Mechanika płynów

Wprowadzenie

Z makroskopowego punktu widzenia (czyli przy założeniu ciągłości ośrodków materialnych z pominięciem ich budowy atomowej lub cząsteczkowej) powszechnie przyjmuje się podział materii na ciała stałe i płyny. Płynem nazywamy substancję, która może płynąć, a zatem pojęcie to obejmuje zarówno ciecze, jak i gazy. Klasyfikacja ta nie jest do końca precyzyjna i kompletna - nie obejmuje np. substancji zwanych szkłami (np. smoła, szkło), które w niskich temperaturach zachowują się podobnie jak izotropowe ciała stałe, lecz w miarę wzrostu temperatury płynnie przechodzą w stan ciekły, bez wyraźnej temperatury topnienia. Nie daje się tu też sklasyfikować plazma (silnie zjonizowany gaz), dlatego nazywa się ją często czwartym stanem skupienia. Również ciekłe kryształy są formą pośrednią pomiędzy stanem krystalicznym a cieczą. Na dzisiejszym wykładzie nie będziemy się zajmować przypadkami nietypowymi, tylko „zwykłymi, przyzwoitymi” płynami. Skupimy się więc przede wszystkim na podstawowych prawach rządzących statycznym i dynamicznym zachowaniem zarówno cieczy jak i gazów. Na początku ograniczymy naszą dyskusję do płynów pozostających w spoczynku, a więc zajmiemy się zagadnieniami statyki płynów.

Statyka płynów

Ciśnienie i gęstość

Na wstępie warto zauważyć istnienie zasadniczej różnicy w działaniu sił na powierzchnię płynu i ciała stałego. Siła działająca na powierzchnię ciała stałego może mieć dowolny kierunek, natomiast dla nieruchomego płynu siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do jego powierzchni. Jakakolwiek nie znikająca składowa styczna siły przyłożonej do powierzchni płynu powodowałaby ślizganie się warstw płynu po sobie, a w konsekwencji zmianę kształtu lub płynięcie.

Siły działające na płyn wygodnie jest opisywać za pomocą ciśnienia, zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na element powierzchni płynu:

(1)

Ciśnienie jest wielkością skalarną. W układzie SI jednostka ciśnienia jest paskal (Pa) - jest to ciśnienie wywierane przez siłę 1 N działającą prostopadle na powierzchnię 1 m² (1Pa=1N/m²). Innymi jednostkami będącymi w użyciu są:

• bar 1bar=10⁵ Pa=0,1MPa

• atmosfera 1 atm=101325 Pa

• mm słupa rtęci (zwany inaczej torem) 1Tr = 1 mmHg = 1/760 atm = 133,3 Pa

Inną wielkością fizyczną charakteryzującą własności płynów jest ich gęstość. Dla płynów jednorodnych gęstość zdefiniowana jest jako masa płynu podzielona przez objętość (jednostką jest kg/m³ lub g/cm³). Gęstość płynu może zależeć od szeregu czynników takich jak temperatura czy ciśnienie. Dla cieczy, nawet przy stosunkowo dużych zmianach ciśnienia i temperatury, gęstość zmienia się nieznacznie, dlatego określamy je mianem płynów nieściśliwych. Gęstość gazów, natomiast, jest bardzo czuła na zmiany ciśnienia i temperatury (tabela).

Płyn	Gęstość [kg/m^3]
woda: w 0^oC i 1atm (1013 hPa) w 100^oC i 1atm (1013 hPa) w 0^oC i 50atm (50650 hPa)
powietrze: w 0^oC i 1atm (1013 hPa) w 100^oC i 1atm (1013 hPa) w 0^oC i 50atm (50650 hPa)	1,3 0,95 6,5

Obliczymy teraz ciśnienie panujące wewnątrz płynu. Rozważmy ciecz nieściśliwą znajdującą się w naczyniu, którego dno ma powierzchnię S, na górną powierzchnie cieczy działa ciśnienie zewnętrzne p₀, gęstość cieczy wynosi ρ, zaś h jest wysokością słupa cieczy (rys.). Na dno naczynia działa siła p₀S (spowodowana przez ciśnienie zewnętrzne) oraz ciężar słupa cieczy. Całkowita siła wynosi zatem:
,

zaś po podzieleniu obu stron równania przez S otrzymujemy całkowite ciśnienie przy dnie:

(2)

Ciśnienie na głębokości h jest więc równe ciśnieniu wywieranemu na powierzchnie cieczy powiększonemu o ciśnienie słupa cieczy, zwane ciśnieniem hydrostatycznym. Można wykazać, że ciśnienie wywierane na dno naczynia z płynem nie zależy od kształtu naczynia, a jedynie od wysokości słupa cieczy.

