CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomianów tej zmiennej. F-cja wymier., której stopień wielom. liczn. jest mniejszy od stopnia wielom. mianown. nazywa się f-cją wymierną właściwą. Ułamki proste, są to f-cje wymierne właściwe postaci: 1. A/(ax+b) 2. A/(ax+b) n 3. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) 4. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) n gdzie a≠0, Δ= b2 - 4ac, n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C są liczbami rzeczywistymi.
Całkowanie niektórych f-cji wymier. Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1, u2 ... nazywa się f-cją wymierną tych zmiennych, jeżeli we wzorze określającym tę f-cję na zmiennych u1, u2 ... wykonane są skończoną liczbę razy tylko działania wymierne (dodaw., odejm.., mnoż., dziel., potęg. o wykładn. natur.). Jeśli z kolei zmienne u1, u2 ... są f-cjami jednej zmiennej {x: u1=g1(x), u2=g2(x), …} to f-cję zmiennej x postaci P.(g1(x), g2(x), ...) będziemy nazywać wymier. względ. f-cji g1(x), g2 (x) ... g m.(x).
LICZBY ZESPOLONE
Odejmowaniem liczb zesp. nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania l. zesp. nazywamy różnicą l. zesp. Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczba (x,y) jest więc ilorazem liczby zespolonej (a,b) i liczby zespolonej (c,d), co oznaczamy (a,b): (c,d), gdy (x,y)(c,d)= (a,b). Z def. Mnożenia i równości l. zesp. wynika, że wtedy cx-dy=a i dx-cy=b.
GRANICE cd.
Def: Granicą lewostronną f-cji f w punkcie x0 nazywamy f`(x0-)= lim(Δx→0-) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.
Def: Granicą prawostronną f-cji f w punkcie x0 nazywamy f'(x0+) = lim(Δx→0+) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.
Def: Zbiór Q(x0;r) = {x∈X:|x0-x|<r} nazywamy otoczeniem punktu x0 liczbę r natomiast promieniem otoczenia. W przestrzeni jednowymiarowej otoczeniem punktu jest przedział o długości 2r.
Def: Zbiór S(x0;r) = Q(x0;r) - {xo} nazywamy sąsiedztwem punktu. W przestrzeni jednowymiarowej sąsiedztwo jest to przedział S (x0 ; r ) = (x0-r;x0)∪(x0;x+r ).
Def: Punkt x0∈X nazywamy punktem skupienia zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy dla do każdego otoczenia Q(x0;r) należy co najmniej jeden różny od x0 punkt x∈A.
TW. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A⊂Xd wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (Xn) o wyrazach należących do zbioru A-{x0}i taki, że lim(n→∞) xn=x0.
Def: Punkt x0 przestrzeni X nazywamy punktem izolowanym zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy x0∈A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbior A. (więcej zob. Przestrz. metr. I)
EKSTREMUM FUNKCJI
Niech Df zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 .
Def: Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia r, że dla każdego x∈S(x0;r) spełniona jest odpowiednia nierówność: f(x)≤f(x0) [f(x)≥f(x0)]. Jeżeli zamiast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio nierówności mocne f(x)<f(x0) albo f(x)>f(x0) to maksimum (minimum) lokalne nazywamy właściwym.
TW.(Fermata): Jeżeli f-cja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwszą pochodną to f `(x0)=0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum: F-cja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie istnieje bądź jest równa 0.
Pierwszy warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli f-cja f jest ciągła w punkcie x0 , a ponadto posiada pochodną f` na pewnym sąsiedztwie S(x0;r) przy czym f`(x)<0 dla S(x0-;r) i f`(x)>0 dla S(x0+ ;r) to f-cja f ma w punkcie x0 minimum właściwe, jeżeli natomiast spełniony jest warunek f `(x)>0 dla S(x0- ;r) i f `(x)<0 dla S(x0+ ;r) to f-cja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Drugi warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli f-cja f ma na pewnym otoczeniu Q(x0;r) pochodną do rzędu n włącznie, pochodna f(n) jest ciągła w punkcie x0, n jest liczbą parzystą, a ponadto f ( k) (x0)=0 dla k=1,2,...,(n -1) oraz f( n) (x0)≠ 0 to f-cja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy f( n) (x0)<0, natomiast minimum właściwe, gdy f( n) (x0)>0.
WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI, PUNKTY PRZEGIĘCIA
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1>0, że część wykresu odpowiadająca x∈S(x0 ; r1) znajduje się nad (pod) styczną do tej krzywej w punkcie (x0 ; f(x0)).
TW. Jeżeli f-cja f ma pierwszą pochodną na otoczeniu Q(x0;r) oraz istnieje f`'(x0)≠0 to krzywa y= f(x) jest wypukła w punkcie x0 gdy f `'(x0)>0, natomiast jest wklęsła w punkcie x0 gdy f `'(x0)<0.
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) na przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału. Wniosek: Jeżeli f ''(x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wypukła na (a;b), jeśli natomiast f `'(x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wklęsła na (a;b).
Def: Punkt P0(x0;f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y= f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P0. 2) krzywa y= f(x) jest wypukła na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i jest wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót .
TW. Jeżeli f-cja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu Q(x0;r) i spełnia dwa warunki: 1) druga pochodna w punkcie x0 jest równa zeru: f`'(x0)=0, 2) druga pochodna zmienia znak w punkcie x0. to punkt P0 (x0;f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu f-cji f .
