TRYGON SFERYCZNA: Odl sferyczna pktów A i B to kąt środkowy utworzony przez promienie dochodzące do punktów A i B. Odl sferyczną wyrażamy w jednostkach kątowych. Kąt sferyczny to kąt zawarty między stycznymi do łuków kół wielkich poprowadzonymi w miejscu przecięcia się tych łuków. Kąt sferyczny jest równy kątowi dwuściennemu utworzonemu przez płaszczyznę kół wielkich. Trójkąt sferyczny to część sfery ograniczona łukami trzech kół wielkich. Wzór sin: sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC. Wzór cos.:cosa=cosbcosc+sinbsinccosA; Wzór sin-cos: sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA, : sinbcosA=cosasinc-sinacosccosB Wzór cos dla kątów: -cosA=cosBcosC- sinBsinCcosa Wzory ctg: ctgAsinC=ctgasinb-cosCcosb, ctgAsinB=ctgasinc-cosBcosc. Wzór połówkowy tg²A/2=sin(s-b)sin(s-c)/sinssin(s-a), S=(A+B+C)/2. Nadmiar sferyczny (eksces) ၥ=(A+B+C)-ၰ, ၥ=(A+B+C)-180^o, ၥ>0, ၥ<2ၰ, 0<ၥ<2ၰ, ၥ=S/R², S-pole trójkąta sferycznego, im większe pole tym większy nadmiar. UKŁ WSPÓŁ NA KULI: Współrz geograficzne: Szer. geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt, jaki tworzy normalna do sfery w punkcie P z płaszczyzną równika. Szerokości geogr wzrastają na północ od równika.Dł geograficzną punktu P leżącego na kuli nazywamy kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P a płaszcz. połudn początkowego. Dł geogr wzrastają na wschód od połudn początkowego. Wsp .prostokątne prostoliniowe Układ wsp. prostokątnych jest zdefiniowany:-początek układu pokrywa się ze środkiem kuli,-oś z pokrywa się z osią obrotu,-oś x pokrywa się z krawędzią przecięcia pł. równika i pł. południka początkowego,-oś y tworzy z pozostałymi osiami układ prawoskrętny. Współrzędne x,y,z punktu leżącego na kuli określamy wzorami: x=Rcosφcosλ; y=Rcosφsinλ ; z=Rsinφ. Wsp. te spełniają warunek x²+y²+z²=R². Znając wsp prostokątne x, y, z punktu leżącego na kuli można obliczyć jego wsp. geograficzne φ, λ wg wzorσw :tgλ=y/x; tgφ=z/v(x²+y²). RYS 1 Wsp. Azymutalne Pktem głównym ukł wsp. azymutaln będzie punkt G leżący na kuli i nie będący biegunem ziemskim,o znanych współrzędnych geograficznych(φ_o,λ_o) połączymy łukiem koła wielkiego punkt główny G i dowolny punkt P leżący na kuli. Pozycja pkt.P będzie jednoznacz określona względem pktu G, jeżeli podamy azymut α i odl zenitalną ζ. Azymut α jest kątem dwuściennym między płaszczyzną połudn G i płaszczyzną koła wielkiego GP, jest równy kątowi sferycznemu, którego lewym ramieniem jest styczna do połudn pktu G, zaś prawym styczna do łuku koła wielkiego GP. Azymut rośnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara od północnego kierunku połudn pktu G. Wertykał to każde koło wielkie przechodzące przez pkt główny G Almukantarat to koło małe, którego wszystkie pkt. są jednakowo oddalone od pkt. G. Związek między wsp. geograficznymi i azymutalnymi Opiszmy kąty i boki trójkąta sferycz. GBP wsp. azymutalne pkt.P (ၡ,ၺ) są f-cją wsp. gepgraficznych pkt. G (ၪ₀,ၬ₀) i pkt.P(ၪ,ၬ) cosၺ=sinၪ₀sinၪ+cosၪ₀*cosၪcos(ၬ-ၬ₀) sinၡ=sin(ၬ-ၬ₀)cosၪ/ sinၺ Wz.te nie dają dokł.wyników,gdy odl. zenitalnaၺ jest mała. Wtedy stosujem wz. ctgၡsin(ၬ-ၬ₀)= ctg (90⁰-ၪ)sin(90⁰-ၪ₀)-cos (ၬ-ၬ₀)cos(90⁰-ၪ₀) i otrzymujemy tgၡ=sin(ၬ-ၬ₀)/ tgၪ cosၪ₀-cos(ၬ-ၬ₀)sinၪ₀ Odl.zenitalną ၺ obl.wg. jednego z wz. sinၺ=sin(ၬ-ၬ₀)cosၪ / sinၡ sinၺ=sinၪcosၪ₀-cosၪsinၪ₀cos(ၬ-ၬ₀)/ cosၡ Wsp.azymut ၡ,ၺ można zamienić na wsp.geograficzne ၪ,ၬ wg.wz. sinၪ=cosၺsinၪ₀ +sinၺcosၪ₀cosၡ oraz sin(ၬ-ၬ₀)=sinၡsinၺ/ cosၪ Azymut odwrotny ၡ^, będący kątem dwuściennym między pł.połudn pkt. P. I pł.koła wielkiego PG zależy od kąta q(kąt paralaktyczny) ၡ^,=360⁰-q q obl.ze wz. tgq=sin(ၬ-ၬ₀)/tgၪ₀* cosၪ-cos(ၬ-ၬ₀)sinၪ.RYS 2 Wsp. prostokątne sferyczne. Podstawą ukł. tych współrzędnych jest wybrany południk o długości geograficznej λ_o. Pkt. pomocniczy C powstaje przez przecięcie wybranego południka z kołem wielkim przechodzącym przez dany pkt. P i prostopadłym do wybranego południka. Wsp. prostokątnymi są wielkości g i h wyrażone w mierze kątowej. Wsp.h obl.sinh=sin(ၬ-ၬ₀)cosၪ wsp.g obl.sin(90⁰-ၪ)cos (ၬ-ၬ₀)=coshsin(90⁰-g) lubcos(90⁰-ၪ)=cos(90⁰-g)cosh po podzieleniu stronami dwóch ostatnich wyrażeń mamy ctgg=cos(ၬ-ၬ₀) ctgၪ przeliczenia odwrotne wykonujemy wg.sinၪ=singcosh oraz ctg(ၬ-ၬ₀)=cosgctgh Wsp. prostokątnym sferycznym g,h można przyporządkować wsp. płaskie x=gR,y=hR. RYS 3

GEOMETRIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ: Elipsoida obrotowa o odpowiednio dobranych parametrach jest znacznie lepszym przybliżeniem kształtu bryły ziemskiej niż kula. Parametry elipsoidy: Elipsoidą odniesienia nazywamy elips. obrotową o odpowiednio dobranych parametr. i określonym usytuowaniu w bryle ziemskiej, na którą rzutowano punkty danej sieci geodezyjnej. W układzie współrzędnych prostokątnych XYZ umieszcza się elipsoidę obr. w taki sposób, że środek elips. pokrywa się z początkiem ukl. współ.; oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią Z ukl.współ. W takim przypadku równik elipsoidy leży w płaszczyźnie OXY.Wsp. każdego pkt leżącego na pow. elipsoidy obrotowej spełniają równanie X²/a²+Y²/a²+Z²/b²=1 Kształt i wielkość elipsoidy obr. określają parametry: półosie a i b lub półoś a i spłaszczenie ၡ [ၡ=(a-b)/a] Zamiast ၡ można posługiwać się mimośrodem elipsoidy e²=(a²-b²)/a²=ၡ(2-ၡ) II mimośród elips. e'²=(a²-b²)/b². RYS 4 Współ. elipsoidalne Równoleżnikiem punktu P leżącego na powierzchni elipsoidy obrotowej jest ślad przecięcia pow. elipsoidy pł. przechodząca przez punkt P i równoległą do płaszczyzny równika. Ma kształt okręgu. Południkiem punktu P jest ślad przecięcia elipsoidy płaszczyzną przechodzącą przez punkt P i oś obrotu elipsoidy.Ma kształt elipsy. Wpowadza się oś U i powstaje nowy, prostokątny układ wsp U,Z. Równanie połud. zawierającego pkt P w tym układzie to U²/a²+Z²/b²=1 Normalna n do elipsoidy leży w płaszcz. południka P. Szerok. elipsoidalną B (sz.geodezyjna) punktu P jest kąt miedzy normalną n do powierzchni elipsoidy w punkcie P i płaszczyzną równika. Dł elipsoidalną L (dł.geodezyjna) punktu P jest kąt dwuścienny między płaszczyzną południka punktu P i pł. południka początkowego .Styczna do pow. elips. w pkt.P tworzy z dodatnim kierunkiem osi U kąt=90⁰+B co pozwala określić zależność pochodnej dZ/dU od szer.elipsoid. B.dZ/dU=tg(90⁰+B)=-ctgB po przekształc. i uwzględnieniu b²/a²=1-e²mamyU²=a²/1+(1-e²) tg²B Dla UႳ0 mamy : U=(acosB)/ზ(1-e²sin²B), a promień równoleżnika pkt P r=U RYS 5 Współ. Prostokątne X i Y punktu P oblicz. X=UcosL; Y=UsinL, a współ. Z=[a(1-e²)sinB]/ ზ(1-e²sin²B). Główne promienie krzywizny Jednym z przekrojów głównych elipsoidy obrotowej jest przekrój pł. południka, zwany przekrojem południkowym M RYS 6 , a drugim - przekrój płaszczyzną prostopadłą do płaszcz. południka zwany przekrojem poprzecznym N RYS 7: M=[a(1-e²)/((1-e²sin²B)^3/2)], N=[a/ ((1-e²sin²B)^1/2)]. Porównanie promieni M i N wskazuje, że pro. M jest najmniejszym a N największym promieniem krzywizny przekrojów normalnych w danym punkcie. Średni promień krzywizny Q=(1/2ၰ)*całka (od 0 do 2ၰ)R(A)Da; Q=sqrt(MN). ; Promień równoleżnika: r = N * cos; Obliczanie długości południka Wzór wyjściowy dS=MdB; Dla S₁₂<60km z dok. 1mm S₁₂=M_s(B₂-B₁), M_s=M(B_Sr); Dla 60km<S₁₂<750km z dok. 1mm S₁₂=[(M₁+4M_s+M₂)*(B₂-B₁)]/6; Dla S₁₂>750km S₁₂=_B1ჲ^B2MdB=₀ჲ^B2MdB-₀ჲ^B1MdB; Wsp. izometryczne Zakładamy, że pow. opisana jest równaniami X=X(u,v); Y=Y(u,v); Z=Z(u,v) Długość elementarnego łuku ds na tej powierzchni można wyrazić wzorem(*)ds²=Edu²+2Fdudv+Gdv² Współ. krzywoliniowe u,v są współ. izometrycznymi jeżeli długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić wzorem (**) ds²=ၭ(du²+dv²), gdzie ၭ jest dowolną, dodatnią funkcją u,v Gdy porównamy wzory (*)i(**) to stwierdzimy, że jeżeli współ. u,v są współ. izometrycznymi, to zachodzą zależności F=0; E=G=ၭ² Współ. krzywoliniowe u,v są współ. izometrycznymi jeżeli spełniają 2 warunki: 1.Siatka współ. u,v jest siatką ortogonalną 2.Przesunięcie ds wywołane zmianą współ. u o du=ၥ, jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmianą współ. v o dv=ၥ, gdzie ၥ jest nieskończenie małą dowolnie obraną liczbą.

