PRAWO ZACHOWANIA MASY - masa w danej objętości nie ulega zmianie. Mamy daną funkcję F(r,t), która określa każdy element płynu o prędkości u. jest to funkcja wektorowa lub skalarna dla danej objętości płynnej (τ_s), która zawarta jest wewnątrz powierzchni płynnej S(τ) możemy ją określić jako całkę po objętości

Masa M, zawarta w objętości jest nieznana w czasie. Zmiana w czasie (pochodna substancjalna) ma postać:

.

CHARAKTERYSTYKA RÓWNANIA ZACHOWANIA MASY:

, ρ - gęstość substancji, u - prędkość

* - strumień masy w czasie, ** - element strumienia masy, uu - normalna składowa prędkości

=0 postać różniczkowa prawa zachowania masy

Tw. Gaussa:

→
, jeżeli ρ=constans

-różniczkowe równanie zachowania masy dla cieczy o stałej objętości

Dla objętości płynnej
.

Jeżeli te same elementy płynu zajmują ciągła objętość płynu τ to masa m zawarta w tej objętości jest zmienna w czasie
.

Jeżeli zamiast F(r,t) podstawimy gęstość ρ(r,t) to całka

będzie określona masą zawartą w objętości τ(s):

RÓWNANIE ZACHOWANIA ILOŚCI RUCHU:

- równanie tej postaci jest znane pod nazwą równania Gromeli - Lamba

PRAWO ZACHOWANIA PĘDU - zmiana pędu w czasie w objętości kontrolnej V jest równa adwekcyjnemu strumieniowi pędu i sile wypadkowej działającej na objętość. Źródło pędu: siły działające na materię.

* - adwekcyjny strumień pędu. Równanie zachowania pędu:

R.z.p. dla cieczy newtonowskiej:

R.z.p. w postaci Naviera - Stokesa:

CHARAKTERYSTYKA RÓWNANIA ZACHOWANIA PĘDU:

,

- postać różniczki równania zachowania pędu, P - tensor naprężenia, u - prędkość liniowa substancjalna, ρ - gęstość, f - gęstość rozkładu sił masowych

PŁASKI RUCH POTENCJALNY - ruch płaski, wtedy gdy
(bardzo cienka warstwa wody). Równanie zachowania masy w ruchu płaskim
musi być spełnione. Jeżeli
to
, Ψ - funkcja prądu. Ruch potencjalny - to taki ruch, który może coś zrobić. Potencjał to także funkcja skalarna, w której gradient określają pole wektorowe. Jeżeli

Płaski ruch potencjalny (wszędzie tam, gdzie nie ma wirów) rot w=0 to pole bezwirowe.

ZAŁOŻENIA DO RÓWNANIA BERNOULLIEGO: równanie to jest pewną szczególną całką równania Eulera przy pewnych założeniach lub równaniem Naviera - Stokesa przy pewnych założeniach:

1) płyn jest nielepki (μ=0)

2) przepływ jest stacjonarny
, ustalony

3) pole sił masowych ma potencjał π (f=-gradπ)

4) płyn jest barotropowy [ρ=ρ(p)], funkcja cieczy jest jednorodna

WŁASNOŚCI TRÓJMIANU BERNOULLIEGO

1) równanie gradE=u×rotu mnożymy przez wektor jednostkowy, styczny do linii prądu I_s; gradE∙I_s=
=0 ponieważ (u×rotu)∙I_s=0, gdyż I_s_|_(u×rotu). Tak więc
=0 co oznacza, że E=const. wzdłuż linii prądu.

2) równanie gradE=u×rotu mnożymy skalarnie przez wektor jednostkowy styczny do linii wirowej I_w; gradE∙I_w=
=0, gdyż I_w_|_(u×rotu). Tak więc
=0 co oznacza, że E=const. wzdłuż linii wirowej.

