Analiza odkształceń i naprężeń w pręcie skręcanym: Naprężenia styczne w przekrojach poprzecznych, pręta są prostopadłe do pomyślanych promieni i zmieniają się proporcjonalnie do zmian promienia; z warunku równowagi rozpatrywanego pręta wynika, że suma elementarnych momentów w przekroju poprzecznym pręta równa się momentowi skręcającemu (zewnętrznemu) danego pręta.

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI W WM Analiza wrażliwości pozwala ocenić wpływ pewnych parametrów zadania na poziom naprężeń w konstrukcji. Jest ważnym działem obliczeń wytrzymałościowych.

BADANIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE Badania wytrzymałościowe SA istotną częścią mechaniki ciała odkształcalnego, potocznie zwaną wytrzymałością materiałów. Znajomość WM bez poznania podstawowych metod badawczych, wchodzących w skład tzw. Laboratoriów wytrzymałości materiałów, będzie niepełna. Rola badań w WM wynika z trzech przesłanek, są to: 1.Weryfikacja założeń teoretycznych - pozwalających na formułowanie, a następnie rozwiązywanie zadań inżynierskich. Podstawowym przykładem na tak sformułowaną rolę WM jest prawo Hooke'a. 2.Dostarczenie danych opisujących właściwości mechaniczne materiałów konstrukcyjnych. Za pomocą odpowiednich badań określa się takie podstawowe parametry wytrzymałościowe, jak granice sprężystości, plastyczności, moduły Younga, współczynniki rozszerzalności termicznej i inne. 3.Doświadczalna weryfikacja otrzymanych rozwiązań teoretycznych. Wykorzystywanie w projektowaniu metod analitycznych lub MES jest związane ze stosowaniem pewnych uproszczeń i uogólnień. W celu sprawdzenia poprawności założeń teoretycznych, poprawności przyjętego modelu geometrycznego i metody obliczeniowej konieczne są odpowiednie badania prototypów, mające na celu doświadczalne określenie maksymalnych naprężeń i odkształceń konstrukcji.

BELKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji podporowych jest większa od liczby równań statyki. Różnica pomiędzy tymi wielkościami określa stopień statycznej niewyznaczalności zadania. Ogólny schemat postępowania dla konstruowania równań dla belek: 1.Uwolnienie belki od nadliczbowych więzów oraz zastąpienie ich działania odpowiednimi siłami; 2.Wyznaczenie przemieszczeń w uwolnionych przekrojach; 3.Korzystając z warunków podparcia belki oraz z warunków nierozłączności belki wyznacza się tyle warunków dla przemieszczeń ile jest wielkości nadliczbowych, ilokrotnie zadanie jest statycznie niewyznaczalne. 4.Układ równań równowagi oraz dodatkowe równania geometryczne tworzą układ równań do rozwiązania zadania.; Do napisania równań geometrycznych dla belek statycznie niewyznaczalnych można wykorzystać metody wyznaczenia przemieszczeń: - parametrów początkowych; - superpozycji; - obciążeń wtórnych

Biegunowy moment bezwł. - nazywany sumę iloczynów elementarnych pól dA i kwadratu ich odległości od początku. Biegunowy moment bezwładności liczymy względem punktu. Osie X i Y są dowolne ale położone względem siebie pod kątem prostym. Zmiana zwrotu osi dla momentu dewiacyjnego powoduje zmianę znaku. Zmiana zwrotu osi dla momentu osiowego nie ma wpływu.

Czyste zginanie: Przypadek czystego zginania jest szczególnym przypadkiem zginania prostego. Występuje wtedy, gdy w przekroju belki na pewnej jej długości nie występują siły poprzeczne. Moment gnący zachowuje wtedy stała wartość wzdłuż osi belki. Istnieje warstwa włókien, która nie ulega ani skróceniu ani wydłużeniu warstwę tę nazywamy obojętną. Ślad warstwy obojętnej w przekroju poprzecznym nazywamy osią obojętną. Oś obojętna jest miejscem geometrycznym punktów przekroju, w których naprężenia są równe 0. Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych momentach.

Dewiacyjny moment bezwładności - figury płaskiej nazywamy sumę iloczynów elementów pól dA oraz ich odległości od obydwu osi układu współrzędnych Dewiacyjny Moment Bezwładności może być +- lub może być = 0 zależnie od usytuowania osi XY względem analizowanej figury.