OGÓLNA TEORIA ODWZOROWAŃ: Odwzorowaniem jednej pow. na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznacz. odpowiedniość punktową między pow. nazywaną oryginałem a powierzchnią nazwaną obrazem. Funkcje odwzorowawcze dane są dwoma funkcjami: U=f(u,v), V=g(u,v).Funkcje odwzorowawcze f,g przyporządkowują każdemu punktowi P(u,v) oryginału odpowiedni punkt P(U,V) obrazu. Powinny istnieć także funkcje F,G które każdemu punktowi P(U,V) obrazu przyporządkowują odpowiedi punkt P(u,v) oryginału. Odwzorowanie nazywamy regularnym, gdy funkcje f i g spełniają warunki: a)każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V b)są ciągłe i co najmniej 2-krotnie różniczkowalne c)są wzajemnie niezależne. W odwzorowaniu tym obrazem pkt jest pkt, krzywej - krzywa, kąta - kąt, obszaru - obszar. Jeżeli oryginałem jest cała pow.elipsoidy obrotowej lub jej część to rolę parametrów u,v odgrywają zwykle wsp.elipsoidalne B,L. Jeżeli rolę parametrów U,V odgrywają wsp. prostokątne x,y to f-cje odwzorowawcze mają postać x=x(B,L) y=y(B,L).Jeżeli położenie pkt. na płaszcz. opisują wsp.biegunowe ၲ,ၤ to f-cje odwzorow. mają postać ၤ=ၤ(B,L) ၲ=ၲ(B,L). Elementarna skala długości stosunek dł. ds nieskończenie małego łuku na obrazie do dł. ds odpowiadającemu mu łuku na oryginale m=ds/ds. Elementarna skala długości w danym odwzorowaniu zależy od współ. B,L określających położenie punktu, i od azymutu A elementu liniowego ds.: m=m(B,L,A). Jedynie w odwz. równokątnych zależy tylko od współ. punktu. Wartość skali długości mieści się w przedziale (0,Ⴅ). Skala dł w kierunku południków: m_B=ds₁/ds₁=(ზE)/M; Skala dł w kierunku równoleżników: m_L=ds₂/ds₂=(ზG)/r; Wykorzystanie skali dł do redukowania dł skończonych. S'm_śr*S, m_śr to skala długości w punkcie środkowym redukowanego odcinka; dla dłuższych odcinków (do kilkudziesięciu km) S'=[(m1+4mśr+m2)/6]*S, m-skala długości. Odwzorowanie jest równokątne, jeżeli w każdym punkcie odwzorowywanego obszaru dowolny azymut A odwzorowuje się bez zniekształcenia, tzn. AႺA. Warunki równokątności F=0 i jednocześnie (E/H)*(r/M)=1. Po przekształceniach: odwz. jest równokątne jeżeli spełnione są jednocześnie dwa warunki: 1.obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym ၱ=90^o; 2.w każdym punkcie skala długości w kierunku południków jest równa skali długości w kierunku równoleżników m_B=m_L Postacie różniczkowe warunku równokątności Ⴖx/ႶL=-rႶy/MႶB; Ⴖy/ႶL=+rႶx/MႶB Wz na pole czworoboku elementarnego dP'=ds1'-ds2'sinၱ' i na skalę pól P=(ds1'ds2'sinၱ')/(ds₁ds₂). Odwzorowanie jest równopolowe jeżeli w każdym pkt odwzorowywanego obszaru spełniony jest warunek p=1 czyli m_Bm_Lsinၱ=1 lub H=Mr Gdy obrazy południków przecinają się pod kątem prostym z obrazami równoleżników (ၱ'=90^o) to m_Bm_L=1 I tw. Tissota W każdym odwzorow., nie będącym odwzorow. równokątnym, istnieje na oryginale dokładnie jedna siatka ortogonalnych linii parametrycznych, której obrazem jest także siatka ortogonalna. Kierunki tej siatki nazywamy kierunkami głównymi. Nie są one określone gdy odwzorowanie jest równokątne. Gdy obrazy południków i równoleż. przecinają się pod kątem prostym (ၱ=90^o) wówczas kierunki główne pokrywają się z nimi. tg2A_g=(2m_Bm_Lcosၱ')/(m_B²-m_L²); Po przekształceniach tg2A'_g=(m_L²sin2ၱ')/(m_B²+m_L²cos2ၱ') II tw Tissota „Obrazem graficznym skal długości we wszystkich kierunkach wyprowadzonych z danego punktu jest elipsa o półosiach równych skalom długości w kierunkach głównych”. Wskaźnica Tissota ma postać (x^'2/a²)+(y^'2/b²)=1 Określenie skali długości jako funkcji kąta B opisuje wzór m²=a²cos²B+b²sin²B Do równania elipsy podstawiamy wartości współ. x'=ds.'*cosB' i y'=ds.'*sinB' Uwzględniając ds.'/ds=m to otrzymujemy 1/m²=(cos²B'/a²)+(sin²B'/b²) Skale a,b otrzymujemy z zależności a+b=ზ(m_B²+2m_Bm_L sinၱ'+m_L²); a-b=ზ(m_B²-2m_Bm_Lsinၱ'+m_L²)

KLASYFIKACJA ODWZ.: 1.Ze względu na charakter występujących zniekształceń odwz: równokątne, równopolowe, równoodległościowe w jednym z kierunków głównych, dowolne. 2.Ze wzgl. Na kształt siatki kartograficznej: azymutalne, walcowe, stożkowe. 3. Ze wzgl. na sposób przyłożenia pow.rzutowania: normalne, ukośne, poprzeczne. Wspólne cechy odwzorowań azym/walc/stożk normalnych: Odwz.azymutalne: Obrazami połudw są półproste zbiegające się w obrazie bieguna ziemskiego. Kąty między obrazami połudw nie ulegają zniekształceniu i są równe różnicom dł geograficznych połudnw. Obrazem równoleż. są okręgi współśrodkowe, których środek jest na obrazie bieguna. Równania ogólne odwz. azymutalnych mają postać w ukł. wsp. biegunowych: ρ = ρ(φ), δ = λ. RYS 8 Odwz.walcowe: Obrazami połudnw są proste lub odcinki równoległe względem siebie i prostopadłe do prostoliniowego obrazu równika. Odl między obrazami dwóch danych połudnw jest proporcjonalna do różnicy ich dł geograficznych. Obrazami równoleż. są odcinki równoległe do obrazu równika.Równanie tych odwz. w ukł. wsp. prostokątnych x,y utworzonym przez obrazy połudn początkowego i równika: X = x(φ), Y = Cλ. RYS 9 Odwz. Stożkowe: Obrazami równoleż. są łuki okręgów współśrodkowych, obrazami połudnw są odcinki lub półproste prostopadłe do obrazów równoleżników. Kąty między obrazami połud. są proporcjonalne do różnicy długości geograficznych połudnw. Równanie ogólne: ρ = ρ(φ), δ = Cλ. RYS 10 ODWZ RÓWNOKĄTNE POW ELIPSOIDY NA POW KULI: Ogólne zasady odwz Niektóre odwz.pow. elipsoidy na pł.można łatwo otrzymać , odwzorowując