REGUŁY DE L'HOSPITALA
TW. Jeżeli f-cje f i g różniczkowalne na sąsiedztwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) obie dążą do zera przy x→x0 tzn. lim(x→x0) f(x)=0 i lim(x→x0) g(x)=0 2) istnieje granica g (właściwa lub niewłaściwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x→x0 czyli lim(x→x0)(f'(x)/g'(x))=g to istnieje granica ilorazu tych f-cji i równa się g czyli: lim(x→x0) f(x)/g(x)=g.
TW. Jeżeli f-cje f i g różniczkowalne na sąsiedztwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) lim(x→x0)f(x)=±∞ ,lim(x→x0)f(x)=± ∞ 2) istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim(x→x0) f'(x)/g'(x)=g to istnieje granica lim(x→x0)f(x)/g(x)=g.
ASYMPTOTY
Mówimy, że prosta o równaniu x=x0 jest asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x) jeżeli choć jedna granica jednostronna f-cji f w punkcie x0 jest niewłaściwa czyli gdy lim(x→x0-) f(x)=± ∞ lub lim(x→x0+) f(x)=±∞. Mówimy, że prosta o równaniu y=mx+n jest asymptotą ukośną krzywej o równaniu y=f(x) gdy współczynniki m i n są tak dobrane, że lim(x→∞)[f(x)-(mx+n)] =0 lub lim(x→-∞)[f(x)- (mx+n)] =0.
TW. Jeżeli istn. jednocześ. gran. skoń. lim(x→-∞) f(x)/x =m ∩ lim(x→-∞) [f(x)-mx]=n lub lim(x→∞) f(x)/x=m ∩ lim(x→∞) [f (x)-mx]=n, to prosta o równ. y=mx+n jest asymptotą linii o rów. y=f(x).
SCHEMAT BADANIA FUNKCJI
1) Analiza f-cji a) określenie dziedziny f-cji oraz sprawdzenie czy f-cja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa b) znalezienie granic na końcach dziedziny i wyznaczenie asymptot. 2) Analiza pierwszej pochodnej a) określenie dziedziny pierwszej pochodnej i punktów stacjonarnych [ f `(x)=0] b) wyznaczenie przedziałów monotoniczności f-cji oraz ekstremów 3) Analiza drugiej pochodnej a) znalezienie dziedziny drugiej pochodnej i jej miejsc zerowych b) określenie przedziałów, w których f-cja jest wklęsła lub wypukła oraz punktów przegięcia wykresu f-cji 4) Sporządzenie tabeli zmienności f-cji 5) Wykonanie wykresu funkcji.
Własności f-cji ciągłych na zb. zwartym
TW.(O ciągłości funkcji odwrotnej): Jeśli f-cja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale A⊂R, to f(A) jest przedziałem oraz f-cja f-1 jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale f(A).
TW.(O ciągłości funkcji złożonej): Jeżeli f-cja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x0 i f-cja zewnętrzna h jest ciągła w punkcie u0 = f(x0) to f-cja złożona h(f(x)) jest ciągła w punkcie x0.
TW.(O wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej): Jeżeli istnieje granica właściwa lim(x→x0) f(x) = g i f-cja h jest ciągła w punkcie u0 = g to lim(x→x0) h[f(x)] = h[lim(x→x0) f(x)]= h(g).
TW.(O lokalnym zachowaniu znaku): Jeżeli f-cja f jest ciągła w p. x0 oraz f(x0)>0 albo f(x0)<0 to istn. takie otoczen. Q pktu x0, że dla każdego x∈Q∩Df spełniona jest nierówność: f(x)>0 albo f(x)<0.
TW.(Darboux): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a;b> f(a)≠f(b) oraz liczba g jest zawarta między f(a) i f(b) to istnieje taki punkt c∈ (a;b), że f(c )=g.
Ciągi rzeczywiste
Ciągiem nieskończonym nazywamy f-cję f, która odwzorowuje zbiór N na pewien niepusty zbiór Y.
Ciąg zbieżny jest ograniczony. Ciąg zbieżny jest to taki ciąg, który posiada granicę skończoną. Ciąg rozbieżny nie posiada granicy lub gran. istnieje, ale jest niewłaściwa (±∞). Jeżeli ciąg jest ograniczony to istnieje taka liczba, że wszystkie wyrazy są większe od niej i druga liczba, że wszystkie są mniejsze.
O zachowaniu nierówności stałej. Jeżeli lim(n→∞) an=a i lim(n→∞) bn=b oraz istnieje taka liczba n0 , że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność an≤bn , to a≤b. y.
Pochodna f-cji 1 zmiennej
Def: Pochodną logarytmiczną f-cji f nazyw. pochod. jej logarytmu naturalnego [ln f(x)]'=f`(x)/f(x).
TW. (O pochodnej funkcji określonej parametrycznie): Jeżeli f-cja y=g(x) jest określona parametrycznie: x=f(t); y=h(t),dla t∈(a,b). przy czym istnieją pochodne dy/dt i dx/dt≠0 to istnieją takie pochodne dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt).
Def: przyrostu f-cji: f (x0+Δx)-f(x0)≈ f`(x0)*Δx
Def: Róźniczką f-cji f w punkcie x0 i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f`(x0)*(Δx). Różniczkę oznaczmy symbolem df(x0) lub krótko df lub dy.