Płyny w naczyniach połączonych znajdują się w równowadze, gdy ciśnienia na wspólnym poziomie tego samego płynu w różnych naczyniach są jednakowe (jest to prawo równowagi cieczy w naczyniach połączonych).

Prawo Pascala

Z równania (2) wynika ważny wniosek. Jeśli ciśnienie zewnętrzne p₀ wywierane na powierzchnie cieczy nieściśliwej zmieni się o
, wówczas ciśnienie w dowolnym punkcie również ulegnie takiej samej zmianie
. Wynik ten został ustalony przez Blaise Pascala (XVII w.) i nazywa się prawem Pascala. Prawo to formułuje się zwykle następująco: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamkniętą ciecz jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.

Prawo to jest słuszne również dla cieczy ściśliwych oraz gazów (w stanie równowagi)

Na prawie Pascala opiera się m.in. działanie pras i podnośników hydraulicznych.

Przykład 1 - Podnośnik hydrauliczny

Samochód unoszony jest za pomocą podnośnika hydraulicznego, składającego się z dwóch tłoków połączonych rurą. Duży tłok ma średnice 1m, a mały ma średnicę 10cm. Jaką siłę F₁ należy przyłożyć do małego tłoka, aby podnieść samochód o ciężarze F₂. Wykonać obliczenia dla samochodu o masie 1t

Ciśnienie atmosferyczne

Ziemia otoczona jest warstwą atmosfery o grubości ok. 200km. Ciśnienie atmosferyczne w dowolnym punkcie jest równe ciężarowi słupa powietrza o przekroju jednostkowym, rozciągającego się od tego punktu do najwyższych warstw atmosfery. Z definicji tej wynika wprost, że ciśnienie atmosferyczne maleje więc wraz z wysokością. W ciągu dnia mogą również występować wahania ciśnienia spowodowane dynamicznymi procesami zachodzącymi w atmosferze, związanymi ze stanem pogody.

Metodę pomiaru ciśnienia atmosferycznego, a zarazem pierwszy barometr rtęciowy wynalazł 1643 r. Evangelista Toricelli. Barometr rtęciowy jest przyrządem służącym do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Składa się z długiej szklanej rurki wypełnionej rtęcią, odwróconej do góry dnem nad naczyniem z rtęcią (rys.). Przestrzeń ponad słupem rtęci wypełniona jest parą rtęci, której ciśnienie jest tak małe, że może być pominięte. Ciśnienia w punktach A i B muszą być takie same, ponieważ oba te punkty są na tym samym poziomie. Zgodnie z równaniem (2)

, (3)

natomiast
jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, a więc

kg/m³

Pa

Na poziomie morza słup rtęci w barometrze ma wysokość około 76 cm, zatem ciśnienie atmosferyczne wynosi około
Pa. Ta wartość ciśnienia nosi też nazwę 1 atmosfery fizycznej (atm).

Gdybyśmy zamiast rtęci wypełnili barometr wodą, której gęstość jest 13,6 razy mniejsza , wysokość słupa wody w rurce wyniosłaby:

m

Jest to zarazem największa wysokość na jaką może być wypompowana woda ze studni za pomocą pompy próżniowej znajdującej się na powierzchni ziemi. Wiele studzien jest jednak znacznie głębszych niż 10m. Jak więc można z nich wydobywać wodę? W takich wypadkach używa się pompy zanurzonej w wodzie na dnie studni.

Pomiar ciśnienia

Pomiarów ciśnienia dokonuje się przy pomocy przyrządów zwanych manometrami. Najprostszym takim przyrządem jest manometr otwarty. Składa się on z rurki w kształcie litery U zawierającej ciecz, przy czym jedno z ramion jest otwarte (a więc na ciecz działa ciśnienie atmosferyczne p₀), podczas gdy drugie połączone jest z układem (zbiornikiem), którego ciśnienie p chcemy zmierzyć (rys.). Z równania (2) otrzymujemy:

.