EKONOMICZNE ASPEKTY OBLICZEŃ WYT. Obliczenia wytrzymałościowe SA jednym z istotnych elementów procesów projektowania. Podejmowane wówczas decyzje wpływają na końcowe koszty produktu. Projektant zmuszony jest do podejmowania decyzji kompromisowych , mając na uwadze bezpieczeństwo konstrukcji z jednej strony oraz jej koszty z drugiej. Te dwa aspekty są sprzeczne w tym sensie że zwiększenie bezpieczeństwa powoduje wzrost kosztów. Do ekonomicznych aspektów obliczeń wytrzymałościowych należą: 1.Odpowiednia wiedza teoretyczna i praktyczna w obszarze wybranej inżynierskiej działalności zawodowej; 2. Systemowe podejście do rzeczywistości pozwalającym widzieńswoje działanie i jego skutki; 3. Uwzględnianie w swojej działalności inżynierskiej faktu, że podejmowane dzisiaj decyzje powodują skutek w tzw czasoprzestrzeni; 4. Nabycie umiejętności podejmowania decyzji kompromisowych z uwzględnieniem odpowiednio skalkulowanego ryzyka; 5. Stosowanie w pracy metod optymalnego projektowania; 6. Wykorzystywanie najnowszych osiągnięć naukowych i technicznych w zakresie metod projektowania, nowych materiałów i technologii. Niektóre czynniki wpływające na współczynniki bezpieczeństwa: 1.Niedokładność obliczeń-ograniczenie analityczne, nieumiejętne stosowanie nowych metod np.MESu. 2.Uwzględnienie w obciążeniach losowego charakteru obciążeń i zmienności obciążeń. 3.Zmęczenie mat.(karby, złe wykonanie, zmienne obić); 4.Udarowe obciążenia(mogą przekroczyć kilkudziesięciokrotnie σ w stosunku do obciążeń statycznych); 5.Sprężenia naprężeń wywołane: gwałtownymi zmianami przekroju spowodowanymi błędną obróbką skrawaniem; 6.Spiętrzenie wywołane niejednorodnością mat powstałą podczas odlewania i wytwarzania (wady, wtrącenia, pęknięcia); 7.Warunki eksploatacji (korozja, zużycie); 8.Naprężenie wstępne powstałe podczas obróbki cieplnej (hartowania) błędy wykonawcze i montażowe.

Główne momenty bezwładności. Momenty bezwładności obliczone względem głównych osi bezwładności osiągają wartości ekstremalne i są głównymi momentami bezwładności. J₁ = J_max > J₂ = J_min; Kąt α0 wyznacza kierunek J_1, gdy J_x> J_{y .,} natomiast gdy J₁< J_y, kąt alfa0 wyznacza kierunek J_2.. Obliczając momenty bezwładności figur płaskich spotykanych w praktyce inżynierskiej, warto pamiętać o tym, że suma osiowych momentów bezwładności względem dowolnie usytuowanych osi jest zawsze taka sama. Każda figura posiada nieskończenie wiele środkowych momentów bezwładności ale tylko dwa z pośród nich są głównymi i centralnymi. Jeżeli figura posiada przynajmniej jedną oś symetrii to głównie centralne momenty bezwładności tej figury są to momenty liczone względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi środkowych, z których przynajmniej jedna jest osią symetrii.

Hipoteza Hubera Zgodnie z tą hipotezą, o wytężeniu próbki decyduje nie ta część energii, która idzie na odkształcenie objętościowe, lecz jedynie ta część, która idzie na odkształcenie postaci. Podobnie otrzymamy:
Stosuje się ją dla materiałów plastycznych i podobnie naprężenie σ ₁ jest większe od granicy plastyczności.
Widzimy, że każda hipoteza inaczej odpowiada na pytanie, jakie naprężenia w trójosiowym stanie obciążeń są podobnie niebezpieczne dla próbki, jak odpowiednie naprężenia przy jednoosiowym rozciąganiu.

HIPOTEZA MAX. W myśl tej hipotezy, o wytężeniu materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała. Hipoteza ta ma znaczenie praktyczne i jest stosowana do obliczeń wytrzymałościowych konstrukcji maszyn, w których są wykorzystane materiały z wyraźną granica plastyczności i mające równa wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie.

Hipotezy wytrzymałościowe mają odpowiedzieć na pytanie, jak przebiega mechanizm zniszczenia materiału w różnych warunkach obciążenia.

Koło Mohra jest popularna nazwą graficznego wyznaczania zarówno kierunków oraz składowych naprężeń głównych i maksymalnych naprężeń stycznych jak też naprężeń na brzegu elementarnego trójkąta o normalnej odchylonej o kąt φn od osi x.

