1. Czym jest geometria wykreślna?

Geometria wykreślna stanowi matematyczną podstawę graficznego zapisu elementów przestrzeni. Jest nauką o metodach odwzorowań, które elementom przestrzeni przyporządkowują odpowiedniki - zwane obrazami - leżące na płaszczyźnie rysunku. Odwzorowanie musi być wykonane w ten sposób, aby na etapie realizacji można było jednoznacznie odczytać myśl projektanta i nadać temu projektowi odpowiednie położenie w przestrzeni i cechy geometryczne zgodne z wizją projektanta.

2. Istota odwzorowań rzutowych.

Przyporządkowanie elementom przestrzeni odpowiedników - zwanymi obrazami - leżące na płaszczyźnie rysunku.

Ustanowienie odpowiedzialności punktowej, czyli skojarzenia punktów obu powierzchni w przynależne do siebie pary.

3. Co oznacza pojęcie odwzorowanie jedno- jednoznaczne?

Jest to odpowiedniość punktowa jedno- jednoznaczna, czyli odpowiedniość spełniająca warunki:

-musi być odpowiedniością punktową, tzn. punktowi ma odpowiadać punkt, nie zaś linia albo obszar na obrazie

-mysi być odpowiedniością jednoznaczną, tzn. każdemu punktowi oryginału ma odpowiadać jeden i tylko jeden punkt obrazu,

-musi być odpowiedniością wzajemną, tzn. każdemu punktowi powierzchni obrazu ma odpowiadać jeden i tylko jeden punkt powierzchni oryginału.

4. Co oznacza pojęcie 'przestrzeń rzutowa'?

Przestrzeń rzutowa jest to przestrzeń euklidesowa E₃ wzbogacona o elementy niewłaściwe (elementy leżące w nieskończoności).

5. Na czym polega różnica między prostą niewłaściwą a prostą rzutową?

Prosta rzutowa R1 jest to prosta składająca się z uporządkowanego szeregu nieskończenie wielu punktów właściwych i jednego punktu niewłaściwego, który czyni z prostej linię zamkniętą tym punktem.

Prosta niewłaściwa- zbiór wszystkich punktów niewłaściwych należących do prostych rzutowych leżących w jednej płaszczyźnie. Powinna ona spełniać warunki:

-na każdej płaszczyźnie znajduje się jedna i tylko jedna prosta niewłaściwa l^∞

-jeżeli dwie płaszczyzny α i β są równoległe, to l_α^∞≡ l_β^∞ jeżeli nie są równoległe to l_α^∞≠ l_β^∞

6. Na czym polega różnica między płaszczyzną niewłaściwą a płaszczyzną rzutową?

Płaszczyzna niewłaściwa λ^∞ - zbiór wszystkich punktów niewłaściwych należących do prostych rzutowych wypełniających przestrzeń.

Przestrzeń rzutowa R₃ - przestrzeń w pojęciu euklidesowym E₃, wzbogacona o płaszczyznę niewłaściwą λ^∞ . Przestrzeń rzutowa składa się z nieskończenie licznych zbiorów: punktów, prostych i płaszczyzn „właściwych”- euklidesowych i jednej niewłaściwej, która zawiera wszystkie niewłaściwe punkty i niewłaściwe proste, co czyni w przestrzeni zamknięty utwór geometryczny R_3.

7. Podać definicje rzutu środkowego punktu.

Rzut środkowy punktu P - jest to P', w którym promień rzutujący SP = p przebija rzutnię. Obieramy dowolną płaszczyznę właściwą π jako rzutnię i nie leżącą na tej płaszczyźnie dowolny, ale stały punkt właściwy S (środek rzutów).

8. Dlaczego rzuty równoległe należy rozumieć jako szczególny przypadek rzutu środkowego?

Rzut równoległy jest szczególnym przypadkiem rzutu środkowego, czyli jest to taki rzut środkowy, którego środek rzutu jest punktem niewłaściwym.

9. Pojęcie rzutu cechowanego punktu.

Rzut cechowany jest rzutem równoległym, prostokątnym na jedną płaszczyznę (poziomą) zwaną rzutnią. Rzut cechowany punktu składa się z rzutu tego punktu z nazwą oraz cechy punktu wyrażającej odległość tego punktu od rzutni w przyjętych jednostkach miary. Jest rzutem kombinowanym wykreślno- analitycznym.