najpierw pow. elipsoidy na pow.kuli a potem pow.kuli na pł. Przy konstruowaniu map drobnoskalowych przyjmuje się że R=6371km W przypad odwz. niewielkiego fragmentu pow.elipsoidy obrot. na pow.kuli przyjmuje się że pr.kuli=śr.pr. krzywizny w pkt.P₀ leżącym w środku odwzorowawczego obszaru R=sqrt(M₀N₀)czyli R=(a*sqrt(1-e²))/(1-e²sin²B₀)Odwz. pow.elipsoidy na pow. kuli wykonuje się tak aby równoleżniki odwzorowywały się na równoleżniki połud na południki ၬ=ၬ(L),ၪ=ၪ(B). Obrazem elementarnego czworoboku krzywoliniowego na elipsoidzie będzie elementarny czworobok na kuli. Kat ၱ na elipsoidzie i jego obraz na kuli=90⁰a zatem siatka połud i równolez jest siatką krzywych gł. a kierunki tej siatki to kierunki gł.Skale dł. m_B i m_Lokreślamy m_B=ds₁'/ds₁=Rdၪ/MdB, m_L=ds₂'/ds₂=Rcosၪdၬ/NcosBdL Odwz równokątne pow. elipsoidy na pow. kuli Pierwszy warunek równokątności odwz. o postaci ၱ”=90⁰ jest spełniony dzięki przyjęciu f-cji odwzorowawczych ၬ=ၬ(L),ၪ=ၪ(B).Drugi warunek ma postać m_B=m_lczyli Rdၪ/MdB =Rcosၪdၬ/ NcosBdL. Szerokośćၪ zależy jedynie od B dlatego dၬ/dL musi być wielk. stałąၡ ၡ= dၬ/dL Związek między ၬ i L przyjmuje postać ၬ=ၡL+c_ၬ stawiając war.aby południk początkowy na elips. L=0 się południk początkowy na kuli ၬ=0 otrzymamy c_ၬ=0 więc ၬ=ၡL wz.na skalę dł. w tym odwz. to m.=Rcosၪ/NcosB. ODWZ WALCOWE NORMALNE: Odwz walcowe normalne kuli powstają przez rzutowanie pktów pow kuli na pow boczną walca, którego oś pokrywa się z osią obrotu Ziemi. Środek rzutów zawsze znajduje się na osi walca, ale jego położenie na osi walca zależy od zastosowanych funkcji odwzorowawczych i od szerokości geograficznej rzutowanego pkt. Obrazami południków są proste lub odcinki równoległe względem siebie i prostopadłe do prostoliniowego obrazu równika. Odl między obrazami dwóch danych połud jest proporcjonalna do różnicy ich dł geograficznych. Obrazami równoleż. są odcinki równoległe do obrazu równika.Równanie tych odwz. w ukł. wsp. prostokątnych x,y utworzonym przez obrazy połud początkowego i równika: X = x(φ), Y = Cλ. Stała C równa jest promieniowi walca,a więc dla walca stycznego do kuli C=R. Kierunki główne to kierunki połud i równoleż. Skale dł w kierunku połud. i równoleż. są wyrażone wzorami: m_φ=(sqrtE)/R=1/R*dx/dφ m_λ=(sqrtG)/Rcosφ=1/cosφ .Odwz walcowe poprzeczne równokątne to odwz poprzeczne Merkatora. Siatką są wertykały i almukantaraty, a kierunki główne to kierunki wertykałów i almukant. Założenia: m1=m2; 1/R*(δy/δh)=1/cosh; δy=Rcosδh; y=Rlntg(ၰ/4+h/2)+C; x=Rg, y=Rlntg(ၰ/4+h/2). Obrazem połudn λ₀ jest odcinek lini prostej, odcinek ten odwzorowuje się bez zniekształceń, a więc jego długość na obrazie równa się dł na oryginale. Pozostałe połud będą tworzyły obraz symetryczny względem połud λ₀. Najmniejsze zniekształcenia wystąpią w wąskim pasie połud λ₀. Granicami są wybrane południki wschodni i zachodni. Dla połud środkowego x=Rζ, a y=0.

ODWZ.AZYMUTALNE NORMALNE KULI: W układzie wsp. biegunowych, którego początek to obraz bieguna, a oś podstawowa to obraz połudn początkowego , funkcje odwz wszystkich odwz azymutalnych normalnych kuli mają następującą postać: ρ = ρ(φ), δ = λ. Szerokość geograficzną φ zastępujemy odl biegunową б, liczoną od bieguna geograficznego: б=90^o-φ . A zatem promień ρ obrazu równoleżnika można wyrazić jako funkcję odl biegunowej б : ρ=ρ(б) . W określonym przedziale [0, б_max] argumentu б funkcja ρ(б) powinna być ciągła i różniczkowalna. Dla argumentu б=0 funkcja ρ(б) powinna przyjmować wartość 0. Jakobian funkcji odwz, mający postać J=dρ/dб powinien być różny od zera, a więc pochodna dၲ/dб nie może przyjmować wartości 0. W odwz użytkowych funkcja ρ(б) jest rosnąca, dlatego dၲ/dб >0 . Początek układu współ prostokątnych N'xy pokrywa się z obrazem bieguna geograficznego, a oś x pokrywa się z obrazem połudn początkowego. Współ. prostokątne x,y pkt. P' wyraża się wzorami : x=ၲ(б)cosၬ, y=ၲ(б)sinၬ. Wielkości E,F,G oblicza się: E=(ၤx/ၤၳ)²+(ၤy/ၤၳ)²=(ၤၲ/ၤၳ)²cos²ၬ+(ၤၲ/ၤၳ)²sin²ၬ=(ၤၲ/ၤၳ)²;F=(ၤx/ၤၳ)(ၤx/ၤၬ)+(ၤy/ၤၳ)(ၤy/ၤၬ)=(ၤၲ/ၤၳ)cosၬ(-ၲsinၬ)+(ၤၲ/ၤၳ)sinၬ(ၲcosၬ)=0 ;G=(ၤx/ၤၬ)²+(ၤy/ၤၬ)²= (-ၲsinၬ)²+(ၲcosၬ)²=ၲ²; Wielkość F jest równa 0 dla wszystkich wartości б i λ, co prowadzi do wniosku, że linie parametryczne б,λ, a więc południki i równoleżniki są krzywymi głównymi, a kierunki południków i równoleżników są kierunkami głównymi. Skale dł. w kierunkach głównych : - w kierunku południków: m_б=(ზE)/R, a w kierunku równoleżników: m_ၬ=(ზG)/r. RYS 11 Wyprowadzenie funkcji odwz: *odwz równokątne: Wyprowadzając funkcję odwz ρ=ρ(б) odwz. równokątnego, korzystamy z warunków równokątności : pierwszy, mający postać ၱ'=90^o,jest spełniony , ponieważ w odwz. azymutal. normalmych obrazy połud. i równoleżników przecinają się pod kątem prostym ; drugi , mający postać m_б=m_λ prowadzi do takiego równ. różniczkowego: 1/R*dρ/dб=ρ/Rsinб . Rozwiązanie tego równania wymaga rozdzielenia zmiennych dρ/ρ=dб/sinб oraz całkowania lewej i prawej strony ln ρ=ln tg б/2+ln C .Ostatecznie ρ=C tg б/2 .Wzór ten przedstawia rodzinę odwz. równokątnych, różniących się wartością stałej C. Korzystając ze wzorów na skalę dł. otrzymujemy wzór na skalę dł: m=C/2Rcos² б/2 .Skala dł przyjmuje dla bieguna (б=0) wartość C/2R .Stawiając warunek m(0)=1 otrzymujemy: C=2R .Po uwzględnieniu wartości stałej C w odpowiednich wzorach mamy: ρ=2R tg б/2 , m=1/cos² б/2 .Porównując wzory m=1/cos² б/2 i ρ=2R cosφ/sinφ+1 i uwzględniając, że φ=90^o-б, możemy