1. CELE ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a i wyznaczenie modułu Young'a przez pomiar wydłużenia drutu pod wpływem znanego obciążenia.

2. Wstęp teoretyczny

W fizyce niutonowskiej posługujemy się pojęciem punktu materialnego. Upraszcza to wiele zagadnień, tworząc matematyczny model zjawiska fizycznego. Nie należy jednak zapominać, że nawet najtwardsze materiały, takie jak diament czy widia (węglik żelaza) ulegają odkształceniom nawet pod działaniem stosunkowo niewielkich sił. Odkształcenia te mogą być nieznaczne (ciała stałe) lub większe (gazy, ciecze).

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia wywołane działającymi na nie siłami znikają zupełnie po ustąpieniu tych sił. Spójrzmy zatem na ten problem bardziej mikroskopowo. Istnienie równowagi trwałej między cząsteczkami ciała stałego (czyli węzłami sieci krystalicznej) wynika z faktu istnienia dwóch sił między cząsteczkami, odpychającej i przyciągającej i ich niejednakowej zależności od odległości między cząsteczkami. Przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej niż siły przyciągania. Dzięki temu przy pewnej odległości wzajamnej cząsteczek r0 siły te równoważą się, tworząc stan równowagi trwałej.

Siły przyciągania i odpychania opisane są przez następujące zależności:

, gdzie a,b zależą od budowy cząsteczki węzła sieci, a m jest zwykle rzędu 9, n zawiera sie w przedziale 2…7.

Duży wpływ na sprężystość ciał stałych ma również ich budowa, złożenie z wielu małych fragmentów kryształów.

Zadziałanie siłą osiową na pręt powoduje jego wydłużenie, a zarazem wzrost sił przyciągania między cząsteczkami poszczególnych warstw. Po przekroczeniu pewnej granicy cząsteczki nie powrócą już do poprzedniego stanu.

W rzeczywistości jednak proces odkształcania pręta w wyniku przemieszczania się cząsteczek nie przebiega tak prosto, jak by się to mogło wydawać. Towarzyszy mu również zmiana średnicy pręta.

Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły:

Jednostką naprężenia jest Pascal [P], czyli takie naprężenie, jakie wywołuje jednostkowa siła działająca na jednostkę powierzchni.

Wyróżniamy zasadniczo 3 różne typy odkształceń, jakim ulegają ciała:

. odkształcenie jednostronne, l/l- odkształcenie względne,

. odkształcenie wszechstronne, V/V - odkształcenie względne,

. ścinanie, miarą jest kąt skręcenia ścianek a

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem, a odkształceniem. Jeżeli naprężenie w ciele jest dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

Związek powyższy wyrażają wzory, których postać jest zależna od rozważanego odkształcenia, odpowiednio:

Współczynniki proporcjonalności 1/E, 1/K, 1/G nazywamy współczynnikami sprężystości, a ich odwrotności modułami odpowiednio: Younga, ściśliwości i sztywności. Są to stałe charakteryzujące dany rodzaj ciała, tzw. stałe materiałowe.

Wyprowadźmy zatem wzór, za pomocą którego będziemy obliczać wartość modułu Young 'a. Skorzystamy z prawa Hooke 'a, wzoru na pole koła i definicji naprężenia:

3. SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A

Przed wykonaniem pomiarów mających na celu sprawdzenie prawa Hooke'a i wyznaczenie modułu Young 'a badanego materiału - wyskalowaliśmy przyrządy pomiarowe. W tym celu zmierzyliśmy grubość wskaźników najpierw śrubą mikrometryczną, a potem w działkach mikroskopu.

To pozwoliło wyznaczyć z zależności w=q/q' wielkość działki przyrządu w milimetrach.

Średnia grubość wskaźnika gónego w milimetrach - 0,58mm ± 0,01, a w dolnym 0,58m ± 0,01. Średnia grubość wskaźnika mikroskopu górnego w działkach mikroskopu - 2,2 a dolnego - 2,1. Po podstawieniu do w/w wzoru otrzymujemy, że w mikroskopie górnym wielkość działki wynosi 0,26[mm], a w dolnym 0,28[mm].