Jak widać, ciśnienie względne,
jest więc proporcjonalne do różnicy wysokości cieczy w obu ramionach manometru.

Prawo Archimedesa

Przypuśćmy, że blok o wysokości d i polu podstawy S zanurzony jest w cieczy o gęstości ρ_c na głębokości h (rys.). Na górną powierzchnię bloku działa siła skierowana w dół o wartości:
, natomiast na dolną powierzchnię bloku działa siła
skierowana w górę. Wypadkowa siła działająca na blok ze strony cieczy jest zatem skierowana do góry i ma wartość:

, gdzie
jest masą cieczy wypartej przez blok. Wniosek ten stanowi treść prawa Archimedesa: Na każde ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie działa skierowana pionowo ku górze siła wyporu o wartości równej ciężarowi płynu wypartego przez to ciało.

Siła wyporu przyłożona jest w środku ciężkości płynu przed jego wyparciem (S_w).

Zastanówmy się teraz nad możliwym zachowaniem się ciał zanurzonych w płynie. Na każde takie ciało działa w dół siła ciężkości
oraz siła wyporu
skierowana do góry. Wartość wypadkowej tych sił wyraża się wzorem:

. (4)

Jak widać ze wzoru (4), mogą zachodzić trzy przypadki (rys.):

1. 
   , wówczas ciało tonie

2. 
   , wówczas ciało pływa zanurzone na pewnej głębokości (Siły
   i
   się równoważą)

3. 
   , wówczas ciało pływa częściowo zanurzone.

Siły
i
nie muszą być przyłożone do ciała w tym samym punkcie, ponieważ środek ciężkości ciała (S) pokrywa się z punktem S_w tylko w przypadku jednorodnych ciał całkowicie zanurzonych w płynie. W takim przypadku ciało pozostaje w równowadze w dowolnym położeniu. Jeśli natomiast ciało jest niejednorodne lub tylko częściowo zanurzone, wówczas punkty S i S_w nie pokrywają się. Ciało jest wówczas w stanie równowagi trwałej jedynie w przypadku, gdy punkt S znajduje się dokładnie pod punktem S_w. Wychylenie ciała z położenia równowagi powoduje wtedy powstanie momentu
i
przywracającego ciało do położenia początkowego, co ma decydujące znaczenie dla stabilności pływającego ciała. Warto o tym pamiętać podczas rozmieszczania ładunku na statkach.

Podstawy dynamiki płynów

Pojęcia postawowe

Zajmiemy się teraz badaniem ruchu płynów w różnych warunkach zewnętrznych. Będziemy przy tym traktować płyny jako ośrodki ciągłe (podejście makroskopowe). Istnieją dwa sposoby matematycznego opisu takiego zagadnienia:

1. Podejście zaproponowane przez Josepha Louisa Lagrange'a (1736-1813), w którym dzieli się płyn na nieskończenie małe elementy objętości, które można nazwać cząstkami płynu, a następnie „śledzi” się ruch każdej z tych cząstek. Położenie każdej cząstki płynu jednoznacznie określają jej współrzędne x, y i z, które są zależne od czasu t oraz położenia tej cząstki w chwili początkowej t₀.

(5)

Funkcje takie jak w równaniach (5) służą do opisu ruchu płynu. Podejście Lagrange'a jest prostym uogólnieniem mechaniki punktów materialnych. Stosuje się je głównie przy rozpatrywaniu drgań i fal występujących w płynie.

2. Podejście rozwinięte przez Leonharda Eulera (1707-1783), które w większości przypadków jest bardziej wygodne. Zamiast opisywać ruch każdego elementu płynu, wprowadzamy wielkości takie jak gęstość, prędkość, ciśnienie, będące funkcjami położenia i czasu.

(6)

W ten sposób skupiamy się na tym co dzieje się w pewnym określonym punkcie przestrzeni, a nie na tym co dzieje się z pewnym określonym elementem płynu.

Rozważmy na początku pewne ogólne parametry charakteryzujące ruch (przepływ) płynów.