3) jeżeli przepływ jest śrubowy rotu=λu, to u×rotu=u×λu=0, a stąd gradE=0 i E=const. w całej przestrzeni objętej przepływem

4) jeżeli przepływ jest bezwirowy rotu=0 to również gradE=0 i E=const. w całej przestrzeni

5) dla u=0, w odpowiedzi całej sytuacji hydrostatycznej, także E=P(p)+π=const w całej przestrzeni

RÓWNANIE BERNOULLIEGO DLA CIECZY NIELEPKIEJ

p-ciśnienie, ρ-gęstość, g-przysp. ziemskie, u-prędkość

π=+gz to
gdzie

dla płynu nieściśliwego ρ=const. Należy pamiętać, że oba punkty muszą spełniać jeden z pięciu warunków stałości trójmianu Bernoulliego. E - wyrażamy przez wartość prędkości, funkcję ciśnienia i potencjał sił masowych. W ten sposób otrzymujemy
. Jeżeli elementy płynu są zawirowane, to w polu wektora wirowości można utworzyć linie wirowe. Linie wirowe mają zdolność zachowawczą, jeżeli płyn jest nielepki, barotropowy, a pole sił masowych jest polem potencjalnym.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓWNANIA BERNOULLIEGO:

I postać algebraiczna:
każdy element ma wymiar kwadratu prędkości

II postać wysokościowa:

z - zmienna pionowa, B/g - wymiar pionowy

III postać energetyczna: B-g=E=ρu²/2g+p+ρgz - każdy składnik ma wymiar energii na jednostkę objętości, bo została odrzucona lepkość.

PRAWO ZACHOWANIA ENERGII - zmiana w czasie całkowitej energii kinetycznej w objętości płynnej τ(s) jest równa sumie mocy sił masowych mocy sił powierzchniowych oraz strumieniowi energii doprowadzonej do objętości płynnej. Prawo to zapisujemy w postaci równania zachowania energii:

e - energia wewnętrzna, u²/2 - energia kinetyczna ruchu makroskopowego, n - wektor normalny zorientowany na zew. pow. płynnej S, j - wektor określony naturalnym strumieniem ciepła (molekularnym strumieniem energii), p - tensor naprężeń, f - gęstość rozkładu sił masowych.

Postać różniczkowa równania zachowania energii:
.

WYPÓR HYDROSTATYCZNY - dla ciała zanurzonego w płynie, wypór hydrostatyczny określony jest wzorem N=-∫pndS, ale z tą różnicą, że powierzchnia S(τ) jest powierzchnią zamkniętą, zamykającą objętość τ(S). Całkę
można przekształcić na całkę objętościową

Po uwzględnieniu równania równowagi ρf-gradp=0 wyrażenie to można zapisać jako:

jest objętością ciała zanurzonego w płynie, stąd siła wyporu wynosi:
z prawa Archimedesa. Siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało i skierowana przeciwnie do zwrotu siły ciężkości.

HYDROSTATYCZNY ROZKŁAD CIŚNIENIA - termin ten oznacza liniowy rozkład ciśnienia względem pionu, panujący w cieczy o stałej gęstości w polu grawitacyjnym. Jest stała na danym poziomie, wzrasta wraz z głębokością. Ciśnienie rośnie pionowo w dół i jest stałe na każdym poziomie. p=p₀+ρgh, p - ciśnienie wewnętrzne, p₀ - ciśnienie zewnętrzne cieczy, ρgh - ciśnienie hydrostatyczne.

METACENTRUM - jest to punkt przecięcia się linii działania siły wyporu w stanie równowagi i linii działania siły wyporu w stanie zakłóconej równowagi. Jeżeli metacentrum jest powyżej środka ciężkości, to równowaga jest stała, jeżeli poniżej - równowaga chwiejna. Jeżeli oba punkty pokrywają się, równowaga jest obojętna.