10. Definicja modułu prostej i płaszczyzny.

Modułem prostej nazywamy długość rzutu odcinka prostej, którego końce mają cechy różniące się o jeden. Moduł jest funkcją nachylenia prostej do rzutni.

Moduł płaszczyzny to moduł linii spadu (każda prosta płaszczyzny α, prostopadłą do warstwic).

11. Jaki jest związek między kątem nachylenia prostej a jej modułem?

Moduł jest funkcją nachylenia prostej do rzutni.

12. Co nazywamy linią warstwową?

Jeżeli płaszczyznę α przetniemy zbiorem równoległych do π i wzajemnie odległych o jednostkę miary płaszczyzn siecznych ω₁ ,ω₂ ,...ω_n , to otrzymane w ten sposób krawędzie w₁ = α ∩ ω₁ , … , w_n = α ∩ ω_n wzajemnie do siebie równoległe, poziome i przechodzące w jednakowych odległościach nazywamy liniami warstwowymi płaszczyzny α .

13. Co to jest warstwica?

Warstwicą płaszczyzny nazywamy rzut cechowany linii warstwowej tej płaszczyzny, czyli linię łączącą punkty o tej samej wartości cechy.

14. Co nazywamy planem warstwicowym powierzchni topograficznej?

Plan warstwicowy to odwzorowanie płaszczyzny w rzutach cechowanych; linie poziome należące do danych płaszczyzn, których cechy różnią się o jednostkę; rzut cechowany linii warstwowych danej płaszczyzny.
Jeśli płaszczyznę przetniemy zbiorem równoległych do   i wzajemnie odległych o jednostkę miary płaszczyzn siecznych to otrzymamy w ten sposób krawędzie wzajemnie do siebie równoległe, poziome i przechodzące w jednakowych odległościach nazywamy liniami warstwicowymi.

15. Co nazywamy profilem powierzchni topograficznej?

Profile powierzchni topograficznej- przekroje płaszczyznami rzutującymi; są stosowane przy wytyczaniu różnego rodzaju tras. Rzut cechowany takiego profilu pokrywa się z rzutem prostokątnym σ' płaszczyzny tnącej σ. Rzut prostokątny σ przecina warstwice terenu w punktach, które są rzutami cechowanymi punktów przebicia płaszczyzny tnącej poszczególnymi warstwicami powierzchni topograficznej.

16. Co nazywamy powierzchnią stokową?

Jeżeli pewną krzywą przestrzenną k przyjmiemy jako miejsce geometryczne wierzchołków stożkowych obrotowych o osiach pionowych i tych samych kątach rozwarcia (czyli równym nachyleniu tworzących), to powierzchnia styczna do każdego z tych stożków wzdłuż ich tworzących nazywa się powierzchnią stokową.

17. Dlaczego odległości między sąsiednimi warstwicami powierzchni topograficznej są zmienne a odległości między sąsiednimi warstwicami powierzchni stokowej są stałe?

?

18. Istota metody Monge'a. Pojęcie układu odniesienia.

Metoda polega na zastosowaniu rzutów prostokątnych na dwie lub więcej płaszczyzn parami prostopadłych, zwanych płaszczyznami rzutów lub rzutniami. Dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie π₁ i π₂ przecinają się po prostej x, zwanej osią rzutów i dzielą przestrzeń euklidesową na cztery sektory.

Układ odniesienia (układ przestrzenny π₁ ⊥ π₂) jest sprowadzany na płaszczyznę rysunku o obrót o 90^o np. rzutni poziomej π₁ wokół osi x do pokrycia się z rzutnią pionową π₂ i razem rzutnią π₁ zostają przeniesione na płaszczyznę rysunku.

19. Dlaczego rzut pionowy i rzut poziomy tego samego punktu leżą na prostej odnoszącej prostopadłej do osi rzutów?

Ponieważ - zgodnie z definicją rzutu prostokątnego - proste rzutujące wychodzące z tego samego punktu są prostopadłe odpowiednio do π₁ i π₂, przeto płaszczyzna σ określona przez te rzutujące jest prostopadła zarówno do π₁ jak i π₂ a tym samym σ ⊥ x_.

20. Jakie warunki geometryczne muszą spełniać rzuty: poziomy i pionowy prostych równoległych?

Jeżeli proste są równoległe to jednoimienne rzuty tych prostych są wzajemnie równoległe lub się jednoczą.

