WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA
UNIWERSYTET SZCZECIŃSKI
ROK AKADEMICKI 2004/2005
Podstawowe informacje o przedmiocie
MATEMATYKA
dr Beata Stolorz
MATEMATYKA
Kierunek: EKONOMIA
rok I, sem. 1 i 2 (24 godz. - wykłady, 30 godz. - ćwiczenia)
Wykładowca: dr Beata Stolorz, dr Henryk Kowgier
Jednostka: Katedra Ekonometrii i Statystyki, Katedra Ubezpieczeń i Rynków Kapitałowych
Status przedmiotu: podstawowy (kanon)
Cel: Uzyskanie podstawowej wiedzy z matematyki z zastosowaniami w naukach ekonomicznych. Kształcenie logicznego myślenia.
Metody nauczania: Wykłady i ćwiczenia.
Wymagane przygotowanie: znajomość materiału z matematyki obowiązującego w programie nauczania liceum ogólnokształcącego - profil ogólny.
Pomoce dydaktyczne: Skrypty i zbiory zadań z wykładanego przedmiotu.
Forma zaliczenia przedmiotu: pisemne zaliczenie zajęć ćwiczeniowych, egzamin pisemny.
Literatura podstawowa i zalecana
Dubnicki W., Kłopotowski J., Szapiro T.: Analiza matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów., PWN, 1996
Fihtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 1-3, PWN, Warszawa 1980
Jeśmianowicz L., Łoś J.: Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1966.
Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1i 2. Przykłady i zadani, GiS, Wrocław 2002.
Klukowski J.: Algebra w zadaniach, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1991.
Matematyka dla studentów ekonomii. Skrypt US, Szczecin 2000.
Piszczała J.: Ćwiczenia z matematyki, AE w Poznaniu, Poznań 1995.
Stolarska E. : Zbiór zadań z algebry liniowej dla ekonometryków, PWN, Warszawa 1986.
TREŚĆ WYKŁADÓW Z REALIZOWANEGO PRZEDMIOTU
Rachunek zdań
Zdania proste, zdania złożone, spójniki zdaniotwórcze, prawa rachunku zdań /prawa de Morgana/, forma zdaniowa, kwantyfikatory /prawa de Morgana/.
Rachunek zbiorów
Inkluzja zbiorów, własności inkluzji, równość zbiorów, działania na zbiorach, podzbiór, zbiory liczbowe, własności wartości bezwzględnej, zbiór liczb zespolonych, postać trygonometryczna liczby zespolonej, iloczyn kartezjański zbiorów, moc zbioru, zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne własności relacji, relacja równoważności, klasy abstrakcji.
Funkcja jako relacja
Funkcja jako relacja, funkcja różnowartościowa, monotoniczna, złożenie funkcji, funkcje odwrotne, funkcje cyklometryczne, własności funkcji cyklometrycznych.
Przestrzeń liniowa i jej własności
Wprowadzenie pojęć: działania zewnętrznego, przestrzeni liniowej (wektorowej), podprzestrzeni.
Zależność i niezależność liniowa wektorów
Wprowadzenie pojęć: kombinacji liniowej wektorów, liniowej zależności oraz niezależności wektorów, rzędu układu, bazy przestrzeni, wymiaru przestrzeni.
Macierze i działania na nich. Przykłady macierzy. Ślad, rząd i wyznacznik macierzy.
Pojęcie macierzy, rodzaje macierzy (kwadratowa, symetryczna, skośnosymetryczna, diagonalna, trójkątna), działania na macierzach (dodawanie, odejmowanie, transponowanie, mnożenie przez skalar, mnożenie macierzy), pojęcie śladu macierzy, pojęcie rzędu macierzy, definicja wyznacznika macierzy (twierdzenie Laplace`a), wprowadzenie pojęć: równania macierzowego, macierzy odwrotnej.
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Wprowadzenie pojęć: układu równań liniowych, rozwiązania układu, rozwiązania zerowego, układu zgodnego, układu sprzecznego, układu oznaczonego, układu nieoznaczonego. Metody rozwiązywania układów równań liniowych: układy Cramera (rozwiązanie układów Cramera), twierdzenie Kroneckera-Capellego (pojęcia: macierzy podstawowej, rozszerzonej, niewiadomych bazowych, niewiadomych swobodnych, rozwiązania ogólnego, rozwiązania szczególnego, rozwiązania bazowego), metoda Gaussa (pojęcia: operacji elementarnych).
Pierwiastki charakterystyczne i formy kwadratowe
Wprowadzenie pojęć: wartości własnej macierzy (pierwiastka charakterystycznego), określoności macierzy kwadratowej, wielomianu charakterystycznego. Definicja równania charakterystycznego, wprowadzenie pojęć: formy kwadratowej (dodatnio określonej, ujemnie określonej, dodatnio półokreślonej, ujemnie półokreślonej, nieokreślonej). twierdzenie Sylvestra.
Przestrzenie metryczne
Definicja przestrzeni metrycznej, otoczenie punktu, sąsiedztwo punktu, punkt wewnętrzny, zewnętrzny zbioru, zbiór ograniczony.
Granica ciągu liczbowego
Definicja granicy ciągu w przestrzeni metrycznej, własności podciągów, zbiór otwarty, zbiór domknięty, własności ciągu liczbowego /monotoniczność, ograniczoność/, granice ciągu, /twierdzenie o trzech ciągach/, ciąg zbieżny, rozbieżny.