NAPÓR HYDROSTATYCZNY - napór hydrostatyczny na ściankę o powierzchni S określamy

n - wektor normalny, N - parcie cieczy. Znak minus jest dlatego, że wektor normalny n skierowany jest przeciwnie niż pacie cieczy wypełniającej naczynie nad ściankę o powierzchni S. Dla płaskiej płytki napór oblicza się łatwo, gdyż wektor n nie jest funkcją współrzędnych ściany o powierzchni S. Uwzględniając zależność p=p₀+ρgz otrzymujemy:

Napór hydrostatyczny nie zależy od kształtu naczynia, tylko od wielkości powierzchni S i położenia jej środka geometrycznego.

TWIERDZENIE BUCKINGHAMA (TW. π) - każdy ciąg zmiennych pierwotnych (a₁,a₂,...,a_n), które są powiązane z pewną funkcją f(a₁,a₂,...,a_n)=0 można zastąpić równoważnym ciągiem (n-k) zmiennych bezwymiarowych, które będą powiązane pewną funkcją φ(π₁,π₂,...,π_n)=0

1) każdą funkcję n parametrów wymiarowych, z których k parametrów ma wymiary podstawowe, da się sprowadzić do funkcji n-k parametrów bezwymiarowych

2) jeżeli parametry bezwymiarowe będą identyczne dla dwóch różnych substancji, to zjawisko będzie przebiegało identycznie, mimo różniących się parametrów typu a. Można więc owe bezwymiarowe parametry nazwać parametrami podobieństwa kryterium π. ??????????

W CZYM PRZEJAWIA SIĘ PŁYNNOŚĆ SUBSTANCJI? - różne substancje zachowują się zależnie od czasu działania na nie siły (T_s) wywołującej ich ruch. Istotą rzeczy jest to, że jeżeli siła ta działa długo w stosunku do czasu życia osiadłego T_s>>τ₀ to ruch „wymuszony” jest łatwiejszy do wywołania. Innymi słowy „samorzutny” ruch molekuł w skali molekularnej „wzmacnia” molekularny ruch „wymuszony” i odpowiednią substancję nazywamy płynem a ruch tej substancji płynięciem. Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięcia) a siłą odkształcającą jest cecha zwana płynnością. Ograniczenia: jeżeli t/τ₀>>1 to cieczom można przypisać cechę płynności. Jeżeli t/τ₀<1 to ciało jest stałe.

WARSTWA PRZYŚCIENNA - jest to niewielki obszar w pobliżu ciała umieszczonego w płynie rzeczywistym, gdzie przejawia się wpływ lepkości. W pobliżu powierzchni ciał opływanych płynem rzeczywistym obserwuje się duże zmiany prędkości, od zera na powierzchni ciała opływanego do wartości prędkości odpowiadającej przepływowi płynu. Przyjmuje się umownie, że grubość warstwy przyściennej jest określana tą odległością od powierzchni ciała, gdzie prędkość wynosi 0,99 wartości prędkości w nieskończoności.