1. Przepływ może być ustalony (laminarny) lub nieustalony (turbulentny, burzliwy). Ruch płynu jest ustalony, jeśli w dowolnym punkcie przestrzeni prędkość płynu nie zależy od czasu:
   . Warunki takie mogą być spełnione tylko przy niewielkich prędkościach przepływu. Dla każdego układu (przewodu, rury, koryta rzeki) można określić graniczną prędkość, powyżej której przepływ będzie zawsze turbulentny.

2. Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest wirowy jeśli w jakimś punkcie przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową (
   ). Dla ilustracji tych pojęć wyobraźmy sobie kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Jeśli kółko nie obraca się podczas ruchu mamy do czynienia z przepływem bezwirowym.

3. Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Jeśli można przyjąć, że gęstość płynu jest stała, niezależna od czasu i współrzędnych przestrzennych, wówczas mówimy o przepływie nieściśliwym. Zazwyczaj przyjmuje się, że przepływ cieczy jest nieściśliwy, a gazów ściśliwy.

4. Przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych, dlatego nazywa się ją także tarciem wewnętrznym. Powodowana jest przez siły styczne działające pomiędzy warstwami cieczy przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie (dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. W niektórych zagadnieniach (np. związanych ze smarowaniem) lepkość odgrywa bardzo istotna rolę, jednak czasem można zaniedbać opory ruchu związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim.

Zajmiemy się dalej problemem najprostszym, a mianowicie przepływem laminarnym, bezwirowym, nielepkim i nieściśliwym (taki wyidealizowany model płynu nazywany bywa złośliwie „suchą wodą”).

Warto w tym miejscu wtrącić ważną uwagę metodologiczną o charakterze ogólnym. Przyjmowanie założeń upraszczających znacznie ułatwia analizę matematyczną wielu zagadnień. Przy rozwiązywaniu konkretnych problemów technicznych należy jednak zawsze zwracać szczególną uwagę na to czy dane założenie jest uzasadnione, tzn. czy nasz model ma jeszcze coś wspólnego z rzeczywistością.

Jak wynika z definicji, w przepływie ustalonym prędkość płynu w danym punkcie przestrzeni P jest stała, a więc każda cząstka płynu przybywająca do punktu P minie go z tą samą (co do wartości i kierunku) prędkością. Dotyczy to dowolnego innego punktu przestrzeni (Q, R ... rys.), a więc każda cząstka płynu przybywająca do punktu P poruszać się będzie dalej po tym samym torze, noszącym nazwę linii prądu. Prędkość cząstki płynu jest w każdym punkcie styczna do linii prądu. W przepływie laminarnym dwie linie prądu nie mogą się nigdzie przecinać, a obraz linii prądu nie zmienia się w czasie.

Przez każdy punkt w płynie można przeprowadzić pewną linię prądu. Jeśli w przepływie ustalonym wyodrębnimy skończoną liczbę linii prądu tworzących wiązkę, obszar taki nazwiemy strugą prądu (rys.). Płyn nie może przenikać przez brzegi strugi, a więc zachowuje się podobnie jak w rurce o tym samym kształcie.

Równanie ciągłości

Rozważmy cienką strugę prądu (rys.). Załóżmy, że w strudze tej nie znajdują się źródła, w których płyn mógłby być wytwarzany, ani ścieki przez które mógłby odpływać. Niech prędkość cząstek płynu w punkcie P₁ wynosi
, w punkcie P₂ wynosi
. Niech S₁ i będą polami przekrojów strugi prostopadłych do linii prądu odpowiednio w punktach P₁ i P₂. Masa płynu przechodzącego przez przekroje S₁ i S₂ w małym przedziale czasu dt wynosi:

(7)

Zgodnie z przyjętymi założeniami masa płynu przepływająca przez dowolny przekrój strugi musi być taka sama, a więc z równań (7) wynika:

albo inaczej

(8)

Dla płynu nieściśliwego
, wówczas równanie (8) upraszcza się do postaci

(9)

Otrzymana zależność nosi nazwę równania ciągłości strugi. Z równania (9) wynika wprost, że prędkość płynu jest mniejsza w miejscach gdzie struga jest szeroka, natomiast zwiększa się w miarę zwężania się strugi, co można łatwo zauważyć obserwując płynący potok. Równanie (9) umożliwia nam także interpretację obrazu linii prądu. Ponieważ prędkość płynu rośnie wraz ze zmniejszaniem się odległości pomiędzy liniami prądu, a więc rzadko rozmieszczone linie prądu oznaczają obszary o małej prędkości przepływu, zaś duże zagęszczenie linii prądu charakterystyczne są dla wysokich prędkości.