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH MES polega na odejściu od ciągłego modelu konstrukcji na rzecz jej podziału na skończoną liczbę ściśle zdefiniowanych elementów (skończonych). Podział konstrukcji na elementy nazywa się dyskretyzacją konstrukcji, która ciągły model obliczeniowy zastępuje pewną skończoną liczbą elementów. Praktycznie stosowanie MES wymaga przede wszystkim dogłębnej znajomości wytrzymałości materiałów, jak również podstaw metod numerycznych i znajomości technik komputerowych. Niemożliwe jest traktowanie MES jako jednego z wielu narzędzi informatycznych, wymagającego jedynie znajomości posługiwania się komputerem. Sposób postępowania w MES w obliczeniach wytrzymałościowych jest nastepujący: 1.Rozpatrywaną konstrukcję dzieli się na odpowiednio dobrane elementy złożone o zdefiniowanym kształcie i właściwościach połączone ze sobą w określonych punktach - węzłach. 2.Dla każdego elementu na podstawie warunków zewnętrznych (obciążeń, sił masowych, temp itp.) określa się równoważne im wartości przyłożone w poszczególnych węzłach w postaci np. sił skupionych. Wszystkie zalezności opisujące geometrie i właściwości materiałowe tworzą zbiór tzw. Lokalnych macierzy sztywności. 3.Dla całej konstrukcji przez odpowiednie sumowanie ustala się zbiorczy układ równań wiążących zadane wielkości węzłowe z poszukiwanymi niewiadomymi we wszystkich węzłach konstrukcji. W wyniku sumowania otrzymuje się tzw. Globalną macierz sztywności, będącą matematycznym opisem całej konstrukcji. 4.Rozwiązanie otrzymanego układu równań pozwala na wyznaczanie poszukiwanych wielkości dla wszystkich węzłów. 5.Na podstawie otrzymanych rezultatów w poszczególnych węzłach oblicza się wartości węzłowe naprężeń i odkształceń, inne poszukiwane wielkości oraz ich przybliżone wartości wewnątrz elementów.

Model nominalny (fizyczny) w sposób uproszczony powinien wiernie przedstawiać badany fragment rzeczywistości (muszą być spełnione prawa podobieństwa modelowego). Korzysta on ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uproszczenia, będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów, muszą być w modelu nominalnym odpowiednio uzasadnione i doświadczalnie zweryfikowane.

Moment bezwładności zależy od: - wielkości pola, - położenia pola w stosunku do osi względem której mom. bezwładności liczymy.

Naprężenia dopuszczalne. Warunek wytrzymałościowy. WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY: σmax ≤ σdop; Warunek wytrzymałościowy stanowi podstawę obliczeń wytrzymałościowych na naprężenia dopuszczalne. Korzystanie z niego umożliwia zrealizowanie obu zadań wytrzymałości materiałów, czyli: - określenie dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o znanych wymiarach, - określenie koniecznych wymiarów konstrukcji dla zadanego obciążenia. Naprężenia, które mogą występować bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i sztywności nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.

Naprężenia normalne: Są one powodowane przez moment zginający. Założenia: 1.Hipoteza płaskich przekrojów. 2.W zginanej belce istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działanie momentu zginająceho. W warstwie obojętnej włókna ulegają odkształceniom. 3.Naprężenia normalne występują tylko w przekrojach poprzecznych belki. W przekrojach podłużnych przy czystym zginaniu nie występują żadne naprężenia.

Naprężenia styczne: τ = T*Sz / Iż *b(y); Sz- moment statyczny powierzchni znajdującej się nad rozpatrywanym przekrojem; Warunek wytrzymałościowy na zginanie: σ max = M/W ≤ σ dop; Warunek wytrzymałościowy na ścinanie: τ max = T * S max / Iż * b ≤ τ dop

Naprężenia termiczne i naprężenia montażowe w układach prętowych. Naprężenia termiczne: Pod wpływem zmian temperatury elementy konstrukcyjne zmieniają swoje wymiary. Zmianę długości pręta obliczyć można z następującej zależności: ∆lt = α x l x ∆T. Współczynnik rozszerzalności liniowej α jest cechą charakterystyczną materiału. Pręt poddany działaniu temperatury, będący elementem układu prętów, oddziałuje na sąsiednie pręty. Całkowite odkształcenie pręta jest sumą odkształcenia termicznego i odkształcenia sprężystego, wywołanego siłami powstałymi na skutek oddziaływania sąsiadujących prętów. Odkształcenie to można obliczyć z zależności: ∆l=(±∆lt ±∆ln), gdzie: ∆lt - wydłużenie termiczne, ∆ln - wydłużenie sprężyste, zgodne z prawem Hooke'a. Naprężenia montażowe Poszczególne elementy dużej, złożonej konstrukcji są wykonywane z odchyłkami wymiarowymi, założonymi przez konstruktora. W wyniku niekorzystnego zbiegu okoliczności suma tych odchyłek może spowodować powstanie luzu montażowe- go, który w czasie montażu konstrukcji musi być „zlikwidowany” przez działanie dodatkowych sił. Powoduje to powstanie w konstrukcji dodatkowych naprężeń, zwanych naprężeniami montażowymi. W krańcowym przypadku konstrukcja mająca spełniać określone zadania (np. przenosić obciążenia) już w czasie montażu może ulec zniszczeniu. Najczęściej spotykaną przyczyną luzów montażowych jest nieprzestrzeganie ustalonych warunków konstrukcyjnych i technologicznych w wyniku lekceważenia zasad sztuki inżynierskiej.

