości przypadkowe (zmienna losowa). Przy dużej liczbie pomiarów rozkład częstości występowania pomiarów przyjmuje kształt rozkładu normalnego (rozkład Gaussa). Obliczane jest wówczas odchylenie standardowe i średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej.

W przypadku niewielkiej liczby pomiarów, do obliczenia błędów stosowany jest rozkład błędu Studenta-Fischera. Wychodząc z założonej wartości poziomu ufności α, szukamy liczby ε spełniający warunek (dla prawdopodobieństwa P):

ε obliczamy ze wzoru:

,

gdzie S - średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej,
- parametr rozkładu Studenta z tablic, w oparciu o założony przedział ufności oraz znaną tzw. liczbę stopni swobody
.

Gdy dwie wielkości fizyczne wykazują wzajemną zależność, często stosujemy graficzne przedstawienie tej zależności. Po zaznaczeniu wyników pomiarowych, korzystając z metody najmniejszych kwadratów, można wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej regresji - prostej zależności między danymi zmiennymi. Można wówczas narysować prostą. Punkty znajdujące się w odległości od prostej większej niż potrojona wartość obliczonego błędu, można uznać za grube. Graficzne przedstawienie wyników pomiarowych umożliwia ich ekstrapolacje, tzn. oszacowanie wartości zmiennej zależnej poza obszarem wyznaczonym przez pomiary, przy czym musimy znać lub przewidzieć charakter zmienności funkcji w obszarze ekstrapolowanym.

5

---