stwierdzić, że odwz. stereograficzne jest odwz. równokątnym. * odwz równopolowe: Odwz równopolowe musi spełniać warunek: m_бm_λ=1 czyli 1/R*dρ/dб*ρ/Rsinб=1. Rozwiązanie ego równania sprowadza si do uporządkowania zmiennych: ρ dρ=R²sinб dб i całkowania jego lewej i prawej strony: ρ²/2=-R² cosб+C , ρ²=-2R² cosб+2C .Stałą C należy dobrać tak, aby dla б=0 otrzymać ρ=0. A zatem C=R². Wobec tego ρ²=-2R² cosб+2R²(1-cosб)=4R²sin²б/2 i ostatecznie ρ=2Rsin б/2 .Skale dł są określone wz: m_ρ=cos б/2 , m_λ=1/cos б/2; *odwz równoodległościowe: odwzorowanie równoodległościowe musi spełniać warunek: m_б=1 czyli 1/R*dၲ/dб=1 Rozwiązując to równanie różniczkowe, otrzymujemy kolejno: dρ=R*dб , ρ=Rб+C. .Stała C przyjmuje wartość 0, ponieważ dla б=0 powinno zachodzić ρ(б)=0, ostatecznie ρ=Rб .Skala długości w kierunku równoleżników jest w tym odwzorowaniu określona jest wzorem: m_λ=ρ(б)/Rsinб=Rб/Rsinб=б/sinб Odwzorowanie równoodległościowe z kierunku równoleż musi spełniać warunek: m_λ=1 czyli ρ(б)/Rsinб=1. Rozwiązaniem tego równania jest ρ=Rsinб po uwzględnieniu ,że φ=90^o-б ,stwierdzamy że poszukiwane odwz. jest odwzorowanie ortograficznym. Skalę długości w kierunku południków w tym odwz. określa wzór: m_б=1/R*dρ/dб=cosб;

 

ODWZ GAUSSA-KRUGERA jest to odwzor. walcowym poprzecznym równokąt. pow. elips. Obrotowej na płaszcz. Charakteryzuje się występow. niewielkich zniekształceń w wybranym, wąskim pasie połudn. Pow elipsoidy obrotowej należy podzielić na wąskie pasy połudne i każdy z nich odwzorować oddzielnie na płaszcz. Szerokość pasa południkowego (၄L) zależy od przyjętych dopuszczalnych zniekształceń dł lub zniekształceń pól. Odwz G-K spełnia następujące 3 warunki: jest odwz równokątnym, obrazem połudn środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych południków są linie krzywe symetrycznie rozłożone względem obrazu połudn środkowego, połudn środkowy pasa odwz się bez zniekształceń (m₀= 1). RYS 12 Skala długości: W odwz równokątnych elementarną skalę dł można obliczać w dowolnym kierunku. W kierunku równoleżników wg. wzoru: m=m_λ=√G /r=√(δx/δl)²+(δy/δl)² /NcosB . Elementarna skala pól jest równa kwadratowi elementarnej sk. dł.: p=m²= (δx/δl)²+(δy/δl)² /N ²cos ²B; Modyfikacje: Wybierając odwzorowanie G-K jako podstawę geodezyjnego układu wsp. płaskich x,y, można zmodyfikować trzeci warunek odwz, wprowadzając skalę długości m₀ na połud. środ. mniejszą od 1. Skala dł. m₀ powinna być odwrotnością średniej skali m_sr występującej na odwz. obszarze (w odwz. nie modyfikowanym) m₀=1/m_sr W przypadku odwz. G-K, w którym min. wartośc skali dł. = 1, a max. wartośc skali dł. m_max występuje na skraju pasa połud, m₀= 2/(1+m_max). Skala m₀ zależy więc od m_max, zatem od przyjętej szerokości pasa połud. Skala dł. m₀ jest zwykle zaokraglana do 4 lub 5-ciu miejsc po przecinku. Wykorzyst. w wielu krajach odwz. UTM jest odwz. G-K o szer. pasa 6⁰ i m₀=0,9996 na połud. śr; X=m₀*x; Y=m₀*y + c* n; gdzie n- nr pasa, c-stała dodawania; Funkcje odwz w postaci f. B, l. Wprowadźmy układ współ prostokątnych x, y w następujący sposób: oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka środkowego L₀ i jest skierowana na północ, oś rzędnych y pokrywa się z prostoliniowym obrazem równika i jest skierowana na wschód. Skoro południk L₀ ma tak duże znaczenie będziemy się posługiwać różnicą długości geodezyjnych l= L-L₀. funkcje odwz można zapisać następująco: x=F₁(B,l), y=F₂(B,l); Podczas wyprowadzania funkcji odwz. będziemy się posługiwać wsp. izometrycznymi q, l. *Pierwszy warunek, jaki musi spełniać odwz G-K, czyli warunek równokątności, będzie spełniony, jeżeli związek współ prostokątnych x, y i wsp. izometrycznych q, l będzie miał postać funkcji analitycznej f: x+iy=f(q+ il);x=S-d²S/dq²* l²/2+ d⁴S/d q⁴* l⁴/24...;y=dS./dq*l- d³S/d q³* l³/6 *Drugi warunek- funkcja f ma następującą cechę: dla l= 0 musi wystąpić y= 0. Współ x_m punktu leżącego na południku środkowym będzie określona za pomocą wzoru: x_m= f (q).*Trzeci warunek będzie spełniony, jeżeli dla l=0 będzie zachodzić następująca równość: x_m= S= ₀ჲ^B M dB, gdzie S oznacza dł połudn liczoną od równika do danego pktu o szerokości elipsoidalnej B. Porównując te wzory, widzimy, że f (q)= S. W wąskich pasach południkowych funkcję analityczną f (z), gdzie z= q+ il, rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu z₀=q.Ostatecznie otrzymujemy: x=S+l²/2*NsinBcosB+l⁴/24*NsinBcos³B*(5t²+9η²+4η⁴)+l⁶/720*NsinBcos⁵B(61_58t²+t⁴) y=lNcosB+l³/6*Ncos³B(1-t²+η²)+l⁵/120*Ncos⁵B(5-18t²+t⁴+14η²-58η²t²) Funkcje odwz występują również w postaci f. B₀,b,l: -wybieramy punkt P₀(B₀,L₀)na połudn środkowym:x₀=S(B₀) y₀=0, b=B-B₀pkt ten ma leżeć w pobliżu szukanego punktu ;f odwz: x=(a₀₀+ a₀₁b+ a₀₂b²+ a₀₃b³)+ (a₂₀+ a₂₁b+...)+(a₄₀+ a₄₁b+.....);y==(a₁₀+ a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³)+ (a₃₀+ a₃₁b+...)+(a₅₀+ a₅₁b+.....);do obliczenia wsp.x_m leżącego na pd. Środkowym(1) x_m=a₀₀+ a₀₁b+ a₀₂b²+ a₀₃b³+...,zgodnie z 3. Warunkiem odwz x_m=S(B) rozwijamy w Taylora: x_m=S(B₀)+dS./db*(B-B₀)+d²S/dB²*(B-B₀)²/2!+d³S/dB³*(B-B₀)³/3!+...;(2), x_m=S(B₀)+f₁b¹+f₂b²+f₃b³+f₄b⁴+...; porównujemy (1)z(2) i ...:a_n+1,r=(-1)ⁿ/(n+1){k_ra_n,l+ 2k_r-1a_n,2+ 3k_r-2a_n,3+...+(r+1) k₀a_n,r+1;wszystkie potrzebne a_ij możemy obliczyć znając B₀ :f=1/3(B-B₀); g=1/3(L-L₀);f i g wyrażone są w stopniach, wsp. a_ij umożliwiają obl wsp. x,y,z z bł. Mniejszym niż 1mm, gdy IfI Ⴃ 1^st, IgI Ⴃ 1.