21. Jakie warunki geometryczne muszą spełniać rzuty: poziomy i pionowy prostych przecinających się?

Ponieważ punkt wspólny prostych przecinających się przynależy do obu prostych, rzuty takiego punktu muszą znajdować się na jednej odnoszącej w przecięciu jednoimiennych rzutów danych prostych.

22. Co rozumiemy pod pojęciem prostych i płaszczyzn w szczególnym położeniu?

Szczególne położenia prostych:

- prosta pozioma w
π₁

-prosta czołowa t
π₂

-prosta l
x i u⊥x

-proste b⊥π₁ i c⊥π₂

Szczególne położenia płaszczyzn:

-płaszczyzny α
π₁ i β
π₂

- płaszczyzny α ⊥π₁ i β⊥π₂

23. Co nazywamy śladem prostej i śladem płaszczyzny?

Śladem prostej nazywa się punkt przebicia się prostej z rzutnią. Ślad

pionowy oznacza się przez V, a ślad poziomy przez H z wskaźnikiem prostej, do

której dany ślad należy.

Ślad płaszczyzny jest to linia wzdłuż której płaszczyzna przecina rzutnie.

24. Ogólna klasyfikacja linii.

-tworząca

-kierująca

?

-algebraiczna (mająca równanie)(płaskie/przestrzenne np.śrubowa),

-niealgebraiczne (graficzne)(płaskie/ przestrzenne)

25. Ogólna klasyfikacja powierzchni.

-powierzchnia o stałej tworzącej - wyznaczona przez tworzącą, która nie zmienia swojego kształtu;

-powierzchnia o zmiennej tworzącej - wyznaczona przez tworzącą, która zmienia swój kształt;

-powierzchnia prostoliniowa lub prostokreślna - powierzchnie, które można utworzyć przez ruch linii prostej.

-powierzchnie krzywoliniowe lub krzywokreślne

-powierzchnie algebraiczne- powierzchnię można zapisać równaniem, wyrazić za pomocą funkcji algebraicznych

-powierzchnie niealgebraiczne

Ze względu na sposób tworzenia powierzchni wyróżnia się:

-obrotowe

-stożkowe i walcowe

-translacyjne

-klinowe

- Catalana (paraboloida hiperboliczna, konoida i cylindroida)

-powierzchnie rozwijalne- dają się nałożyć lub rozwinąć na płaszczyznę (wyróżnia się powierzchnie rozwijalne: ewolwentowe, stożkowe i walcowe)

-powierzchnie nierozwijalne

-powierzchnie skośne (wichrowate) - powierzchnie prostoliniowe nierozwijalne na płaszczyznę

26. Czym różni się linia tworzącej od linii kierującej?

? Kierująca jest równoległa do x₁₂ na π₁ a skośnie położona na π_2. Natomiast tworząca odwrotnie.

27. Co rozumiemy pod pojęciem powierzchni translacyjnej o zmiennej tworzącej (podaj przykład).

? Powierzchnia translacyjna powstaje poprzez przesuwanie się krzywej wzdłuż linii prostej (kierującej), przy czym krzywa jest w każdym położeniu równoległa do położenia pierwotnego.

28. Co rozumiemy pod pojęciem powierzchni Catalana?

Powierzchnię Catalana tworzy prosta f zmieniająca swoje położenie w przestrzeni w ten sposób, że posiada każdorazowo punkty wspólne z kierującymi k₁ i k₂ oraz zachowuje równoległość do płaszczyzny kierującej λ (wyłączając równoległość do stałej prostej, co ma miejsce w przypadku powierzchni walcowej)

29. Podaj definicję powierzchni cylindroidalnej i powierzchni konoidalnej.

Powierzchnia cylindroidalna- powierzchnia Catalana, gdy kierujące k₁ i k₂ są liniami krzywymi nierównoległymi do płaszczyzny λ.

Powierzchnia konoidalna - powierzchnia Catalana, gdy jedną z kierujących k₁ lub k₂ jest linią prostą (nazwa linii krzywej, która pozostaje drugą kierującą, określa nazwę konoidy).

30. Podaj definicję paraboloidy hiperbolicznej.

Paraboloida hiperboliczna jest to powierzchnia Catalana, gdy kierujące k₁ i k₂ są liniami prostymi.