Obciążenia proste: 1)Rozciąganie (ściskanie) - gdy działa tylko jedna siła N ; siła N jest skierowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą dodatnią, powodująca rozciąganie ( znak +) ; siła N skierowana do wewnątrz powoduje ściskanie (znak -); 2)Ścinanie - gdy działa jedna z sił poprzecznych Ty lub Tz; 3) Skręcanie - gdy działa moment skręcający Mx; 4)Zginanie - gdy działa jeden z momentów zginających ; moment Mz powoduje zginanie przekroju w płaszczyźnie XY ( pionowej) , natomiast moment My zginanie w płaszczyźnie XZ ( poziomej); Złożone przypadki obciążeń są kombinacją wymienionych wyżej prostych obciążeń.

Odkształcenia i przemieszczenia W wyniku działania sił ciało odkształcalne ulega odkształceniom, deformacjom. Poszczególne punkty obciążonego ciała zmieniają swoje położenie. Do określenia zmiany „ położenia” tych punktów wykorzystuje się odkształcenia i przemieszczenia ciała.; Przemieszczenie ciała jest wywołane jego odkształceniami, są funkcja tych odkształceń. Rodzaje odkształceń : - liniowe - są określane jako odległość określana między pewnym punktem ciała nieodkształconego i tym samym punktem ciała odkształconego; - kątowe - są określane za pomocą kąta zawartego pomiędzy dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatrywanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształceniu.

OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAŁOŚCI ZŁOŻONEJ Przykładem ogólnego przypadku wytrzymałości złożonej mogą być przestrzenne konstrukcje prętowe obciążone siłami skupionymi, obciążeniami ciągłymi oraz momentami. Na skutek zmiany kierunku osi pręta zmienia się charakter siły wewnętrznej wywołanej przez daną siłę zewnętrzną. W tej sytuacji bardzo ważnym elementem rozwiązywania zadania jest kontrolowanie ciągłości wykresów sił wewnętrznych wywołanych danym obciążeniem- od pkt przyłożenia aż do utwierdzenia. Najczęściej przyjmuje się że momenty zginające rysuje się po ściskanej stronie pręta. Bardzo ważne również są stosowane znaki.

OGÓLNY PRZYPADEK WYTRZYMAŁOŚCI ZŁOŻONEJ Przykładem ogólnego przypadku wytrzymałości złożonej mogą być przestrzenne konstrukcje prętowe obciążone siłami skupionymi, obciążeniami ciągłymi, oraz momentami. W przestrzennych konstrukcjach prętowych znaczenia nabiera sprawa określania znaków sił wew. Założenia stosowane przy zginaniu płaskim tracą tutaj swoje znaczenie. Najczęściej przyjmuje się, że momenty zginające rysuje się po ściskanej stronie pręta. W przypadku momentów skręcających należy zaznaczyć znaki dla rozróżnienia momentów działających w przeciwnych kierunkach.

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI W optymalnym projektowaniu konstrukcji stosowanie procedur optymalizacyjnych jest jednym z podstawowych narzędzi decyzyjnych. Rozwiązaniem optymalnym jest takie, które jest lepsze od innych przez porównanie pewnych parametrów zwanych kryteriami optymalizacyjnymi. Podstawowym kryterium jest koszt konstrukcji. Podstawą optymalizacji jest przyjęcie odpowiedniego kryterium. Pojęciem związanym z optymalizacją są również zmienne decyzje. Każda konstrukcja jest opisana zbiorem parametrów (liczb, funkcji), spośród których wybiera się tę na które konstruktor chce lub może mieć wpływ i które chce dobrać w procedurze optymalizacyjnej. Każda konstrukcja musi spełniać wiele warunków ograniczających jej działanie. Podstawowymi ograniczeniami są warunki wytrzymałościowe, statecznościowe. Odkształceniowe, drganiowe itd. dodatkowymi ograniczeniami są warunki technologiczne i konstrukcyjne. Korzystając z powyższych pojęć buduje się model optymalizacyjny konstrukcji. Dysponując modelem optymalizacyjnym można rozwiązać zadanie stosując wyspecjalizowane numeryczne procedury optymalizacyjne.

Osiowym momentem bezwładności figury płaskiej względem osi X lub Y nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dA i kwadratu ich odległości od danej osi.

Płaski stan naprężenia w punkcie cechuje to, że wektory naprężeń przyporządkowane wszystkim płaszczyznom przecięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie zwanej, płaszczyzną stanu naprężenia. Wówczas w macierzy naprężeń wszystkie jej elementy w jednym wierszu (kolumnie) mają zerowe wartości.

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości. - Osiowe rozciąganie Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E.

Reakcje - czyli siły bierne stanowią wynik oddziaływania więzów i zależą od warunków, w jakich znajduje się dane ciało.

