Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Rozważamy zagadnienie wariacyjne polegające na wyznaczeniu ekstremów funkcjonału danych za pomocą całki
w klasie funkcji
różniczkowalnych o ciągłej i ograniczonej pochodnej na przedziale
. Wyprowadzamy równanie Lagrange'a-Eulera (równanie ekstremali funkcjonału
). Analizujemy trzy klasyczne zagadnienia wariacyjne (o najmniejszej powierzchni obrotowej, zagadnienie brachistochrony i zagadnienie izoperymetryczne).

Przypomnijmy fakt znany z teorii całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej.

Uwaga 15.1.

Jeśli
jest parametryzacją klasy
pewnej krzywej
na płaszczyźnie, to długość tej krzywej wyraża całka oznaczona:

która w szczególnym przypadku, gdy krzywa
jest wykresem funkcji zmiennej
, przyjmuje postać

Na pytanie o kształt najkrótszej krzywej łączącej dwa wyróżnione punkty na płaszczyźnie, np.
,
, każdy natychmiast odpowiada: to odcinek prostej o podanych końcach:

Intuicja podpowiada nam też, że wskazany odcinek prostej jest jedynym rozwiązaniem postawionego problemu; każda inna krzywa łącząca punkty
i
jest dłuższa. Nikt też nie ma wątpliwości, że całka wyrażająca długość krzywej
łączącej wskazane punkty, może być dowolnie duża, gdyż od punktu
do
możemy wędrować po dowolnie długiej krzywej.

Rozważmy kolejny przykład. Pamiętamy, że

Uwaga 15.2.

Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej
dookoła osi rzędnych wyraża całka oznaczona

która w szczególnym przypadku, gdy krzywa
jest wykresem funkcji zmiennej
, przyjmuje postać

Przykład 15.3.

Bryłą powstałą z obrotu dookoła osi
okręgu
,
, gdzie
, jest torus o polu

Torus

Zapytani o kształt krzywej, która w wyniku obrotu daje najmniejsze pole wśród wszystkich krzywych zaczepionych na końcach przedziału w tych samych punktach, przeważnie odpowiadamy (czerpiąc intuicję z przykładów płaskich), że to powierzchnia powstała z obrotu odcinka prostej, czyli pobocznica stożka. Jednak chwila refleksji i wspomnienie zabaw z bańkami mydlanymi każe nam zrewidować to przypuszczenie. Bańka mydlana, dzięki siłom napięcia powierzchniowego przyjmuje kształt taki, aby jej pole było możliwie najmniejsze. Rozpięta na dwóch obręczach nigdy nie przyjmie kształtu pobocznicy stożka. Czy kształt bańki rozpiętej na dwóch obręczach można opisać za pomocą wzoru?

Rozważmy bardziej ogólne zadanie. Niech

będzie całką zależną od pewnej funkcji
klasy
na odcinku o ograniczonej pierwszej pochodnej, gdzie
jest pewną funkcją o ciągłych pochodnych cząstkowych. Stawiamy problem polegający na znalezieniu takiej funkcji
, aby wartość całki
była ekstremalna (tj. najmniejsza albo największa) w zbiorze tych funkcji, których wartości na końcach przedziału
są takie same.

Niech
będzie zbiorem funkcji ciągłych na przedziale
o ciągłej i ograniczonej pochodnej na przedziale
(na końcach przedziału zakładamy istnienie skończonych granic jednostronnych pochodnej).

Konsekwencją faktu, że granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, jest następująca:

Stefan Banach (1892-1945)
Zobacz biografię

Uwaga 15.4.

Zbiór
z normą
stanowi przestrzeń Banacha (tj. przestrzeń unormowaną zupełną)

Odwzorowanie

(które zgodnie z tradycyjną terminologią nazywa się funkcjonałem działającym na przestrzeni funkcji dopuszczalnych
) jest więc określone na przestrzeni Banacha i przyjmuje wartości w zbiorze liczb rzeczywistych (który - przypomnijmy - również jest przestrzenią Banacha z normą równą wartości bezwzględnej liczby). Pamiętamy, że warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jest zerowanie się jej różniczki zupełnej (różniczki w sensie Frecheta). Okazuje się, że przy naturalnych założeniach o funkcji
odwzorowanie
jest różniczkowalne. Jesteśmy w stanie wyznaczyć tę różniczkę.

