1. Gęstość

Gęstość ρ w danym punkcie płynu traktowanego jako ośrodek ciągły, określony jest zależnością
,

w której dm - masa elementu płynu,

dV - objętość elementu płynu.

Dla płynu jednorodnego
.

Wymiarem gęstości ρ jest L^-3M, jednostką podstawową kg/m³.

Gęstość gazu wyznaczamy z równania stanu
, w którym p - ciśnienie bezwzględne, T - temperatura bezwzględna, R - stała gazowa.

Zad 1. Naczynie o objętości V = 0,1 m³ jest wypełnione cieczą o masie m = 85 kg. Obliczyć gęstość cieczy oraz jej ciężar właściwy.

Dane: V = 0,1 m³ Szukane: ρ = ?

m = 85 kg γ = ?

Zad 2. Obliczyć gęstość mieszaniny cieczy składającej się z 30% nafty (ρ_N = 790 kg/m³) i 70 % mazutu (ρ_M = 890 kg/m³). Udziały procentowe traktować jako udziały: a) masowe, b) objętościowe.

Dane: ρ_N = 790 kg/m³ Szukane: ρ_cieczy = ?

ρ_M = 890 kg/m³

2. Ściśliwość i rozszerzalność

Ściśliwością nazywamy podatność płynu na odkształcenia objętościowe wraz ze zmianą ciśnienia. Miarą jest współczynnik ściśliwości:

Dla przyrostów skończonych można stosować zależność przybliżoną

lub po przekształceniu
.

Wymiarem współczynnika ściśliwości β jest LM^-1T², jednostką m²/N. Odwrotnością współczynnika ściśliwości jest moduł sprężystości
. Wymiar modułu sprężystości [K] = L^-1MT^-2, jednostką jest N/m².

Rozszerzalnością cieplną nazywamy podatność płynu na odkształcenia objętościowe pod wpływem zmian temperatury, Miarą rozszerzalności jest współczynnik rozszerzalności objętościowej wyrażony w 1/K (Kelvin) zależnością:

lub zależnością
po przekształceniu
.

Zad 3. Ropę naftową poddano ściskaniu w grubościennym naczyniu cylindrycznym o średnicy D. Wyznaczyć współczynnik ściśliwości i moduł sprężystości ropy naftowej, jeżeli przy wzroście ciśnienia w naczyniu od 0 do 2,5 MN/m² tłok zamykający naczynie przesunął się o Δh = 1,8 mm. Początkowa wysokość słupa ropy naftowej h = 1000 mm.

Dane: p₁ = 0 MN/m² Szukane: β = ?

p₂ = 2,5 MN/m² = 2,5⋅10⁶ N/m²

h = 1000 mm =1,0 m

Δh = 1,8 mm = 1,8⋅10^-3 m

Zad 4. W przyrządzie do wzorcowania manometrów sprężynowych wypełnionym olejem o współczynniku ściśliwości β = 6,25⋅10^-10 m²/N, tłok o średnicy d = 3 cm i skoku gwintu s = 2 mm wkręca się do cylindra o średnicy D = 30 cm i wysokości H = 20 cm. Ile obrotów należy wykonać, aby podnieść ciśnienie o Δp = 1 MPa ?

Dane: β = 6,25⋅10^-10 m²/N Szukane: Ile obrotów tłoka potrzeba aby zmienić cis. o Δp ?

s = 2 mm = 0,002 m

d = 3 cm = 0,03 m

D = 30 cm = 0,30 m

H = 20 cm = 0,20 m

Δp = 1 MPa = 1⋅10⁶ N/m²

Zad 5. Głębokościomierz Weerena stanowi stalowe naczynie składające się z dwóch części wypełnionych wodą i rtęcią. Po zanurzeniu przyrządu woda morska jest wtłaczana przez otwór w dolnej części i wypiera rtęć do komory górnej przez zawór zwrotny znajdujący się w przegrodzie rozdzielającej komory. Określić ciśnienie na dnie morza, jeżeli po opuszczeniu przyrządu, w górnej jego części o objętości V = 1000 cm³, stwierdzono obecność rtęci o masie 250 g, gęstość rtęci ρ = 13,6⋅10³ kg/m³. Ściśliwość rtęci pominąć wody β = 5,1⋅10^-10 m²/N.