Równanie różniczkowe linii ugięcia. Równania różniczkowe linii ugięcia belki mają postać:
;
;
; Po ponownym scałkowaniu otrzymamy linię ugięcia:
;

RÓWNANIE TRZECH MOMENTÓW Dzięki metodzie zwanej równaniem trzech elementów można stosunkowo łatwo obliczać belki składające się z kilku przęseł. W tej metodzie wielkościami statycznie niewyznaczalnymi są momenty podporowe. Dodatkowe równania geometryczne otrzymuje się z warunku zgodności kątów obrotu na poszczególnych podporach. Metoda ta opiera się cna metodzie obciążeń wtórnych, służącej do wyznaczania przemieszczeń belek statycznie wyznaczalnych. Równanie trzech momentów dotyczy dwóch przęseł, będących częścią belki wieloprzęsłowej. Analizowane podpory są oznaczone kolejno: n-1, n oraz n+1. Równanie trzech momentów ma postać: M _n-1 l_n + 2M_n(l_n+l_n+1)+ M _n+1 l _n+1 = - 6Ω_na_n / l_n - 6Ω_n+1b_n+1/ l_n+1.

SIŁA - to pojęcie pierwotne, wynik wzajemnego mechanicznego oddziaływania na siebie co najmniej dwóch ciał. Siła jest wektorem umiejscowionym (przesuwnym, związanym) stąd do jej określenia jest potrzebna znajomość wartości liczbowej, kierunku działania i zwrotu , natomiast punkt przyłożenia podlega nieco odrębnym prawom. Podział sił: - zewnętrzne - siły przyłożone do punktów materialnych ( ciał) rozpatrywanego układu, wywieranymi przez inny układ punktów materialnych (inne ciało); - wewnętrzne - siły wzajemnego oddziaływania między punktami materialnymi ( ciałami) w rozpatrywanym układzie.; - skupione - siła przyłożona do punktu geometrycznego ( ściślej -do powierzchni bardzo małej w stosunku do wymiarów ciała.); - rozłożone: * siły powierzchniowe rozłożone na całej powierzchni ciała materialnego lub jej części; * siły objętościowe (masowe), rozłożone w całej objętości; * siły rozłożone wzdłuż linii.

Siły zewnętrzne i wewnętrzne: a)Siły zewnętrzne -to siły działające na ciało - konstrukcje lub jej element. - Siły czynne - P przyłożone na powierzchni ciała i pochodzące od zewnętrznych obciążeń, oraz siły przyłożone wewnątrz ciała, na przykład siła grawitacji G (ciężar ciała) lub siła bezwładności. - Siły bierne - reakcje w miejscu styku konstrukcji z podłożem lub elementu z innym elementem w węźle R_i. b) Siły wewnętrzne są wynikiem oddziaływania jednej części ciała oddzielonej myślowym przekrojem na drugą. Dla ujawnienia sił wewnętrznych korzysta się z tzw. Zasady myślowych przekrojów. Siły wewnętrzne : N - siła normalna (osiowa); Ty, Tz - siły poprzeczne ( tnące, ścinające); Mx- moment skręcający; My, Mz - momenty zginające;

Skręcanie wałów okrągłych- naprężenia, kąt obrotu, zadania statycznie wyznaczalne, zadania statycznie niewyznaczalne. Skręcanie wałów o przekroju nieokrągłym - omówienie. Skręcanie występuje gdy para sił tworząca moment leży na płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem. Przy skręcaniu wałów można napisać tylko jedno równanie statyki: sumę momentów względem osi wału. W opisie mechanizmu odkształcania wału o przekroju okrągłym wykorzystuje się tzw. HIPOTEZĘ PŁASKICH PRZEKROJÓW. Wg. niej przekroje poprzeczne wału pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół osi wału o niewielki kąt. Hipoteza ta pozwala na określenie warunków geometrycznych opisujących odkształcanie okrągłego wału. Została potwierdzona doświadczalnie. I-biegunowy moment bezwładności, G*I- sztywność przekroju na skręcanie, W-wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, τ=M/W-naprężenie,ϕ=M*L/G*I kąt skręcania wału

SPOSÓB CLEBSCHA: Przy określonym porządku zapisywania i całkowania równań różniczkowych odkształconej osi belki można zredukować ilość dowolnych stałych całkowania do liczby dwóch: C i D. Równość między sobą dowolnych stałych całkowania (C1 = C2=...= C i D1 = D2 = ... = D ) jest możliwa przy spełnieniu następujących warunków: 1. odcięte we wszystkich przedziałach powinny być liczone od jednego i tego samego początku układu współrzędnych - skrajnego lewego (lub prawego) punktu osi belki; 2. wszystkie składowe w wyrażeniu na moment gnący w przedziale poprzednim powinny powtórzyć się bez zmian w wyrażeniu na moment gnący dla przedziału następnego; warunek ten może byc spełniony, jeżeli przy zapisywaniu równania momentów w poszczególnych przedziałach belki będziemy rozpatrywać tę część belki, która zawiera w sobie początek układu współrzędnych; 3. w przypadku działania obciążenia rozłożonego w sposób ciągły kończącego się w określonym punkcie belki spełnienie warunku (2) wymaga doprowadzenia tego obciążenia do końca belki z jednoczesnym dodaniem na tym odcinku równoważnego mu obciążenia o zwrocie przeciwnym; 4. wszystkie nowe dochodzące człony w wyrażeniu na moment gnący dla dalszych przedziałów (odcinków belki) powinny zawierać mnożnik (x-a), gdzie a - suma długości wszystkich poprzednich przedziałów (odcinków); 5. w przypadku działania w pewnym przekroju belki pary o momencie M (moment skupiony) warunek (4) będzie spełniony, jeśli w wyrażeniu na M(x) wielkość M będzie pomnożona przez (x-a)0, a - część długości belki od początku układu współrzędnych do punktu przyłożenia M; 6. całkowanie równania różniczkowego powinno przebiegać bez rozwijania wyrażeń w nawiasach.