PLYNNOSC - proporcjonalnosc pomiedzy preckoscia odksztalcania (plynieciemm) a sila odksztalcajaca, jeżeli: t(czas dzialania siely) / τo(czas drgania molekul przed nasteonym przeskokiem zycie osiadle) >> 1 to cieczy przypisujemy ceche plynnosci a jeżeli < 1 jest to sytuacja podobna do tej w ciele stalym. CIAGLOSC - może być okreslana względem wymiaru liniowego lo (średnia droga przeskoku), chodzi o mozliwosc traktowania materii jako osrodka wypelniajacego przestrzen w sposób ciagly, zachodzi gdy wymiary liniowe Lcial oplywanych przez ciecz lub gaz sa znacznie wieksze od lo, jeżeli; L / lo >> 1 to cieczy można przypisac ceche ciaglosci a jeżeli < 1 to zalozenie ciaglosci nie jest dobrym modelem fizycznym. LICZBA KNUDSENA - (Kn) to parametr lo / L, dla Kn < 0,01 prayjmujemy model srodka ciaglego. PLYWALNOSC - podstawowym warunkiem plywania ciala jest to aby suma sil wporu N i ciezaru T była rowna zeru (N+T=0), modulu sil wyporu i ciezaru ciala sa rowne. CISNIENIE - jest to naprezenie normalne skierowane _|_ do powierzchni na która oddzialowuje, jest to suma 3 naprezen normalnych pxx, pyy, pzz, które otrzymujemy z tensora naprezen i ozn symbolem hydrodynamicznym p, które w zaleznosci od od warunkow lub modeli możemy wykorzystywać do obliczen parametrów działających na powierzchnie ciała. LEPKOSC - w swietle kimematycznej budowy materii mianem lepkosci okreslamy wlasciwosc substancji przejawiajaca się w powstawaniu sil oporu przeciw przemieszczeniom wew zachodzacych pod dzialaniem si zew, w sposób rownowazny okresla się tez lepkosc plynu jako zdolnosc do przenoszenia naprezen stycznych. Jeżeli pole predkosci wzdloz kierunku l jest nierownomiwrne to wystepuje poprzeczny transport ilosci ruchu, który jest spowodowanym ruchem molekularnym c. Poprzeczny transport masy jest przyczyna naprezen scinajacych τ miedzy warstwami wystepuja sily kohezji i athezji. τ = n·m·(u+Δu)·c-mnc=nmcΔu[kg / m·s²] c- predkosc, mnΔu - roznica ilosci ruchu miedzy warstwami odleglymi o lo, υ = c·lo ŚCIŚLIWOŚĆ - jest to wlasciwosc substancii (plynu), która obrazuje zmiany gestosci pod wplywem zmiant temp im cisnienia. RUCH LAMINARNY - przeplyw regularny, charakter uporzadkowany, wystepuje przy malych peredkosciach, scisle przy malych liczbach Re,tzn tam gdzie sily bezwladnosci nie przewazaja nad silami lepkosci, czasteczki cieczy poruszaja się po torazch II do osi przewodu, straty cisnienia sa wprpst propolcjonalne do predzkosci, czastki vcieczy nie mieszaja się w sposób makroskopowy (widoczny) . RUCH TURBULENTNY - (turbulencja - uklad drgan zamowzburzowych, objaw utraty stabilnosci) podstawowa cecha to fluktuacja (zaburzenia) predkosci, ruch chaotyczny nieuporzadkowany, czasteczki cieczy i wektor predkosci chwilowej czastek sa # do osi przewodu (wykonuja dodatkowo ruch poprzeczny) ruch nieregularny, oscyluje, tor czastek jest różny. ROWNANIE REYNOLDSA ( dla uśrednionej predkosci ruchu turbulentnego) postac: 1) div u = 0 2) ρ(Әu / Әt + u ·gradu ) = ρf + divP - div(ρuu), jak powstaja: Ad 1) po usrednieniu row zach masy div u = 0 daje nam div u = 0, Ad2) z row zach ilosci ruchu po wkonaniu przeksztalcen, usrednieniu i zastosowaniu specyficznej postaci filtru F(x) = 1 / T otrzymujemy row zach ilosci ruchu dla predkosci sredniej ruchu turbulentnego. Uklad ten jest nie zamkniety za względu na tensor nap turbulentnych -pu'u' = [...]. Zachowana predkosc srednia formulujemy w celu pominiecia predkosci chwilowej. Predkosc srednia wyznaczamy jako rozwiazanie odpowiedniego ukladu rownan. Row Re zawierajo dodatkowe pochodne naprezen turbulentnych które nie wystepuja w row N.S. METODA EULERA - polega na okresleniu parametrow plynu w kazdym ptk. Przestrzeni zajmowanej przez plyn. Parametry te mogą się zmieniac się zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Istota metody Eulera jest wyznaczenie toru predkosci: wybieramy ukl. wsp. odniesienia, obszar zajmowany przez plyn opisany jest promieniem wodzacym r(xyz) = xi +yj + zk. Parametry opisujace stan plynu będą funkcja promienia wektora r i czasu t. Kazde polozenie elementu plynu w chwili t okreslaja wsporzedne xyz a w chwili to poprzedzajacej t xo yo zo => xo = xo (xyzt). Zapis wektora predkosci u(rt) można zapisac jako u = uxi + uyj + uzk. Funkcje wsp przestrzeni i czasu: skladowe wektora predkosci u(rt), cisnienie p = p(xyzt), gestosc ρ = ρ(xyzt), temp t = t(xyzt). Przy opisywaniu parametru plynu w tej metodzie dla dowolnego miejsca w ulk wsp i dowolnego czasu zawsze powinny być okreslone powyzsze funkcje 4 zmiennych xyzt. METODA LAGRANGEA - polega na wyodrebnieniu element plynu i pozornym sledzeniu jego zachowanie w czasie. Znamy wtedy wszystkie parametry dowolnych elementow plynu, mamy wówczas opisany stan plynu w calym zajmowanym obszarze. Oznaczamy wybrany element plynu a chwili to i o wsp xo yo zo. Z czasem bedze s8ie zmienialo jego polozenie i inne parametry: x = x(xo yo zo t) y = y(xo yo zo t) z = z(xo yo zo t) - plozenie, p = p(xo yo zo t) ρ = ρ(xo yo zo t) T = T(xo yo zo t) - parametry. Predkosc otrzymujemy przez rozniczkowanie wsp polozenia elementu plynu względem czasu. Ux = dx / dt, Uy=dy/dt Uz=dz/dt Wektorowo u=dr/dt=dx/dti +dy/dtj +dz/dtk przyspieszenie dux/dt=d²x/dt² , (analogicznie y i z) POCHODNA SUBSTANCJALNA - istotne pojecie przy metodzie eulera buduje się ja biorac za punkt wyjscia pojecie rozniczki zupelnej funkcji wielu zminnych.Oznaczenie dla dowolnej funkcji f(x,y,z,t) ma postac df/dt
gdzie dx,dy,dz to przyrosty w przestrzeni xyz Po nalozeniu ograniczen dx=uxdt dy=uydt dz=uzdt i odnoszac df do przyrostu czasu dt otrzymujemy
d/dt - zmiana danej wielkosci w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszajacego się wraz z elementem plynu
- zmiana w czasie danej wielkosci w danym punkcie przestrzeni (pochodna lokalna)
- zmiana danej wielkosci w przestrzeni w danym ustalonym czasie t ,pochodna konwekcyjna. pochodna konwekcyjna. To iloczyn skalarny wektora predkosci u i opertaora grad(nabla - odwrocony Δ) :
→
TENSOR PREDKOSCI DEFORMACJI - Tensor obiejt wektorowy którego szczegolnym przykladem jest skalar można zapisac macierzowo,skladowe predkosci elementu plynu wynikajace z predkosci deformacji zostaly okreslone przez tensora predosci deformacji D i odleglosci od bieguna Әr Składowe tensora D okreslaja dwojakiego rodzaju predkosc deformacji a :liniowo i katowo (wtedy kiedy oba ramiona się przesuwaja) D:=