Granica i ciągłość funkcji
Definicja granicy funkcji według Hainego, Cauchy'ego, granice jednostronne, granice niewłaściwe, granice w nieskończoności, działania arytmetyczne na granicach właściwych, wzory wykorzystywane do obliczania granic, ciągłość funkcji według Hainego, Cauchy'ego.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Iloraz różnicowy, pochodne jednostronne, definicja pochodnej funkcji, własności funkcji różniczkowalnej, pochodna funkcji złożonej, podstawowe wzory na obliczanie pochodnych funkcji, różniczka funkcji, interpretacja geometryczna i ekonomiczna pochodnej i różniczki funkcji, pochodne i różniczki wyższych rzędów, zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji /twierdzenie Lagrangea, twierdzenie Rolla, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum lokalnego, najmniejsza i największa wartość funkcji, punkt przegięcia, przedziały wypukłości funkcji, tempo wzrostu funkcji/, wyrażenia nieoznaczone, Reguła de L'Hospitala, asymptoty funkcji /pionowe, poziome, ukośne/, ogólne badanie przebiegu zmienności funkcji.
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona, podstawowe wzory całkowania, całkowanie przez podstawienie, całkowanie przez części, całkowanie funkcji wymiernych, całka oznaczona Riemanna, całkowalność funkcji ciągłych, interpretacja geometryczna całki oznaczonej, własności całki oznaczonej, twierdzenie o wartości średniej, podstawowe twierdzenia rachunku całkowego /pierwsze tw. rachunku całkowego, twierdzenie Newtona-Leibnitza, o zamianie zmiennej w całce oznaczonej, całkowanie przez części/, całki niewłaściwe.
Elementy rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych
Funkcja rzeczywista wielu zmiennych, dziedzina, interpretacja geometryczna, pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji wielu zmiennych, pochodne cząstkowe funkcji złożonej, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, twierdzenie Schwarza, ekstrema lokalne, globalne funkcji wielu zmiennych, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, warunek dostateczny, twierdzenie Weierstrassa.
Szeregi liczbowe. Szereg potęgowy
Szereg liczbowy, ciąg sum częściowych, szereg zbieżny, rozbieżny, warunek konieczny, dostateczny zbieżności szeregów, suma, różnica, iloczyn szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów liczbowych /całkowe, porównawcze, ilorazowe, pierwiastkowe/, szereg naprzemienny, twierdzenie Leibnitza, szereg bezwzględnie zbieżny, szereg warunkowo zbieżny, twierdzenie Dirichleta, ciąg funkcyjny, szereg potęgowy jako przykład szeregu funkcyjnego, promień, przedział zbieżności szeregu potęgowego, kryteria zbieżności szeregu potęgowego /ilorazowe, pierwiastkowe/ rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.
TREŚĆ ĆWICZEŃ
Zagadnienia wstępne: elementy logiki, rachunek zbiorów, iloczyn kartezjański, własności relacji
Relacja równoważności, relacja jako funkcja, przestrzeń wektorowa macierzy, liniowa zależność i niezależność wektorów
Ciało liczb zespolonych, podstawowe działania na liczbach zespolonych, podstawowe działania na macierzach
Znajdowanie macierzy odwrotnej (2 sposoby), rząd macierzy, wyznacznik macierzy
Układy równań liniowych: układ Cramera, dowolny układ (tw. Kroneckera-Capelliego), układy jednorodne, rozwiązywanie układów równań metodą Gaussa
Rozwiązywanie równań macierzowych
Przykłady zastosowań równań macierzowych w ekonomii
Przestrzeń metryczna, wybrane podzbiory przestrzeni metrycznej, przestrzeń euklidesowa, granica ciągu punktów
Ciągi liczbowe: monotoniczność ciągu, obliczanie granic ciągu z definicji, obliczanie granic ciągów w oparciu o poznane twierdzenia, przykłady zastosowań granic ciągów w ekonomii
Granica według Heinego i Cauchego, obliczanie granic z definicji, obliczanie granic w oparciu o poznane twierdzenia, ciągłość funkcji
Pochodna i różniczka funkcji, pochodne wyższych rzędów, obliczanie pochodnych z definicji i w oparciu o poznane wzory
Wykorzystanie pochodnych do badania ekstremum lokalnego oraz monotoniczności funkcji jednej zmiennej, wygięcie wykresu funkcji do góry , w dół, punkty przegięcia, największa i najmniejsza wartość funkcji
Obliczanie granic funkcji w oparciu o regułę de L' Hospitala, wyznaczanie asymptot wykresu funkcji, podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Interpretacja ekonomiczna pochodnej funkcji, zastosowanie rachunku różniczkowego jednej zmiennej w ekonomii
Całka nieoznaczona: obliczanie całek funkcji jednej zmiennej przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych
Całka oznaczona: obliczanie całek oznaczonych, całka oznaczona niewłaściwa I - go rodzaju oraz II - go rodzaju, interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Przykłady zastosowań całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej w ekonomii
Funkcje wielu zmiennych: dziedzina funkcji, pochodne cząstkowe I - go rzędu funkcji dwóch zmiennych - interpretacja geometryczna, obliczanie pochodnych cząstkowych I i II rzędu funkcji wielu zmiennych , różniczka zupełna, wyznaczanie ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych
Przykłady zastosowań pochodnych cząstkowych w ekonomii
Szeregi liczbowe: badanie zbieżności szeregów liczbowych w oparciu o kryteria zbieżności: D' Alamberta, Cauchy'ego, porównawcze, całkowe, Leibniza.
Prace sprawdzające