Stan jednoosiowy naprężenia jest standardowym i dobrze poznanym w próbie osiowego rozciągania stanem odniesienia. W realnych konstrukcjach występuje on sporadycznie, regułą jest tu raczej złożony stan naprężenia.

Statyczna próba rozciągania i jej znaczenie w WM: Statyczna próba rozciągania metali (zwana dalej próbą rozciągania) jest jedną z podstawowych prób stosowanych dla określenia własności mechanicznych metali. Z próby tej wyznacza się własności wytrzymałościowe i plastyczne (technologiczne) badanego materiału. Z badanego materiału pobiera się próbki, które po zamocowaniu w maszynie wytrzymałościowej, poddaje się rozciąganiu - aż do zerwania. Równocześnie poprzez pomiar sił i wydłużenia próbki otrzymujemy wykres rozciągania, na którym można wyróżnić granicę sprężystości, plastyczności oraz moment zerwania próbki.

TWIERDZINIE STEINERA ( równoległe przesunięcie osi ) Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka ciężkości o określoną wartość jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami. Moment dewiacyjny jest równy momentowi dewiacyjnemu względem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i obu składowych równoległego przesunięcia. Twierdzenie Steinera ma następującą postać: J_x = J_x0 + Aa²; J_y =J_y0 + Ab²; J_xy = J_x0y0 + Aab;

Układy prętowe - siły, związki geometryczne, odkształcenia. Układy prętowe statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne. Równania geometryczne. - Układ prętowy to konstrukcja złożona z prętów prostych lub krzywoliniowych (łuki), połączonych ze sobą i z podłożem w sposób sztywny lub przegubowy.; Za pręt można przyjąć taki element konstrukcyjny, którego dwa wymiary, charakteryzujące przekrój poprzeczny, są znacznie mniejsze od trzeciego - charakteryzującego długość. - Analizując statykę konstrukcji prętowych, przyjmuje się tzw. schemat statyczny konstrukcji, który jest wyidealizowanym rysunkiem konstrukcji, zawierającym jedynie informacje ważne z punktu widzenia wytrzymałościowego. W schemacie statycznym rysujemy tylko oś pręta (miejsce geometryczne punktów będących środkami ciężkości przekrojów pręta). - Aby unieruchomić daną konstrukcję należy jej odebrać wszystkie stopnie swobody (na płaszczyźnie dla bryły sztywnej trzy stopnie swobody w przestrzeni sześć) poprzez nałożenie na nią odpowiednich więzów.; Realizuje się to przez połączenie konstrukcji z nieodkształcalnym podłożem za pomocą podpór. Siły przekazywane z podłoża na konstrukcję poprzez podpory nazywamy siłami reakcji. Budując schemat statyczny konstrukcji, zakładamy, że podpory są przyłożone do osi pręta.

Warunek wytrzymałościowy na skręcanie: τ max=M/W ≤ τ dop; Warunek na sztywność ϕ ≤ ϕ dop Dokładne wartości kąta skręcenia określa się na podstawie warunków konstrukcyjnych i technologicznych wału. - Skręcanie wału o przekroju nieokrągłym: Skręcanie to jest bardziej skąplikowane niż w przyapdku wałów okrągłych. Przekroje poprzeczne podczas skręcania ulegają deplanacji (wypaczeniu) co uniemozliwia zastosowanie hipotezy płaski przekrojów. W skręcaniu swobodnym przekró j pręta odkształca się swobodnie w kierunku osiowym.

Warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił: aby dowolny układ sił o liniach działania leżących w jednej płaszczyźnie był w równowadze, wektor główny tego układu oraz moment główny tego układu muszą być równe zeru. Spełnienie warunku geometrycznego jest możliwe tylko wtedy, gdy zerować się będą rzuty wszystkich sum algebraicznych tego układu. Trzy algebraiczne warunki równowagi: F_1x +F_2x + ...F_nx = ΣF_ix = 0 - suma rzutów wszystkich sił na kierunek poziomy osi x; F_1y + F_2y +.. F_ny = ΣF_iy = 0 - suma rzutów wszystkich sił na kierunek pionowy; M₀ = M₀₁ + M₀₂ + ..M_0n = Σⁿ_i=1 M_0i = 0 - suma momentów dowolnego punktu względem punktu 0. Warunki równowagi płaskiego układu sił równoległych: są dwa konieczne warunki do spełnienia aby płaski układ sił równoległych znalazł się w równowadze: 1.zerowanie się siły wypadkowej układu W =Σⁿ_i=1 F₁ =0; suma algebraiczna momentów wszystkich sił tego układu względem dowolnego punktu zero ma być równa zero Σⁿ_i=1 M_i0 = Σⁿ_i=1 F_ixi = 0. Przestrzenny układ  sił jest w równowadze, jeżeli  sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu równe są zeru i sumy momentów wszystkich sił względem trzech osi układu są równe zeru.
Mechanika ciała sztywnego: zajmuje się wyznaczaniem reakcji. Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki o praktycznym, inżynierskim charakterze. W rozwiązywaniu konkretnych zadań wykorzystuje się pewne uogólnienia i uproszczenia. Uproszczenia dotyczą opisu właściwości materiału i opisu kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki uproszczeniom rzeczywisty obiekt zostaje przekształcony w pewien model, który umożliwia rozwiązanie problemu za pomocą określonego schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy) musi zachowywać istotne dla rozwiązywanego problemu cechy i właściwości rzeczywistego obiektu.