Deformacja = def kontow +def odcinkow DEFORMACJA - odksztalcenie spowodowane zmiana ukladu molekul w przestrzenidzieki dzialaniu sily odksztalcajacej. Czas musi buc bardzo dlugi w porownaniu z τo.. Sklada się z wydlozen odcinkow , zmian kontow. Deformacja zalezy od roznic predkosci a nie od sumy predkosci. Jeżeli sila jest mala ale dwugotrwala to w ciecz nastepuje duza deformacja a w ciele stalym mala. PREDKOSC DEFORMACJI - predkosc odksztalcania. Jest to predkosc molekul uciekajacych przed dzialajaca na nie sila deformacji. PERWSZE TW HELMOHOLTZA - predkosc doeolnego ptk elelmentu plynu sklada się z 3 predkosci: 1) pr postepowej punktu odranego za biegun Uo 2) predkosci obrotowej dookoła osi przechodzacej przez biegun z predkoscia katowa ωo = 1 / 2(rot U)o, ktorej wektor wyznacza os obrotu, 3) predkosc deformacji elementu plynu Do Әr, U = Uo + 1 / 2 (rot u )o x Әr + DoӘr STAN STACJONARNY - (ustalony) parametry opisujace stan plynu nie zaleza od czasu Ә / Әt = 0 STAN NIESTACJONARNY - (nieustalony) parametry opisujace stan plynu zaleza od czasu DEFINICJA FUNKCJI PRADU - rownanie Әux / Әx + Әuy / Әy = 0 dopuszca istnienie funkcji ψ(xy) zwanej funkcja pradu, która speknia to rownanie . Jeżeli Ux = Әψ / Әy Uy = Әψ / Әx i te zaleznosci podstawimy do wzoru otrzymamy wzor Laplatza. Linia pradu jest stala wartoscia f-cj dψ = Әψ / Әx · dx ₊ Әψ / Әy · dy = - Uydx + Uxdy = 0 wokol lini ψ = const. Uxdy =Uydx / : UyUx otrzymamy dx / Ux = dy / Uy rownanie lini.