Twierdzenie 15.5.

Jeśli
jest funkcją określoną na zbiorze otwartym
o ciągłych pochodnych cząstkowych, to odwzorowanie
jest różniczkowalne w sensie Frecheta w każdym punkcie
. Wartość różniczki
na wektorze
wynosi

Definicja 15.6.

Funkcję
, która określa funkcjonał
, nazywamy funkcją Lagrange'a.

Dowód

Niech
będzie przyrostem argumentu funkcjonału
. W dowolnym punkcie
, wobec ciągłości pochodnych cząstkowych funkcji Lagrange'a, mamy

gdzie
. Wynika stąd, że funkcjonał
jest różniczkowalny w sensie Frecheta w każdym punkcie
i jego różniczka
na wektorze
przyjmuje wartość

Całkując przez części drugi składnik tego wyrażenia, dostajemy

Stąd

Rozważmy

rodzinę funkcji z przestrzeni
, które na końcach przedziału
przyjmują ustalone wartości
,
. Zauważmy, że jeśli
, to również
dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Zauważmy, że
jest podprzestrzenią afiniczną oraz

gdzie
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni
, natomiast wektor
.

Warto zauważyć, że

Uwaga 15.7.

Zacieśnieniem różniczki
do
jest

Wynika stąd

Leonhard Euler (1707-1783)
Zobacz biografię

Wniosek 15.8.

Różniczka
zeruje się na podprzestrzeni afinicznej
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
spełnia równanie

Równanie, które występuje w tezie powyższego wniosku, nazywamy równaniem Lagrange'a-Eulera.

Uwaga 15.9.

Gdy funkcjonał dany jest wzorem
, równanie Lagrange'a-Eulera zapisuje się w uproszczonej notacji

Zapis ten jednak należy rozumieć tak, jak we wyprowadzonym wzorze, tzn. gdy
jest funkcją Lagrange'a, to lewa strona
oznacza wyrażenie, które powstaje z wyznaczenia pochodnej po zmiennej
z podstawienia do pochodnej cząstkowej
odpowiednio
za
. W podobny sposób należy rozumieć też prawą stronę równania:
, która oznacza podstawienie do pochodnej
odpowiednio
za
.

Uwaga 15.10.

a) Równanie Lagrange'a-Eulera jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu (co najwyżej) drugiego.

b) Jeśli funkcja
nie zależy jawnie od zmiennej
, to równanie Lagrange'a -Eulera jest równoważne równaniu różniczkowemu rzędu (co najwyżej) pierwszego:

gdzie
jest dowolną stałą.

Dowód

Obie uwagi wykażemy w ramach ćwiczeń.

Definicja 15.11.

Każde rozwiązanie równania Lagrange'a-Eulera nazywamy ekstremalą funkcjonału
na zbiorze
. Równanie Lagrange'a-Eulera nazywa się też często równaniem ekstremali funkcjonału
. Zagadnienie polegające na wyznaczeniu ekstremów funkcjonału
nazywamy zagadnieniem wariacyjnym. Tradycyjnie wariacją funkcjonału
nazywamy różniczkę
(w sensie Frecheta) funkcjonału
. Funkcjonał
nazywa się często (zwłaszcza w mechanice) funkcjonałem działania lub całką działania.

Zwróćmy uwagę, że termin ekstremala oznacza punkt
, w którym spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
.

Większość praktycznych zagadnień wariacyjnych ma jasną interpretację fizyczną czy geometryczną, z której w oczywisty sposób wynika, że ekstremala (tj. rozwiązanie równania Lagrange'a-Eulera) jest punktem zbioru
, w którym funkcjonał
osiąga minimum czy maksimum.

Przykład 15.12.