Więzy - są to warunki ograniczające swobodę poruszania się ciał. Najczęściej są to warunki geometryczne, pozwalające na podział ciał na swobodne i nieswobodne.

Własności mechaniczne matariałów konstrukcyjnych: Własności mechaniczne, są to cechy związane z wytrzymałością materiału na działanie różnego rodzaju sił zewnętrznych, są kryterialnymi wielkościami w doborze materiałów. Poznanie własności materiałów nie jest wystarczające do oceny ich przydatności do określonego celu. Niezbędne jest tu jeszcze poznanie wpływu różnych czynników, np. temperatury, czasu, sposobu i wielkości obciążenia, kształtu i wymiarów przedmiotu, na zmiany tych własności. Metody badań własności mechanicznych możemy podzielić na dwie grupy: - własności technologiczne, decydujące o przydatności materiałów do określonej obróbki; - własności wytrzymałościowe, do wyznaczania, których niezbędna jest znajomość siły lub momentu sił, jako jednej z wielkości mierzonych podczas badania. Wyniki badań są wykorzystywane przez konstruktorów w procesie projektowania elementów konstrukcyjnych.

Współczynnik bezpieczeństwa. Współczynnik bezpieczeństwa n - liczba mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn.
Podczas projektowania wprowadza się współczynnik bezpieczeństwa, ponieważ z reguły nie jest możliwe dokładne określenie wszystkich możliwych obciążeń konstrukcji, metody obliczeniowe cechuje pewien błąd, materiały nie są idealnie jednorodne a ich parametry cechuje pewien rozrzut, mogą wystąpić niedokładności związane z technologią wykonania, a elementy ulegają zużyciu, korozji, itp. Współczynnik bezpieczeństwa zależy od rodzaju zastosowanego materiału, przeznaczenia zastosowanego elementu, czasu pracy, warunków pracy, grubości materiału itd.

WYBOCZENIE KONSTRUKCJI Wyboczenie, czyli tzw utrata stateczności, prowadzi do nieuniknionego fizycznego zniszczenia materiału. Utrata stateczności prowadzi do groźnych katastrof budowlanych jak zawalenie się budynków, mostów itd.

Wykresy sił poprzecznych i momentów zginających. Charakterystyczne cechy wykresów sił wewnętrznych . Wykresy sił tnących T i momentów gnących M_g, aby je wykonać należy: - ustalić przedmioty zmienności funkcji sił poprzecznych i momentów gnących, - wyznaczyć reakcję podpór, - ustalić analitycznie funkcję sił poprzecznych i momentów gnących we wszystkich przedziałach, - wyznaczyć konkretne wartości tych wielkości potrzebnych do sporządzenia wykresu, - sporządzić wykres

Wytężenie materiału jest to ogół zmian w stanie fizycznym ciała wywołanych obłażeniem prowadzącym do powstania trwałych odkształceń i naruszenia spójności materiału. Wytężenie materiału może stanowić podstawę do określenia stopnia oddalenia danego materiału od stanu niebezpiecznego.

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA. W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone przypadki obciążeń konstrukcji, gdzie do prawidłowego rozwiązania jest potrzebna znajomość przypadków prostych. Najczęściej spotykane przypadki to: zginanie ukośne, zginanie połączone z rozciąganiem, zginanie połączone ze skręcaniem, ogólny przypadek wytrzymałości złożonej. Zginanie ukośne: jest bezpośrednio związane ze zginaniem prostym. Występuje gdy wektor momentu zginającego belkę nie pokrywa się z kierunkiem żadnej z osi symetrii. Zginanie ukośne można traktować jako sumę zginania prostego w płaszczyźnie pionowej oraz poziomej. Zginanie i skręcanie: wspólne działanie zginania i skręcania jest najczęściej spotykanym przypadkiem wytrzymałości złożonej. W ten sposób są obciążone wały maszyn, pojazdów, skrzyni biegów itd. Ten rodzaj wytrzymałości złożonej charakteryzuje się niejednorodnym rozkładem naprężeń -moment zginający powoduje powstanie naprężeń normalnych, moment skręcający naprężeń stycznych.