31. Co wyróżnia paraboloidę hiperboliczną od innych powierzchni Catalana?

? Paraboloida hiperboliczna - opisuje ją tworząca stale równoległa do λ, ślizga się po dwóch prostych skośnych.

32. Co to jest aksonometria?

Aksonometria jest odmianą rzutu równoległego ( ukośnego, bądź prostokątnego względem rzutni aksonometrycznej ) . Polega on na odwzorowaniu za pomocą jednego rzutu równoległego, który ustala związki miarowe zachodzące pomiędzy elementami odwzorowywanej bryły.

33. Podział odwzorowań aksonometrycznych ze względu na kierunek rzutowania.

-aksonometria prostokątna

-aksonometria ukośnokątna (ukośna) - dzieli się na kawalerską i wojskową.

34. Co nazywamy trójkątem śladów aksonometrycznych?

Trójkąt śladów aksonometrycznych ustala położenie rzutni aksonometrycznej względem układu prostokątnego). Trójkąt śladów w aksonometrii prostokątnej ma szczególne właściwości. Mianowicie osie aksonometryczne są prostymi, na których leżą wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych. Trójkąt śladów jest zawsze ostrokątny, osie aksonometrii prostokątnej pokrywają się z kierunkami wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.

35. Czym są osie aksonometryczne?

Osie aksonometryczne są prostymi, na których leżą wysokości trójkąta śladów aksonometrycznych.

36. Co nazywamy stosunkiem skróceń aksonometrycznych?

Skrócenia aksonometryczne- liczby niemianowane λ_x λ_y λ_z wyrażające stosunki d_xⁿ d_yⁿ d_zⁿ długości odcinków d odmierzonych na osiach aksonometrycznych x y z do długości odcinków d_x d_y d_z odmierzonych na osiach układu prostokątnego x y z. Zależą one od usytuowania rzutni aksonometrycznej względem układu prostokątnego, tzn przyjętego trójkąta śladów aksonometrycznych. Wartości skróceń można wyznaczyć dokonując konstrukcji kładu rzutni lub osi na płaszczyznę rysunku.

37. Wymień trzy rodzaje aksonometrii prostokątnej.

W zależności od położenia rzutni aksonometrycznej względem układu prostokątnego

-izometria

-dimetria

-anizometria

38. Co jest charakterystyczne dla izometrii, dimetrii i anizometrii?

-izometria- gdy λ_x = λ_y = λ_z co ma miejsce wtedy gdy trójkąt śladów aksonometrycznych jest równoboczny.

-dimetria - gdy λ_x ≠ λ_y = λ_z lub λ_x = λ_y ≠ λ_z λ_x ≠ λ_z = λ_y co ma miejsce wtedy gdy trójkąt śladów aksonometrycznych jest równoramienny.

-anizometria - gdy λ_x ≠ λ_y ≠ λ_z co ma miejsce wtedy gdy trójkąt śladów aksonometrycznych jest różnobocznym.

39. Podaj i skomentuj twierdzenie Pohlkego.

Twierdzenie Pohlkego: Trzy dowolnej długości odcinki, niewspółliniowe, ale współpłaszczyznowe wychodzące ze wspólnego punktu (początku układu) zawsze można uważać jako rzut równoległy trzech równej długości odcinków odmierzonych na osiach układu prostokątnego od początku układu.

Z twierdzenia Pohlkego wynika, że w aksonometrii ukośnokątnej istnieje swoboda doboru układu osi aksonometrycznych. Wskutek przyjęcia dowolnego układu osi aksonometrycznych i odpowiednich skróceń ustalamy pewne, nieznane położenie rzutni aksonometrycznej względem układu prostokątnego oraz pewien, nieznany kierunek rzutowania.

40. Czym różni się aksonometria wojskowa od aksonometrii kawalerskiej?

Kawalerska: prostopadłość osi zu i xu, oś y jest nachylona do osi x pod kątem 30, 45 lub 60 stopni, stosunek skróceń osi z i x 1:1, a osi y 1:2/ 2:3.

Wojskowa: prostopadłość osi y i x, wszystkie skrócenia 1:1.

41. Jakie praktyczne wnioski wynikają z twierdzenia Polhkiego?

Wnioski praktyczne: Możemy przyjąć dowolny układ osi aksonometrycznych i dla tych osi dowolne stosunki skróceń aksonometrycznych a przez to zadajemy położenie rzutni aksonometrycznej względem ich prostokątnego kierunku rzutowania.

---