PODSTAWOWE NIEWIADOME - Cisnienie i predkosc obliczamy z rownan zachowania masy i pedu. - zmienne zalezne będą funkcja czasu wspolrzednych przedstrzennych u = u(xyz) p = p(xyz) T = T(xyz) ρ = ρ(xyz) - zmienne nie zalezne , które sa rozwiazaniem ukl rownan - stale parametryczne (ρ μ f- gestosc rozkladu sil masowych)

HIPOTEZA NEWTONA - jeżeli mamy substancje i dzialamy na nia sila odksztalcajaca i jeżeli dziala ona dlugo to na skutek ruchow czasteczek sila ta może wywolywac duze odksztalcenia. Istota tej hipitezyb jest liniowa relacja miedzy tensorem naprezen a tensorem predkosci deformacji. Ma ona postac P = aE + bD gdzie ab - skalary , E tensor naorezen, D - tensor pr def. Jeżeli naprezenie jest funkcja tensora def to mamy do czynienia z cialem stalym. Slad tensora P = tr (aE + bD) P = -(p + 2/3 μdivU)E + 2μD relacja.

PODZIAŁ PRZEPLYWOW - z ptk widzenia kinematycznego rozrozniamy przeolywy: a) jednoiwymiarowe - w których mamy tylko jedna skladowa wektora predkosci Ux # 0, Uy = 0, Uz = 0 (x) b) dwuwymiarowe Ux # 0, Uy # 0, Uz = 0 (xy) c) trojwymiarowe Ux # 0, Uy # 0, Uz # 0 (xyz). Skladowe wektora predkosci mogą być fi=unkcja dowolnej kombinacji zmiennych niezaleznych xyzt. Np. możemy mieć przeplyw; jednorodny niestacjonarny w którym Ux = Ux(xt) lub przeplyw dwuwymiarowy stacjonarny Ux = Ux(xy), Uy = Uy(xy)

NAPRĘŻENIE W ŚWIETLE KINEMATYCZNEJ BUDOWY MATERII:
jest gęstością rozkładu sił powierzchniowych, zależy od czasu, położenia i zorientowania powierzchni wektorem normalnym n. p_n - nazywamy wektorem naprężenia, oznaczamy też jako p_n=p_xn_x+p_yn_y+p_zn_z wynikają z tego trzy równania skalarne:

naprężenie w każdym ośrodku ciągłym, P - tensor stanu naprężenia. Pierwszy wskaźnik indeksu dotyczy usytuowania elementu powierzchni, drugi wskaźnik kierunek, wzdłuż którego działa siła powierzchniowa.