Sprawdzenie prawa Hooke'a w tym ćwiczeniu polega na wykonaniu kilku pomiarów wydłużenia l stalowego drutu pod wpływem znanego obciążenia Q=mg i sporządzeniu wykresu.

Oto tabela średnich otrzymanych wyników.

masa Q Odczyty na mikroskopach Wydłużenia l
górny dolny góra dół
[kg] [N] [działki] [mm] [mm]
0 0.00 6.680 8.480 0 0 0
1 9.81 6.495 8.245 0.0481 0.0658 0.018
2 19.62 6.355 7.985 0.0845 0.1386 0.054
3 29.43 6.265 7.735 0.1079 0.2086 0.101
4 39.24 6.095 7.435 0.1521 0.2926 0.140
5 49.05 5.975 7.175 0.1833 0.3654 0.182
4 39.24 6.100 7.445 0.1508 0.2898 0.139
3 29,43 6.265 7.735 0.1079 0.2086 0.100
2 19.62 6.360 7.995 0.0832 0.1358 0.053
1 9.81 6.495 8.245 0.0481 0.0658 0.018
0 0.00 6.680 8.480 0.0000 0.0000 0

Część odczytanych wyników obciążona jest błędem powstałym z powodu braku wystarczającej ostrości obrazu w mikroskopie.

Błąd l obliczymy ze wzoru: (l )=w(a+b) = 0.02w, ponieważ a=b=0.01

Tak więc w naszym przypadku (l )=0.006[mm]

Dołączony do sprawozdania wykres funkcji na danym odcinku działających sił powinien być linią prostą.

4. Wyznaczanie modułu Young 'a

Grubość drutu została zmierzona 10 razy w różnych miejscach i wynosi:

Nr pomiaru	Grubość [mm]	Średnia	Błąd d	Kwadraty błędów
1	0.89	0.892	0.002	4.00E-06
2	0.90		0.008	6.40E-05
3	0.90		0.008	6.40E-05
4	0.89		0.002	4.00E-06
5	0.89		0.002	4.00E-06
6	0.89		0.002	4.00E-06
7	0.89		0.002	4.00E-06
8	0.88		0.012	1.44E-04
9	0.89		0.002	4.00E-06
10	0.90		0.008	6.40E-05
			Suma:	0.00036	Średni błąd kwadratowy:	0.002

Przy analizie błędu pomiaru d skorzystano z wyrażenia na średni błąd kwadratowy średniej:

Następnie zmierzyliśmy długość drutu za pomocą linijki, l=0,502 m ± 0,001 m

Obliczamy zatem E za pomocą metody --> [Author:ZF] --> [Author:ZF] regresji liniowej:

, gdzie

Otrzymaliśmy następujące wyniki:

M=4811,805

a=0,0042201835

-b=0,0252

Należy teraz obliczyć błąd względny, stosując do wykorzystywanego wyżej wzoru metodę różniczki logarytmicznej.

Obliczymy teraz błąd bezwzględny otrzymanej wartości E:

5. OMÓWIENIE BŁĘDÓW I wnioski

W przeprowadzonym doświadczeniu zaistniały okoliczności, które umożliwiły powstanie wielu błędów. Z pewnością największe znaczenie możemy przypisać błędom powstałym z powodu niedoskonałości przyrządu pomiarowego, jakim jest mikroskop, a spowodowane tym, iż nie można uzyskać ostrości wystarczającej do odczytu poprawnego wyniku pomiaru. Kolejnym źródłem błędów jest nieznajomość dokładnej masy ciężarków. Aby zminimalizować wpływ błędów na dokładność wyznaczenia modułu Young'a w tym ćwiczeniu należy zadbać o zapewnienie większej stabilności układu pomiarowego oraz o takie umocowanie drutu, aby uniemożliwić jego skręcanie podczas zwiększania obciążenia. Jednakże pomimo tych błędów otrzymana wartość modułu Young'a jest zadawalająca i w dużej mierze jest porównywalna z jego wartością odczytaną z tablicy stałych fizycznych (E=
). Jednak przy pomiarach ma miejsce stosunkowo duży błąd względny (8,9%) wynikający z prostoty przyjętej w doświadczeniu metody. Przykładem przyjętych uproszczeń może być nie branie pod uwagę błędu wynikającego ze zmieniającej się w trakcie doświadczenia średnicy drutu.

---