Dane: V = 1000 cm³ = 1⋅10^-3 m³ Szukane: Δp, p₂ = ?

m_Hg = 250 g = 0,25 kg

ρ_Hg = 13,6⋅10³ kg/m³

β = 5,1⋅10^-10 m²/N

Zad 6. Do zbiornika ciśnieniowego o objętości 50 dm³ wpompowano 50,5 dm³ alkoholu metylowego o temperaturze 288 K. Pomijając odkształcenia zbiornika określić przyrost ciśnienia w nim. Współczynnik ściśliwości alkoholu metylowego β wynosi 0,122⋅10^-8 m²/N.

Dane: V₁ = 50,5 dm³ = 5,05⋅10^-2 m³ Szukane: Δp = ?

V₂ = 50 dm³ = 5⋅10^-2 m³

T = 288 K

β = 0,122⋅10^-8 m²/N

Zad 7. Wyznaczyć przyrost gęstości wody w temperaturze 277,15 K odpowiadający przyrostowi ciśnienia Δp = 100 at. Do obliczeń przyjąć średnią wartość współczynnika ściśliwości β = 5,1⋅10^-10 m²/N.

Dane: T = 277,15 K Szukane: Δρ = ?

Δp = 100 at = 10 MPa = 1⋅10⁷Pa

d = 1,0 m

V₂ = πd³/6 (objętość zbiornika)

T = 288 K

LEPKOŚĆ - zdolność płynówy do przenoszenia naprężeń stycznych

Przykład 1. Tłok o promieniu R₁ = 50 mm i długości l = 0,5 m przesuwa się współosiowo w cylindrze o promieniu R₂ = 51 mm. Przestrzeń pierścieniowa między tłokiem i cylindrem jest wypełniona olejem o współczynniku lepkości μ = 0,88 Pa^.s. Wyznaczyć siłę osiową potrzebną do nadania tłokowi prędkości U = 1 m/s, przyjmując, że prędkość płynu w kierunku osiowym zmienia się liniowo w poprzek szczeliny.

R R₁ u

c y

R₂

R₁

W zagadnieniu tym mamy, w uproszczeniu, dwie równoległe płaszczyzny w ruchu względnym, a ponieważ przyjęto, że prędkość zmienia się liniowo więc

gdzie: u - prędkość osiowa płynu w odległości y od nieruchomego cylindra, U - prędkość osiowa powierzchni tłoka, C - szerokość promieniowa szczeliny

Gradient prędkości jest więc stały i wynosi:

Z prawa Newtona wynika, że naprężenie styczne jest również stałe. Jego wartość wynika ze wzoru
czyli

N/m²

Powierzchnia boczna tłoka wynosi

czyli
m²

Wymagana siła F jest równa

N

Zad 8. Przestrzeń między dwoma płaskimi powierzchniami wypełniona jest olejem SAE 30 o temperaturze 30^oC. Odległość powierzchni ograniczających wynosi 24 mm. Jaka siła jest potrzebna do przeciągnięcia cienkiej płytki o powierzchni 0,37 m², przemieszczanej w oleju z prędkością 6,0 m/min jeśli płytka porusza się w odległości 0,8 mm od jednej ze ścianek.

Zad. 9. Kwadratowa płyta o boku a = 0,5 m i masie m = 0,255 kg zsuwa się ze stałą prędkością U = 0,2 m/s z płaszczyzny nachylonej pod kątem 30^o do poziomu. Wyznaczyć lepkość płynu przy założeniu, że grubość warstwy płynu, oddzielającego płytkę od płaszczyzny wynosi 12 mm.

Zad. 10. Walec o średnicy d = 0,2 m, długości l = 0,2 m i masie m = 1 kg spada swobodnie w pionowej rurze o średnicy D = 2,005 m, przy czym os walca jest również skierowana pionowo. Lepkość oleju oddzielającego powierzchnie walca i rury wynosi  = 0,1 Pa^.s. Obliczyć graniczną prędkość opadania walca.

MECHANIKA PŁYNÓW - ĆWICZENIA 1

1

h

Dh

u

d

---