LINIA PRĄDU - jest to linia styczna w każdym momencie czasu do wektora prędkości (dla przepływu niestacjonarnego obraz linii prądu będzie się zmieniał, będzie inny dla każdej chwili t). Jeżeli symbolem ∂S=∂xi+∂yj+∂zk oznaczymy element łuku linii prądu, to warunek styczności do wektora u zapiszemy w postaci iloczynu wektorowego: ∂S×u=0. Jeżeli wektor prędkości nie ulegnie zmianie to linia prądu pokrywa się z trajektorią. Obie linie pokrywają się jedynie w ruchu stacjonarnym lub w ruchu po torach równoległych.

TRAJEKTORIA A LINIA PRĄDU. Trajektoria - tor cząstki, linia po której porusza się cząstka materii. Warunkiem jest znajomość prędkości. dr/dt=u→r(t) - kształt linii, po której porusza się cząstka. Jeżeli wektor prędkości nie ulegnie zmianie to linia prądu pokrywa się z trajektorią. Tor elementu płynu w ogólnym przypadku nie jest identyczny z linią prądu. Obie linie pokrywają się jedynie w ruchu stacjonarnym lub r ruchu niestacjonarnym po torach równoległych. ∂s=∂xi+∂yj+∂zk ∂s||u →∂s×u=0.

LINIE WIROWE - linie styczne w każdym punkcie do wektora rotacji. Wektor rotacji to wektor, którego kierunek określony jest przez oś obrotu w szczególności; wektor rotacji może być równy zero. Nie może by tak, że u=0 i istnieje wektor rotacji.

RÓWNANIE STANU - p=RTρ Van der Walsa, p/ρ^k=const. Nie ma uniwersalnego równania stanu. W zależności od rodzaju substancji należy dobrać odpowiednią zależność. Zagadnienie:

-równanie (liczba równań=liczba niewiadomych)

-obszar i jego właściwości

-warunki brzegowe i początkowe

LICZBY:

Reynoldsa: Re=u_D/υ, u-prędkość, D-wymiar liniowy, υ-kin.wsp.lepkości; lub:
, ρ-gęstość, l-droga, μ-dyn.wsp.lepkości. Jest to stosunek sił bezwładności do sił lepkości.

Frouda:
l-droga, f-gęstość rozkładu sił masowych. Jest to stosunek sił bezwładności do sił masowych.

Euler: Eu=Δp/ρu², p-ciśnienie, u-prędkość, ρ-gęstości

Stouhal: Sh=l/(ut), jest to stosunek długości, prędkości lub czasów, z których jeden jest charakterystyczny, związany z niestacjonarnością przepływu a drugi z geometrią przepływu.

MODEL CIECZY NIELEPKIEJ: divu=0, (∂u/∂t)+(unabla)u=f- (1/ρ)nabla p - równanie Eulera.

CZYM RÓŻNI SIĘ RÓWNANIE EULERA OD RÓWNANIA NAVIERA-STOKESA? Równanie Naviera - Stokesa to równanie zachowania pędu dla cieczy newtonowskiej o znanej gęstości ρ i stałej lepkości, nie zależą od temperatury: ρ(du/dt)=ρf-grad(p-⅓μnablau)+μΔu, μ-dyn.wsp.lepkości, f-wektor sił masowych.
gdy μ=0 czyli ciecz jest nielepka, to równania N-S przechodzą w równanie Eulera: ρ(du/dt)=ρf-gradp. W przypadku równowagi statycznej równanie N-S, równanie Eulera redukuje się do postaci u=ρf-gradp. Równanie Eulera jest to postać równanie zachowania pędu dla modelu płynu nielepkiego, tzn. gdy istnieje jedynie ciśnienie, naprężenie normalne, a brak jest naprężeń stycznych, gdy tensor naprężeń ma postać
to otrzymamy model płynu nielepkiego.

---