TRANSFORMACJA RÓWNOKĄTNA WSP. PROSTOKĄTNYCH PŁASKICH. Do tworzenia ukł. wsp. prostokątnych płaskich stosowane są wyłącznie odwzorow. równokątne elipsoidy. Jeżeli oba ukł. wsp. płaskich powstały w wyniku zastosowania odwz. równokątnych elipsoidy to musimy zastosować taką transformację, która nie deformuje kątów. Transformacja taka może być rozważana jako odwz. równokątne płaszczyzny na płaszcz. Wsp. punktów w ukł. pierwotnym- U,W, a wsp. pkt. w ukł. wtórnym- X,Y. Obie te pary są wsp. izometrycznymi zatem funkcję odwzorowawczą, która zapewni równokątność odwz. możemy napisać w postaci szeregu potęgowego: X+iY=(a_o+ib_o)+(a₁+ib₁)(U+iW)+(a₂+ib₂)(U+iW)²+(a₃+ib₃)(U+iW)³+...+(a_n+ib_n)(U+iW)ⁿgdzie: a_o,b_o,a₁,b₁,a₂,b₂...współczynniki liczbowe, n - najwyższy wykładnik potęgi, czyli stopień transformacji. Wykonując działania matematyczne można oddzielić część rzeczywistą od urojonej. Po uporządkowaniu wyrażeń mamy: X=a_o+a₁U-b₁W+a₂(U²-W²)-b₂(2UW)+a₃(U³-3UW²)-b₃(3U²W-W³) +... Y=b_o+a₁W+b₁U+a₂(2UW)+b₂(U²-W²) +a₃(3U²W-W³)+b₃(U³-3UW²)... Zwykle współczynnik a₁ jest zbliżony do 1,bo oś U tworzy niewielki kąt z osią X, a jednostki długości stosowane w obu ukł. są prawie identyczne. W takim przypadku, po wprowadzeniu wyrażenia 1+a^­­₁ w miejsce a₁, otrzymujemy następujące funkcje odwzorowawcze: X=a_o+U+a₁^'U-b₁W+a₂(U²-W²)-b₂(2UW)+a₃(U³-3UW²)-b₃(3U²W-W³)+... Y=b_o+W+a₁^'W+b₁U+a₂(2UW)+b₂(U²-W²)+a₃(3U²W-W³)+b₃(U³-3UW²)+... Kłopot w tym ,że kolejne iloczyny współczynników a₁ lub b₁ i wyrażeń znajdujących się w nawiasach będą iloczynami liczb bardzo dużych, żeby tego uniknąć wprowadzamy dwa nowe układy współrzędnych- u,w i x,y gdzie: u=(U-U_o)k, w=(W-W_o)k, U_o,W_o - współrzędne wybranego punktu w ukł. pierwotnym, k -współczynnik liczbowy dobrany tak, aby |u| i |w| była zbliżona do jedności. x=X-X_o, y=Y-Y_o, X_o,Y_o - współrzędne wybranego punktu w układzie wtórnym. Punkt o współrzędnych X_o,Y_o nie musi być odpowiednikiem punktu o współrzędnych U_o,W_o. Związek współrzędnych x,y i u,w ma postać macierzowa. Do obliczenia współczynników liczbowych a_o,b_o,a₁^',b₁,...są wykorzystywane punkty łączne, które mają znane współrzędne w układzie wtórnym (X,Y).Dla każdego punktu łącznego można ułożyć dwa równania, w których niewiadomymi będą poszukiwane współczynniki. Jeżeli liczba punktów łącznych jest większa niż (n+1)*2,gdzie n jest symbolem transformacji, to obliczane współczynniki przeprowadza się metodą najmniejszych kwadratów. Stopień transform zwykle jest dobierany doświadczalnie na podstawie wielkości błędu średniego pojedynczej „obserwacji” m_o. Stopień transformacji jest zazwyczaj większy, im większy jest obszar, na którym są rozrzucone transformowane punkty.

 UKLADY WSPÓŁRZ: 1942- wykorzystywane odwzorowanie G-K, sieć triangulacyjna elipsoida Krasowskiego, w pasach 3^O cała Polska podzielona jest na 4 części: Lo=15^O-5, 18^O-6, 21^O-7, 24^O-8; m_O=1; X_O=0, Y_O=N*1000000+500000, X=x, Y=Y_O+y; pasy 6^O, Lo= 15^O-3, 2^O-4; 1965- elipsoida Krasowskiego, sieć triangulacyjna; 4 ukł wsp prostokątnych w odwzorowaniu quasistereograficznym i jednego ukł w odwzorowaniu Gaussa-Krugera, m_O=0.9998 GUGiK80- 1:100000, 1:500000, elipsoida Krasowskiego, stara triangulacja, odwzorowanie quasi-ster, obejmuje całą Polskę, m_O=0,9997143. 1992- obowiązujący, GRS 80, odwzorowanie G-K, jeden pas południkowy L_O=19^O, m_O=0,9993, X₀=-5300000, Y₀=+500000, X=X₀+m₀x, Y=Y₀+m₀y.2000- GRS80, B,L z nowej polskiej sieci podstawowej, dzieli Polskę na 4 pasy południkowe, m₀=0,99923, X₀=0, Y₀=N+1000000+500, X=m₀x, Y=Y₀+m₀y.