Wyznaczymy krzywą klasy
o końcach
,
, która obracana dokoła osi poziomej tworzy najmniejszą powierzchnię obrotową. Wiemy już, że pole powierzchni obrotowej wyraża całka

Wyznaczmy więc ekstremalę tego funkcjonału na
. Funkcja
nie zależy od zmiennej
, stąd równanie równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
, gdzie
jest pewną stałą. Równanie to ma więc postać

gdzie
jest pewną stałą. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymamy

czyli

Równanie to spełnia rodzina funkcji
, gdzie
jest stałą. Stałe
i
wyznaczamy z warunków zadania, tj.

Łatwo sobie wyobrazić, że układ ten może nie mieć rozwiązania. Gdy odległość
rośnie, powierzchnia powstała z obrotu krzywej
przy ustalonych promieniach
,
może mieć pole większe niż suma pól kół o tych promieniach, tj. większe niż
. Jeśli natomiast różnica
nie jest zbyt duża, znajdziemy stałe
,
spełniające warunki zadania. Powierzchnię powstałą z obrotu wykresu funkcji
,
, nazywamy katenoidą.

Przykład 15.13.

W polu grawitacyjnym znajdują się dwa punkty
oraz
. Po jakiej krzywej powinien ześlizgiwać się bez tarcia punkt materialny, aby drogę od
do
przebyć w najkrótszym czasie?

Chwila refleksji nad zadaniem przywołuje doświadczenia narciarskie i skłania do przypuszczenia, że wśród różnych tras na ośnieżonym stoku (tarcie nart zaniedbujemy), chcąc zjechać z góry jak najszybciej (co nie oznacza, że najbezpieczniej!), powinniśmy wybrać raczej taką, która jest stroma na początku, aby dobrze się rozpędzić.

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że początek trasy znajduje się w punkcie
, tj. w początku układu współrzędnych, którego oś pionową zwracamy na dół (czyli przeciwnie, niż zwykle). Niech
. Jeśli punkt materialny znajdzie się w położeniu
, to zgodzie z prawem zachowania energii jego energia kinetyczna będzie równa zmianie energii potencjalnej
pomiędzy punktem początkowym, który znajduje się na poziomie zerowym a danym punktem na poziomie
, czyli
, gdzie
jest masą punktu materialnego, a
jest jego prędkością. Stąd po zmianie zmiennych
i zapisaniu równania w postaci różniczkowej
oraz po uwzględnieniu prawa zachowania energii (
) otrzymujemy

czyli

Stąd całkowity czas, jaki jest niezbędny, aby pokonać drogę z położenia
do
(licząc wzdłuż osi zmiennej
), wyraża całka oznaczona

Zadanie sprowadza się więc do wyznaczenia ekstremali funkcjonału

(czynnik
jest stały) w zbiorze tych funkcji
, które na końcach przedziału
przyjmują odpowiednio wartości
i
. Zauważmy, że funkcja

Lagrange'a

nie zależy od zmiennej
,

stąd rozwiązanie równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

gdzie
jest dowolną stałą. Po przekształceniu równanie to przyjmie postać:

a po sprowadzeniu do wspólnego mianownika składników po lewej stronie równości i podniesieniu do kwadratu:

Rozwiązanie
równania
można przedstawić w postaci parametrycznej:

gdzie
, a
jest kolejną stałą. Z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia mamy

stąd - po przekształceniach

czyli krzywa
spełnia równanie Lagrange'a-Eulera. Uwzględniając współrzędne początku
, otrzymujemy
. Następnie uwzględniając również koniec trasy
, wyznaczamy wartość stałej
, a co za tym idzie również stałej
. Szczegółowe obliczenia pomijamy. Zwróćmy jednak uwagę na krzywą

która jest rozwiązaniem zadania brachistochrony (czyli krzywej najszybszego spadku). Krzywą tą jest łuk cykloidy łączący punkty
i
.

Przykład 15.14.[zagadnienie izoperymetryczne]

Rozważmy rodzinę krzywych klasy
o ustalonych końcach
i
. Czy istnieje krzywa o ustalonej długości, która wraz z odcinkiem o końcach
,
ogranicza obszar o możliwie największym polu?