Zadania statycznie niewyznaczalne - stopień statycznej niewyznaczalności, więzy nadliczbowe (hiperstatyczne), równania geometryczne: W stat. niewyz. należy określić STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI. Jest to różnica między niewiadomymi a równaniami statycznymi. Następnie utworzyć odpowiednią ilość równań geometrycznych. Znaki + i - w równaniach stat. W zadaniach stat. niewyznaczalnych należy konsekwentnie stosować oznaczenia takie jak w założeniach ponieważ układ równań jest uzupełniony o dodatkowe równania geom. Pozwala to na ocenę słuszności założeń co do kierunków sił przyjętych w równaniach stat.

Zadania statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne w WM. W wytrzymałości materiałów przeważają zagadnienia statycznie niewyznaczalne, tzn. takie, gdzie liczba niewiadomych przekracza liczbę równań równowagi, które mogą być napisane dla tego zagadnienia. Różnica między liczbą niewiadomych a liczbą równań równowagi określa tzw. stopień statycznej nie- wyznaczalności zadania. Zadania statycznie wyznaczalne to takie, w których liczba równań równowagi nie przekracza liczby zmiennych.

Zasada de Saint- Venanta (prawo o lokalnym charakterze działania sił skupionych): Jeżeli siły obciążające powierzchnie ciała zostaną zastąpione innym układem sił statycznie równoważnym poprzedniemu, to zmiana wartości i rozkładu naprężeń nastąpi jedynie w najbliższym otoczeniu punktu przyłożenia obciążenia. W odległości dostatecznie dużej w porównaniu z liniowymi wymiarami ciała wpływ sposobu przyłożenia obciążenia jest znikomy i do pominięcia.

Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu myślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji myślowego (wirtualnego) rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki temu rozdzieleniu ujawniają się siły wewnętrzne, które musza być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na rozpatrywana część ciała.

Zasada superpozycji. Jeśli przyjmie się że obciążenie jest przyczyną , a odkształcenie skutkiem, to liniowa zależność pozwala na sformułowanie tzw. Zasady superpozycji. Zasada ta brzmi : Rezultaty działania kilku sił sa równe sumie (algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów, otrzymywanych w wyniku działania każdej siły oddzielnie.

Zasady statyki ciała sztywnego: 1)Dwie siły przyłożone fo ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, SA przeciwnie skierowane i maja te same wartości liczbowe.; 2)Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do tego układu zostanie dodany lub odjęty dowolny układ równoważących się sił ( tzw. Układ zerowy); 3)Dowolne dwie siły P1 i P2, przyłożone do jednego punktu można zastąpić siłą wypadkowa R przyłożona do tego punktu i przedstawiona jako wektor będący przekątna równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił.; 4)(działania i przeciwdziałania) Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie.; 5)(zasada zesztywnienia) Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała; 6)(zasada oswobodzenia więzów) Każde ciało nieoswobodzone można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej ciało to można rozpatrywać jako ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych ( obciążeń) oraz sił biernych ( reakcji).

Zginanie płaskie: Zginaniem nazywa się działanie dowolnego układu sił zew. leżących na płaszczyźnie prostopadłej do osi belki. Szczególnym przypadkiem jest ZGINANIE PŁASKIE w którym wszystkie siły leżą w jednej płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki. Jeżeli płaszczyzna działanie sił zew. pokrywa się z płaszczyzną zawierającą jedną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju poprzecznego belki, to zginanie takie nazywamy ZGINANIEM PROSTYM. Każdy przypadek zginania może być rozpatrywany jako super pozycja zginań prostych. Wyznaczanie rozkładów sił poprzecznych T oraz momentów zginających M. Maksymalna wartość tych sił wskazują na przekroje najbardziej obciążone, czyli niebezpieczne.

ZMĘCZENIE MATERIAŁÓW Jest związane ze zmniejszeniem wytrzymałości elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu okresowo zmiennych obciążeń. Zjawisko to jest bardzo niebezpieczne, ponieważ zniszczenie elementu konstrukcyjnego lub części maszyny następuje nieoczekiwanie przy naprężeniach znacznie mniejszych od wytrzymałości doraźnej wyznaczonej ze statycznej próby rozciągania. Zniszczenie następuje bez żadnych dostrzegalnych wcześniej odkształceń plastycznych.

Znaczenie doświadczenia w WM Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki oraz wnioski wypływające z doświadczenia. Dzięki doświadczeniom ludzie dochodzą do nowych wniosków, konstruują modele, wyznaczają stałe, budują tabele z danymi.

Znaczenie hipotezy płaskich przekrojów w WM. Hipoteza płaskich przekrojów wg której okrągłe przekroje poprzeczna wału pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół osi wału o niewielki kat. Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie warunków geometrycznych opisujących odkształcenia okrągłego wału. Hipoteza płaskich przekrojów jest potwierdzona doświadczalnie.

---