 

Metody przedstawień kartograficznych: Metody jakościowe - prezentacja faktu wystąpienia zjawiska: Stosowane do przedst.. przestrzennego rozmieszczenia zjawiska: 1. sygnaturowa - do ukazania poł. obiekt. i zjawisk za pomocą znaków p-ktowych lub liniowych zróżnicow. graficznie stosownie do jakościowych cech reprezentowanych obiektów i zjawisk Sygnatury: *geometrycz. *symbolice. *obrazkowe *literowe 2. zasięgów - wykazanie zasięgu (obszar wyst.) danego zjawiska: *zasięg plamowy *sygnaturowy *liniowy *opisowy 3. chorochromatyczna (powierzchniowych jednostek naturalnych) - wydzielenie i wyróżnienie graf. fragment. o odmiennym charakterze. Metody ilościowe:1. kartodiagramu - przedst. zjawiska za pomocą przypisanych im diagram. (odniesionych do p-któw, linii lub powierzchni) Kartodiag: *p-kowe *sumaryczne *struktural. *powierzchniowe *liniowe wektorowe *liniowe wstęgowe 2. kartogramów - ukazanie śr. (przeciętnej) charakteryst. ilościowej zjawiska w określ. polach odniesienia, z reguły wyraż. w ujęciu względnym i z zastosow. przedziałów klasowych (np. gęst. zal.) 3. kropkowa - przestrz. rozmieszcz. za pomocą drobnych znaków o określonej wadze (tzn. reprezentujących peną liczbę obiektów) 4. dozymetryczna - kartogram o polach odnies. dobranych do podobnych wartości natężenia zjawiska 5. izolinii - połącz. p-tów o tym samym nasileniu zjawiska *izol. Natężenia *odl. (ekwidystanty) *izol. ruchu (izochrona, izobata) Reprodukcja kartograficzna- to dział kartografii obejmujący techniki przetwarzania i powielania map oraz innych materiałów w kartografii.Druk wypukły Miejsca drukujące powyżej są formy drukowej, 1)nałożenie farby, 2) dociśnięcie arkusza papieru.np: Ksylografia(drzeworyt-forma drukowa z drewna), Typografia (ruchoma czcionka, drobne elementy metalowe), Fleksografia (miękka forma drukowa z tworzywa sztucznego).Druk wklęsły Farba pozostaje w zagłębieniach w formie drukowej, 1) nałożenie farby na całą formę, 2) farba ostrzem zrywana z powierzchni formy, zostaje tylko w zagłębieniach, 3) dociśnięcie papieru. Np.: miedzioryt, Rotograwitura (forma drukowa nałożona na cylinder. Druk płaski W pewnych miejscach forma drukowa przyjmuje farbę, a w pewnych nie ze względu na właściwości; forma drukowa z materialu hydrofilnego, naniesienie rysunku tłustą substancją, 1) zwilżenie wodą, 2) na formę warstwa farby (farba przylega tylko tam, gdzie jest tłusta substancja), 3)dociśnięcie arkusza papieru, np.: Utografia ( druk z płyt kamiennych), Offset (blacha aluminiowa). Druk offsetowy odbywa się sposobem pośrednim; Wałki wodne nawilżają powierzchnię formy, w ruchu powrotnym cylinder przetacza się a więc farba odbije się na powierzchni arkusza papieru. Maszyna rotacyjna; cylinder płytowy, nałożona jest na nim forma drukowa. Forma do druku offsetowego wykonana jest z aluminium. Generalizacja kartograficzna to uzasadniony dobór i uogólnienie elementów treści mapy zależnie od jej treści i przeznaczenia. Rodzaje generalizacji: a) ilościowa- redakcji ulega liczba sygnałów, następuje więc jedynie ubytek ilości liczby (zdarzeń) pokazanych na mapie. B) jakościowa -polega na uogólnieniu pojęć, na zastępowaniu pojęć elementarnych pojęciami nadrzędnymi, bardziej syntetycznymi. Mapa ogólnogeograficzna- mapa określonego obszaru powierzchni Ziemi z uwzględnieniem obiektów naturalnych i antropogenicznych przedstawionych z dokładnością i szczegółowością odpowiadającej skali mapy. Mapa topograficzna toopracowanie kartograficzne o treści przedstawiającej elementy środowiska geograficznego powierzchni Ziemii i ich przestrzenne związki. 1)mapy topo wielkoskal: 1:5000 i 1:10000, 2)mapy topo średnioskal: 1:25000, 1:50000 i 1:100000, 3)mapy topo małoskal: od 1:200000 do 1:500000włącznie. Treść map topograficznych: osnowa matematyczna, osiedla, obiekty przemysłowe, rolnicze i socjalno-kulturowe, (koleje, drogi, wody) i urządzenia z nimi związane, roślinność, uprawy, grunty, granice (państwa, jednostek administracyjnych, użytków, itd.), rzeźba terenu, opisy informacyjne związane z treścią mapy. Przeznaczenie map: -wykonywanie pomiarów i obliczeń geodezyjno-kartograficznych, -sporządzanie planu zagospodarowania przestrzennego i ich realizacji, -rozwiązywanie problemów naukowo-badawczych, -jako materiał podkładowy do opracowywania map tematycznych.

Redagowanie mapy - proces opracowania treści mapy oraz jej formy graficznej i wydawniczej. Redakcja merytoryczna - czynności związane z opracowaniem koncepcji treści mapy, sposobu jej wykonania. Redakcja techniczna - zbiór czynności mających na celu przygotowanie materiału kartograficznego do reprodukcji lub wydawania drukiem w określonej kolorystyce i zamierzonym układzie. Przebieg redakcji: a) prace przygotowawcze - ustalenie wzorów, sposobu wykonania mapy, b) dobór i analiza materiału źródłowego, c) wykonanie i korekta oryginału redakcyjnego (pierworysu) mapy, d) wykreślenie i korekta czystorysu. Redakcja map tematycznych IEtap - prace redakcyjno-przygotowawcze 1. Studium tematu mapy i materiałów źródłowych: - wstępne określenie skali i zakresu treści - określ. sposobu podziału i systemu oznaczenia arkuszy - ustal. zasad generalizacji treści - wybór met. przedstawienia treści - koncepcja opracow. graficz. - ustal. liczby kolorów - ustal. sposobu powielania 2. Wybór materiałów podstawowych i uzupełniających 3. Opracow. założeń redakcyjnych (-makieta), przygotow. materiałów podkładowego mapy, przetworzenie źródłowych materiał. kartograficz. IIEtap - opracowanie pierworysu redakcyjnego 1. Przeniesienie treści tematycznej na materiał podkładowy 2. Opracow.nazewnictwa (kalka nazw, wykaz nazw, makieta nazw) 3. Opis mapy (makieta opisu mapy) 4. Uzgodnienie styków (kalka uzgod-nienia styków) 5. Sprawdzenie (korekta) 6. Pierworys redakcyjny (koncepty kolorów) IIIEtap - sporządzenie czystorysów 1. Wykonanie kopii pierworysu 2. Sprawdzenie osnowy matematycznej 3. Wykreślenie, wyrytowanie, oklejenie treści mapy 4. Wykonanie napisów 5. Sprawdzenie i korekta 6. Czystorysy IVEtap -reprodukcja map. Mapa tematyczna- mapa eksponująca wybrane elementy środowiska geograficznego i określone procesy lub zjawiska przyrodnicze i społeczno-gospodarcze. Skala 1:250- 1:500000. Mapa zasadnicza jako podkład do 1:5000, od podkładem jest mapa topograficzna; podział arkuszowy i godło wynikają z podkładu mapowego; przeznaczenie: cele gospodarcze, planowania przestrzennego, do rozwiązywania problemów naukowych, do celów administracji i zarządzania. Klasyfikacja map tematycznych: 1) mapy społeczno- gospodarcze: -społeczne -gospodarcze. 