Stosując druga zasadę dynamiki do przepływu pomiędzy punktami P₁ i P₂ otrzymujemy inny interesujący wynik. Przypuśćmy, że
, w takim wypadku cząstka płynu porusza się od punktu P₁ do P₂ ruchem opóźnionym. Opóźnienie to może być spowodowane przez siłę grawitacji (o ile punkt P₂ leży powyżej P₁ ) lub przez różnicę ciśnień działających na cząstkę płynu płynącą od P₁ do P₂. Jeśli struga jest pozioma siła grawitacji w obu punktach jest taka sama. A więc przy poziomym przepływie ustalonym ciśnienie jest największe tam, gdzie prędkość jest najmniejsza.

Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego (sformułowane w 1738 r. przez Daniela Bernoulliego) jest podstawowym równaniem mechaniki płynów, równoważnym zasadzie zachowania energii dla przepływu płynu.

Rozważmy ustalony, nielepki i nieściśliwy przepływ przez rurę (rys.). Z lewej strony rura jest pozioma, znajduje się na wysokości h₁ powyżej dowolnie wybranego poziomu odniesienia i ma stały przekrój S₁, natomiast po prawej stronie rysunku rura znajduje się na wysokości h₂, ma stały przekrój S₂ i jest również pozioma.

Załóżmy, że
. W takim razie z równania ciągłości strugi (9) wynika, że płyn przepływa szybciej przez przekrój S₂ niż przez przekrój S₁ (
), a więc ruch płynu w analizowanym odcinku rury jest przyspieszony. Zgodnie z II zasada dynamiki na płyn musi działać wypadkowa siła skierowana w prawo. Jej składowymi są siły parcia działające na oba końce układu oraz siła grawitacji. Na przekrój S₁ działa siła parcia o wartości
skierowana w prawo, zgodnie z kierunkiem przepływu cieczy, natomiast na przekrój S₂ - siła parcia
skierowana w lewo. W krótkim przedziale czasu
przekrój S₁ przesunie się, na skutek ruchu strugi, o odcinek
, natomiast przekrój S₂ przesunie się o
, oczywiście w prawo. W wyniku tego część płynu o masie
zostanie przemieszczona z poziomu h₁ na poziom h₂.

Pracę W wykonaną nad płynem przez siłę wypadkową obliczamy dodając 3 następujące wyrazy:

1. Praca wykonana przez siłę parcia
   wynosi
   

2. Praca wykonana przez siłę parcia
   wynosi
   (zauważmy, że praca ta jest ujemna, a więc praca dodatnia została wykonana przez układ)

3. Praca wykonana przez siłę grawitacji
   

a więc
. Uwzględniając, że
jest objętością elementu płynu przemieszczonego przez siłę wypadkową, otrzymujemy

(10)

Zmiana energii kinetycznej naszego elementu płynu wynosi

(11)

Z zasady zachowania energii wynika, że
(założyliśmy, że płyn jest nielepki i nieściśliwy, a więc cała praca wykonana przez siłę wypadkową zostaje zamieniona na energię kinetyczną płynu), czyli:

(12)

Równanie (12) można łatwo przekształcić do postaci

(13)

Indeksy 1 i 2 można opuścić, ponieważ odnoszą się one do dwóch dowolnych położeń, a więc

(14)

Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego (dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego). W równaniu (14) wszystkie wyrazy mają wymiar ciśnienia. Człon
jest ciśnieniem panującym w płynie wtedy, gdy nie ma żadnego przepływu (
), dlatego nosi nazwę ciśnienia statycznego, natomiast wyraz
nazywany jest ciśnieniem dynamicznym. Równanie Bernoulliego może być użyte do wyznaczania prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia.

1

---