Zadanie sprowadza się do maksymalizowania wartości całki wyrażającej pole pod wykresem funkcji

przy warunku

który oznacza, że długość łuku krzywej
, przy
jest stała. Mamy więc zagadnienie polegające na

znalezieniu ekstremum warunkowego: ekstremum funkcjonału
na poziomicy funkcjonału
.

Korzystając z twierdzenia o funkcjonale Lagrange'a (stanowiącego ugólnienie klasycznego twierdzenia o mnożnikach Lagrange'a), można wykazać, że

Uwaga 15.15.

Jeśli funkcjonał
osiąga wartość ekstremalną przy warunku
, to istnieje stała
taka, że
jest

ekstremalą funkcjonału
.

W rozważanym przez nas przykładzie funkcjonał
ma postać:

Zwróćmy uwagę,że funkcja Lagrange'a

określająca funkcjonał
nie zależy od zmiennej
, wobec tego funkcja
spełnia równanie równoważne równaniu Lagrange'a-Eulera

gdzie
jest stałą. Dostajemy więc

które po uproszczeniu (po sprowadzeniu składników do wspólnego mianownika) przyjmie postać

lub równoważną

Równanie to spełnia rodzina funkcji
, gdzie
jest kolejną stałą (przypomnijmy, że
jest stałą, która pojawiła się z całkowania równania Lagrange'a -Eulera). Stałe
,
wyznaczymy z warunków zadania
oraz
, czyli
, skąd
, a także
. Widzimy więc, że rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja

Współrzędne punktu
wykresu funkcji
spełniają równanie

czyli równanie okręgu o środku w punkcie
i promieniu
. Rozwiązaniem problemu jest więc łuk okręgu, którego cięciwą jest dany odcinek
. Stałą
wyznaczymy z warunku
. Mamy

Stąd
jest rozwiązaniem równania

Szkicując wykresy funkcji
oraz
, możemy łatwo przekonać się, że dla
jedynym rozwiązaniem równania
jest
. Wówczas nie znajdziemy takiej stałej
, aby
. Wynika to zresztą w oczywisty sposób z interpretacji geometrycznej rozważanego zagadnienia: punktów
oraz
nie da się połączyć krzywą o długości
. Gdy
, rozwiązaniem zagadnienia jest po prostu odcinek
, który w tym przypadku ogranicza zerowe pole
, Gdy zaś
, znajdziemy rozwiązanie
równania
i weźmiemy
. Na przykład dla
mamy
, więc
. }}

W ten sposób pokazaliśmy intuicyjnie oczywisty fakt, iż

Wniosek 15.16.

Wśród krzywych o ustalonych końcach
i tej samej długości
największe pole wraz z odcinkiem
ogranicza łuk okręgu.

Test 15: Zastosowania równań różniczkowych. Elementy rachunku wariacyjnego

Przestrzeń
z normą

jest przestrzenią metryczną zupełną Dobrze

jest przestrzenią Hilberta Źle

ma wymiar skończony. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a
nie zależy od zmiennej
, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

Dobrze

, gdzie
jest dowolną stałą. Źle

. Źle

W przestrzeni
określono normę

Norma funkcji
w tej przestrzeni wynosi

Źle

Dobrze

. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a
nie zależy od zmiennej
, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

, gdzie
jest dowolną stałą. Źle

. Źle

. Źle

Równanie
, gdzie
,
przedstawia

okrąg Źle

elipsę Źle

cykloidę. Dobrze

Funkcjonał
wyraża

objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji
,
, dokoła osi rzędnych Dobrze

pole powierzchni obrotowej powstałej z obrotu wykresu funkcji
,
, dokoła osi rzędnych Źle

długość krzywej stanowiącej wykres funkcji
,
. Źle

Jeśli funkcja Lagrange'a
nie zależy od zmiennej
, to równanie Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu

Źle

gdzie
jest dowolną stałą Źle

gdzie
jest dowolną stałą. Dobrze

Ekstremalą funkcjonału
,
,
, jest

łuk okręgu o środku
i promieniu
Źle

odcinek o końcach
,
Dobrze

odcinek prostej o równaniu
. Dobrze

Ekstremalą funkcjonału
,
,
, jest funkcja

Źle

Źle

Dobrze

---