2)mapy przyrodnicze: -fizjograficzne, -sozologiczne. Mapy społeczno-gospodarcze ilustrują określone zagadnienia z zakresu zjawisk gospodarczych i struktury zagospodarowania terenu oraz zagadnienia i zjawiska społeczne. Mapy gospodarcze- ilustrują jakościowe i ilościowe zagospodarowanie terenu. Mapy społeczne- zawierają informacje ilustrujące określone zagadnienia z zakresu zjawisk i stosunków demograficznych i charakterystyki warunków socjalno-bytowych oraz ich powiązań ze strukturą zagospodarowania przestrzennego. Mapy przyrodnicze- zawierają informacje ilustrujące zasoby naturalne, zjawiska fizjograficzne i wzajemne powiązania między poszczególnymi elementami środowiska przyrodniczego oraz skutki działalności ludzkiej w zakresie przeobrażeń tego środowiska na określonym obszarze.Mapy fizjograficzne zawierają informacje z zakresu rzeźby terenu, budowy geologicznej, wód powierzchniowych i podziemnych, gleb, klimatu, szaty roślinnej, procesów zachodzących w środowisku przyrodniczym. Mapy sozologiczne zawierają informacje ilustrujące jakościowo i ilościowo zróżnicowanie zaburzenia, zniszczenia, zanieczyszczenia i skażenia środowiska, dynamikę ujemnych zmian z uwzględnieniem znajomości tego środowiska oraz stan zasobów środowiska geograficznego i ochronę jego naturalnych wartości. Mapy hydrograficzne przedstawiają chwilowy stan i warunki obiegu wody w okresie kartowania w powiązaniu ze środowiskiem geograficznym, przedstawia przepuszczalność gruntów, pierwszy poziom wód gruntowych oraz rozmieszczenie wód powierzchniowych i zjawisk hydrograficznych z uwzględnieniem gospodarki wodnej. Wspólne cechy map

hydro i sozo: -mapy przyrodnicze, -podstawowa skala 1:50000, -podkładem jest mapa topograficzna, -teraz opracowywane w układzie 92, -opracowywane w postaci numerycznej.

1. Trygonometria sferyczna, odległość, kąt, trójkąt, nadmiar, wzory. Układy współ na kuli,współrz geogr, współ prostokątne prostolinowe, współ azymutalne, związek między WSP.geograf i azymut al, WSP prostokątne sferyczne. 2. Geometria elipsoidy obrotowej, elipsoida, parametry elip, współ elips, , współ prostok, główne promienei krzywizny, średni prom krzyw, promień równoleżnika, obliczanie dlugości południka, współ izometryczne.3.Ogólna teoria odwzorowań, odwzorowanie, funkcje odwzor, odwz regularne, elementarna skala długości, dkala długości w kierunku połud i rownoleż, wykorzystanie skali dł do redukow dł skończ, , odwz równokątne, równopolowe, I,II tw Tissota. 4.Klasyfikacja odwzorowań, wspólne cechy, odwz równokątne pow elipsoidy na pow kuli, odwz walcowe normalne, walcowe poprzeczne równokątne(Merkatora). 5.odwz azymutalne normalne kuli, wyprowadzenie funkcji odwzorowawczych, odwz równokątne, równopolowe, rownoodległościowe. 6. Odwz Gaussa-Krugera, skala długości, , modyfikacje, funkcje odwzorowawcze. 7.Transformacja równokątna WSP prostokąt płaskich, Układy współrz.. 8. Metody przedstawień kartograficznych, reprodukcja kartograficzna, druki, generalizacja kartogr, mapa ogólnogeograficzna, mapa topograficzna. 9.Redakcja mapy, mapy tematyczne, społeczne, gospodarcze, sozologiczne, fizjograficzne, mapy hydrograficzne. ODWZ QUASI-STEREOGEAFICZNE jest to odwz. azymutalne ukośne równokątne elipsoidy obrotowej. Siatka kartograficzna: obrazami obu biegunów są punkty; południk przechodzący przez punkt główny odwzorowania jest odcinkiem linii prostej, pozostałe południki tworzą obraz symetryczny. Założenia: 1)odwzorowanie jest równokątne, 2)obrazem południka przechodzącego przez punkt główny P_o jest odcinek linii prostej (południk ten nazywany jest południkiem środkowym), 3) współrzędne punktu x_m leżącego na południku środkowym wyraża się następującym wzorem: x_m=2R_O-tg)s/2R_O, gdzie R_O to średni promień krzywizny w punkcie P_O. Skala długości m=1+((x²+y²)/4R_O²). Skala pól p=m²=1+((x²+y²)/2R_O²). Funkcje odwzorowawcze: x=(a₀₀+ a₀₁b+a₀₂b²+a₀₃b³+a₀₄b⁴+a₀₅b⁵… )+ (a₂₀+a₂₁b+a₂₂b²+a₂₃b³...)l²+(a₄₀+ a₄₁b…)l⁴; y=(a₁₀+a₁₁b+ a₁₂b²+ a₁₃b³+ a₁₄b^4....)l+(a₃₀+a₃₁b+a₃₂b²…)l³+(a₅₀₊a₅₁b+..) l⁵, gdzie b=B-B₀, l=L-L₀. RYS 14; Odwz.G-K c.d. 1^st Funkcje odwz odwrotnego mające postać f. wielkości x,y: także równokątne między wsp.płaskimi x,y, a q i l, zachodzi zależność q + il=f(x + iy);po rozwinięciu tej funkcji w szereg Taylora otrzymamy q i l, a żeby otrzymać B iL , musimy pamiętać, że q jest funkcją B,obliczamy B i L z dokładnością do 0,0001sek. Przy (L-L₀)<3⁰,30`; RYS 13; Odwr. G-K jako rzut potrójny. Zastosowanie rzech kolejnych odwz. 1) odwz równokątne całej elipsoidy na całą sferę (Lagrange'a) (B,L)→(ζ,λ ); λ=L, ζ=B+Σa_jsin(jB), j=2,4,6,8. 2) odwz. Walcowe poprzeczne równokątne sfery na płaszczyznę (poprzeczne Merkatora) odwzorowujemy wąskie pasy południkowe (ζ,λ)→(x_TM, y_TM) x_TM=R₃g, y_TM=R₃*Intg(ၰ/4+h/2). 3)odwzor równokątne płaszczyzny na płaszczyznę prowadzące do spełnienia trzeciego warunku odwz G-K (południk środkowy odwz się bez zniekształceń) (x_TM, y_TM)→(x_GK, y_GK), h_GK=x_TM+R₃Σb_jsin(jξ)cosh(jη), y_GK=y_TM+R₃Σb_jcos(jξ)sinh(jη), j=2,4,6,8, ξ=x_TM/R₃, η=y_TM/R₃.

---