Katarzyna Poszelużna, Miłosz Nowak

SPRAWDZANIE PRAWA HOOKA I WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA

I Krótki wstęp teoretyczny

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej nań siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie "ut tensio sic vis", pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt wielkich odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Odkształcenie tego rodzaju znika, gdy przyłożona siła przestaje działać. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym podejściem do Prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proprocjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

Moduł Younga (E) inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej (w układzie odniesienia SI). Wielkość uzależniająca odkształcenie liniowe ε materiału od naprężenia σ jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona υ=0).

II Cel ćwiczenia

1. Sprawdzenie prawa Hooke’a

2. Wyznaczenie modułu Younga badanego drutu metodą pomiaru wydłużenia

III Używane przyrządy

1. Konstrukcja mocująca

2. Badany drut

3. Wskaźnik

4. Uchwyt mocujący drut

5. Mikroskop pomiarowy

6. Obciążenie stałe

7. Odważniki

8. Przymiar o dokładności 1 mm

9. Śruba mikrometryczna

IV Metoda wykonywania doświadczenia:

Zmierzono wielkości stała badanego drutu: długość początkową drutu l_o między zamocowaniem a wskaźnikiem A przy pomocy przymiaru o dokładności 1mm. Dziesięciokrotnie w kilku miejscach zmierzono średnicę drutu d przy pomocy śruby mikrometrycznej, następnie przystąpiono do cechowania mikroskopu. Aby wycechować mikroskop, najpierw wyjustowano go, tj. ustawiono mikroskop tak, aby ostro widzieć skalę oraz wyregulowano jego położenie by również ostro widzieć obraz wskazówki. Następnie zmierzono czterokrotnie średnicę a wskaźnika A przy pomocy śruby mikrometrycznej i zmierzono czterokrotnie w działkach średnicę a’ wskaźnika A przy pomocy mikroskopu ustawiając krzyż mikroskopu na górą krawędź wskaźnika i dolną krawędź wskaźnika. Następnie wyznaczono zależność wydłużenia drutu od przyłożonej siły rozciągającej, tj. odczytano początkowe położenie a_o’ dolnej krawędzi wskaźnika A (bez obciążenia), następnie zawieszono kolejno odważniki na szalce, dla każdego obciążenia odczytano kolejno położenia krzyża a_i dla tej samej krawędzi wskaźnika.

VI Oznaczenia

l_o – początkowa długość drutu

Δ l_o – błąd względny pojedynczego pomiaru odczytany z przyrządu

d_i – kolejne pomiary średnicy drutu w różnych miejscach

d_śr – średnia arytmetyczna średnicy drutu

Δd – względny błąd pojedynczego pomiaru średnicy drutu odczytany z przyrządu

a_i – kolejne pomiary średnicy wskaźnika A śrubą mikrometryczną

a – średnia arytmetyczna pomiarów wskaźnika A

Δa –błąd względny pojedynczego pomiaru wskaźnika A odczytany z przyrządu

a_ig‘ – kolejne pomiary górnej krawędzi wskaźnika A za pomocą mikroskopu

a_gśr‘ – średnia arytmetyczna pomiaru górnej krawędzi wskaźnika A

Δa_g‘ – błąd względny pojedynczego pomiaru górnej krawędzi wskaźnika A odczytany z przyrządu

a_id‘ – kolejne pomiary dolnej krawędzi wskaźnika A za pomocą mikroskopu

a_dśr‘ – średnia arytmetyczna pomiaru dolnej krawędzi wskaźnika A

Δa_d‘ – błąd względny pojedynczego pomiaru dolnej krawędzi wskaźnika A odczytany z przyrządu

a' – średnica wskaźnika A zmierzona mikroskopem

Δa’ – względny błąd pomiaru średnicy

w – wartość działki skali mikroskopu

Δw – błąd względny wartości działki skali mikroskopu wyliczony z różniczki zupełnej

m_i – masa kolejnego obciążenia

Δm – względny błąd pomiaru odważników

a_o’ – początkowe położenie dolnej krawędzi wskaźnika

a_i’ – zmiana położenia dolnej krawędzi wskaźnika po obciążeniu

Δ a_i’ – błąd względny pojedynczego pomiaru położenia dolnej krawędzi wskaźnika

F_i – siła przyłożona do drutu

Δ F_i – błąd względny wyznaczenia wartości siły wyliczony z różniczki zupełnej

S – pole przekroju druta

ΔS – względny błąd wyznaczenia pola przekroju

Δl_i – zmiana długości drutu

Δ(Δl_i) – błąd względny wyznaczenia zmiany długości drutu

Δ(Δl_i) /Δl_i – bezwzględny błąd wyznaczenia zmiany długości drutu

E – moduł Younga

ΔE – względny błąd wyznaczenia modułu Younga

ΔE/E – bezwzględny błąd wyznaczenia modułu Younga

VII Zastosowane wzory i obliczenia

VIII Wykres zależności długości drutu od przyłożonej siły

IX Wnioski

Doświadczenie potwierdziło, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej nań siły jest wprost proporcjonalne do tej siły, co ilustruje wykres.

Tak duży błąd pierwszego pomiaru wynika z błędu popełnionego przy odczycie pomiaru przez badającego.